高三数学文推理与证明与几何证明人教实验版（A）知识精讲

1、高三数学文推理与证明与几何证明人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：推理与证明与几何证明二. 重点、难点：1. 合情推理（1）归纳推理（个别到一般）（2）类比推理（由特殊到特殊）2. 演绎推理（三段论）（由一般到个别）3. 直接证明、综合法、分析法4. 间接证明：反证法5. 平面几何证明（1）相似三角形（2）直线与圆（3）圆锥曲线性质【典型例题】例1 在平面几何里，有勾股定理：“ABC的两边AB，AC互相垂直，则。”拓展到空间，类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 。”解：设A

2、B=，AC=，AD= 三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直 AB、AC、AD两两垂直 作BEDC于E，连结AE，则CDAE在中，在中， 例2 求证函数是奇函数，且在定义域上是增函数。解析：所以定义域为即，所以是奇函数任取，且则由于，从而，所以，故为增函数例3 观察 ； 。由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想。解析：观察4010=30，3630=6，由此猜想：证明：例4 先解答（1），再通过类比解答（2）。（1）已知，求证：（2）已知，求证：。分析：本题（1）与（2）从二元结构形式，类比到元结构形式，属结构形式上的形式类比，由（1）的证法，可类比得到（2）的证法。证明：（1

3、） 由不等式及都是正数可得：， ，即（2） 都大于0 ，把上面n个式子相加得即例5 已知都是实数，求证：。证明：以为依据，利用综合法证明。 ， ， ， 将以上三个不等式相加得 即 在不等式的两边同时加上“”，得即 在不等式的两边同时加上“”，得即 由得例6 已知P是ABC所在平面外一点，已知PA、PB、PC两两垂直，PH平面ABC于H，求证：证明：连CH延长交AB于D PCPA，PCPB， PC平面PAB PCAB，又PH平面ABC PHAB AB平面PCH，PDAB又PAPB，由三角形面积公式有 ，又， 同理 例7 设。求证：。证明：要证成立只要证即证，也就是证只要证，即证 ，也就是证，显然

4、成立故不等式成立例8 实数满足，求证：中至少有一个是负数。解答：证法1：假设都是非负数，由，知从而 =1与已知矛盾 中至少有一个是负数证法2：假设都是非负数，则这与已知矛盾 中至少有一个是负数例9 设有长度分别为和的5条线段，今知其中任何3条都可以构成一个三角形，证明：其中必有锐角三角形。证明：为了便于叙述，不妨设，并设由它们中的任何3条组成的都不是锐角三角形，则由余弦定理可得： 有 能构成三角形的三边， 有，从而得出矛盾故其中必有一个为锐角三角形例10 已知常数，为正整数，是关于x的函数。（1）判定函数的单调性，并证明你的结论；（2）对任意，证明。证明：（1） ， ， 在（0，+）上单调递减

5、（2）由（1）知当，是关于x的减函数 当时，有又 ， ， 例11 已知且。求证：解析：证法1：（作差比较法） ，又且， 又， ， ，即证法2：（分析法） ， 要证，只要证明，即证，而由， ，又，知显然成立，故原不等式成立。例12 已知，求证：。证明：方法1（综合法） 展开得 方法2（分析法）要证 故只需证即证亦即证而这是显然的，由于以上相应各步均可逆， 原不等式成立方法3： 例13 已知：是不全相等的正数。求证：证明： 同理：三式相加得又 不全相等，故等号不成立即例14 已知：AB是O的直径，DAAB于A，DA/BC，且COD=90，求证：DC是O的切线。解析： DAAB，DA/BC BCAB

6、 COD=90 BCO=AOD BCOAOD OCB=OCD OC是BCD的平分线 O到CD距离等于OB CD是O切线例15 如图，在中，BAC=90，BC边的垂直平分线EM和AB、AC（或延长线）分别交于D、E，求证：。分析：将化为，问题转化为证明AMDEMA解析： BAC=90，M是BC的中点 AM=CM，MAC=C EMBC E+C=90又 BAM+MAC=90 E=BAM EMA=AMD AMDEMA 例16 如图，四边形ABCD中，AC、BD交于O，过O作AB的平行线，与AD、BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K。求证：KO2=KEKF。分析：待证式变形为比例式须利用平行关系找比

