第四章 基本体投影与截交线(正式)

1、Jixie ZhituJixie Zhitu主编主编 刘刘 力力 王王 冰冰高等教育出版社高等教育出版社 【学习目标和要求学习目标和要求】 1. 1.熟练掌握基本体的投影画法、立体表面上取点和线；熟练掌握基本体的投影画法、立体表面上取点和线； 2. 2.掌握平面与立体相交时截交线的投影特点、形状分析及其求截掌握平面与立体相交时截交线的投影特点、形状分析及其求截交线的作图方法；交线的作图方法； 3. 3.掌握两立体表面相交时相贯线的投影特点、形状分析及其求相掌握两立体表面相交时相贯线的投影特点、形状分析及其求相贯线的作图方法；贯线的作图方法； 4. 4.会用会用autocadautocad绘制立

2、体及其表面交线投影的作图方法。绘制立体及其表面交线投影的作图方法。 【重点和难点重点和难点】1.1.重点重点（1 1）回转体的投影及其表面上取点、取线的作图方法；）回转体的投影及其表面上取点、取线的作图方法；（2 2）截交线的形状分析方法，其中圆柱表面截交线形状的分析）截交线的形状分析方法，其中圆柱表面截交线形状的分析与作图是重点；与作图是重点；（3 3）两回转体相交的相贯线的性质及其作图方法，其中圆柱与）两回转体相交的相贯线的性质及其作图方法，其中圆柱与圆柱相贯是重点。圆柱相贯是重点。 2. 2.难点难点 （1 1）截交线、相贯线形状的分析与作图；）截交线、相贯线形状的分析与作图； （2 2

3、）辅助平面法求相贯线。）辅助平面法求相贯线。4.1 4.1 基本体的投影及其表面取点基本体的投影及其表面取点4.3 4.3 两回转体表面的交线两回转体表面的交线相贯线相贯线4.2 4.2 平面与立体表面的交线平面与立体表面的交线截交线截交线棱柱由顶面、底面和称为棱面的矩形平面所围成；棱柱由顶面、底面和称为棱面的矩形平面所围成；顶面、底面是平行且形状和大小相等的多边形；顶面、底面是平行且形状和大小相等的多边形；棱面与棱面的交线称棱线，棱线互相平行。棱面与棱面的交线称棱线，棱线互相平行。 在平行于棱柱底面的投影面上，棱柱的投影是一平面多边在平行于棱柱底面的投影面上，棱柱的投影是一平面多边 形，它反

4、映底面实形。形，它反映底面实形。 在其它在其它的投影面上，的投影面上，棱柱的投影棱柱的投影是一系列矩是一系列矩形或矩形线形或矩形线框。框。 作投影图时，可先画正六棱柱作投影图时，可先画正六棱柱的水平投影正六边形，再根据投影规的水平投影正六边形，再根据投影规律（长对正，高平齐，宽相等）和棱律（长对正，高平齐，宽相等）和棱柱高度作出其他两个投影。柱高度作出其他两个投影。adebcabdceecdabADCEBXZYa(b)d(c)eabdcea”b”d”c”XZYHYW棱