7、例关系而已知条件中KF/AB，产生了一系列的相似三角形，设CD与AB交于H，则CKOCHA，COFGAB，CKFCHB，DKEDHA。只须从中找到能联系和的中间比即可。证明：设直线CD与BA交点为H， EO/HB ，即，同理可由KF/HB得 ，即例17 在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求证：CEFCBA。分析：要证CEFCBA，已知ECF=BCA，须再找一组对应角相等或夹该角的两边对应成比例，而所给条件全是垂直关系，这样在RtADC和RtBDC中均可应用射影定理，寻求与的关系。证明： ADC是直角三角形，DEAC 同理可得 ，即又 BCA=ECF CEFCBA例18 等腰

8、ABC中，AB=AC底边上高AD=10，腰AC上高BE=12。（1）求证；（2）求ABC的周长。解答：（1）证明： ADCBEC ADBC BC=2BD （2）设BD=，则，在中， ，BC=2x=15，AB=AC=12.5， 周长为40例19 在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BD=DC=FC=1，则AC= 。解析：在ABC中，设AC=x， ABAC，AFBC，又FC=1，根据射影定理得， 再由射影定理得，即 在BDC中，过D作DEBC于E BD=DC=1 BE=EC又 AFBC DE/AF 在中， ，即 整理得 例20 ABC中，D在BC上，E在AD上，BE的延长线

9、交AC于F。（1）若BD=DC，AE=ED，则AF：FC的值为 ；（2）若BD：DC=，AE：ED=，则AF：FC的值为 。答案：（1）1：2 （2）解析：（1）过D作DG/BF交AC于G， BD=DC AE=ED AF=FG=GC AF：FC=1：2（2）同理过D作DG/BF交AC于点G，则， 例21 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，ECA=D。求证：。分析：由已知条件知CD/BE，AD/BC，从而CDFEAFEBC待证结论ACBE=CEAD，即，而于是只要证AFCACD，这由条件ECA=D立即可得证明： 四边形ABCD是平行四边形 AF/BC 又

10、 AE/CD AFEDFC ，即又 ECA=D，CAF=DAC AFCACD 例22 如图，AB是O的弦，CD切O于P，ACCD于C，BDDC于D，PQAB于Q，求证：。分析：欲证，只需证明AC：PQ=PQ：BD，图中没有产生比例中项的条件，需要通过过渡比来解决，连结PA、PB，利用弦切角定理，得到不相邻的两对直角三角形分别相似。解析：连结PA、PB，如上图所示 CD切O于P 1=2 ACCD于C，PQAB于Q， ACP=PQB=90 ACPPQB AC：PQ=AP：BP同理BDPPQA PQ：BD=AP：BP AC：PQ=PQ：BD，即例23 ABC内接于O，AB=AC，D为BC上一点，E是

11、直线AD和O的交点。（1）求证：（2）当D为BC延长线上一点时，（1）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，试说明理由。证明：（1） AB=AC ACB=ABC又 ACB=AEB ABC=AEBBAE为公共角 ABDAEB （2）同理可由ABDAEB证得。例24 如图，AB为O的直径，BC、CD为O的切线，B、D为切点，若O的半径为1，则ADOC= 。答案：2解析： CD、CB为O的切线， OC平分， ADOC=ABOB=2例25 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A、B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ。求证：AXAY=BPBQ分析： 待证式类似于割线定理形式，但它

12、不是从一点出发的两条割线，考虑到是两个同心圆，由大圆上任意一点向小圆引的切线长相等，故可经过A，B作小圆的切线，由切割线定理获证。 过B作小圆切线BM交大圆于N，切点为M，则OM垂直平分BN，故A，O，N共线，由切割线定理与割线定理可证。证明：如图，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点。由切割线定理，。再连结CO、AO、DO、BO易证RtAOCRtBOD，得出AC=BD，所以AXAY=BPBQ例26 已知：如下图，AB为O的直径，过B作O的切线，C为切线上的一点，连结OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D。（1）求证：；（2）若AB=BC=2，求CD的长。分析：欲证线段长度的积

13、式即比例式，可考虑相似三角形，由题设条件直径和切线可得角相等，关键是把所给线段、角归到两个三角形中。解答：（1）（2）在RtOBC中，OB=OE=1，BC=2， CE=，又， CD=例27 在梯形ABCD中，AB/DC，ABCD，K、N分别在AD、BC上，DAM=CBK。求证：C、D、K、M四点共圆。分析：由DAM=CBK，易得A、B、M、K四点共圆，由此转化到相关角相等与互补，再证C、D、K、M四点共圆。证明：在四边形ABMK中， DAM=CBK， A、B、M、K四点共圆，连结KM，有DAB=CMK。 DAB+ADC=180 CMK+KDC=180，故C、D、K、M四点共圆例28 在RtAB

14、C中，BCA=90，以BC为直径的O交AB于E点，D为AC的中点，连结BD交O于F点。求证：分析：由BEC=BFC=BCA=Rt可得，BECBCA，BFCBCD，于是不难证得BEFBAD，又AD=CD，于是不难建立关系：证明： BC为O的直径， BFC=90，BEC=90又ACB=90 BCE=A 又BFE=BCE BFE=A BEFBAD BFC=BCA，CBD为公共角 BCFBDC 又 AD=CD 例29 如图P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于E，分别交PA、PB于C、D，若PA=5，则PCD的周长为 。答案：10解析：由切线长定理CA=CE，DB=DE，PA=PB PC

15、D的周长=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=10例30 如图，O1过O的圆心O与O交于A、B两点，C在O上，CB延长线交O1于D，CO延长线交O1于E，EDC=108，则C= 。答案：36解析：EDBO四点共圆，EOB=180108=72，OB=OC，EOB=OBC+C=2C=72， C=36【模拟试题】1. 已知，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 大小不确定2. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）。试问三角形数的一般表达式为（ ）A

16、. B. C. D. 3. 一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：第1行1第2行2，3第3行4，5，6，7 则第8行中的第5个数是（ ）A. 68 B. 132 C. 133 D. 2604. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ） 2006能被2整除； 一切偶数都能被2整除； 2006是偶数A. B. C. D. 5. 个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2002到2004，箭头的方向依次为（ ）A. B. C. D. 6. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），那么在图乙

17、中所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，等于（ ）A. B. C. D. 7. 把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），则第104个括号内各数之和为（ ） A. 2036 B. 2048 C. 2060 D. 20728. 有一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1，第二组含两个数3，5；第三组含三个数7，9，11；试观察每组内各数之和与其组的

18、编号数有什么关系（ ） A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 等于9. 在RtACB中，C=90，CDAB于D，若BD：AD=1：4，则的值是（ ）A. B. C. D. 210. 如图所示，ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对11. ABC中，DE/BC，若AE：EC=1：2，且AD=4cm，则DB等于（ ） A. 2cm B. 6cm C. 4cm D. 8cm12. 如图所示，梯形ABCD中，AD/BC，AD：BC=，中位线EF=m，则图示MN的长是（ ）A. B. C. D.

19、13. 两个相似三角形对应边上的中线之比为3：4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是（ ） A. 13和22 B. 14和21 C. 15和20 D. 16和1914. 如图所示，AD/EF/BC，GH/AB，则图中与BOC相似的三角形有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个15. ABC，AD和分别是ABC和的角平分线，且AD：=5：3，下面给出四个结论（ ） ABC的周长与的周长之比为5：3 ABC与的对应高之比为5：3 ABC与的对应中线之比为5：3其中正确的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个16. 在ABC中，BAC=90，AD是BC边上的高

20、，下图中相似三角形共有（ ）A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对17. D、E、F是ABC的三边中点，设DEF的面积为4，ABC的周长为9，则DEF的周长与ABC的面积分别是（ ） A. B. 9，4 C. D. 18. 如图所示，AB/EF/CD，已知AB=20，DC=80，BC=100，那么EF的值是（ ）A. 10 B. 12 C. 16 D. 1819. 如图所示，在ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则等于（ ）A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：2520. 两个相似三角形的面积分别为9cm2和25cm2，它们的周长相差6cm，则较大的三角形的周长为 cm。21. 如图所示，四边形ABCD是矩形，BEF=90，这四个三角形能相似的是 。22. 如图所示，平行四边形ABCD中，E为AD延长线上一点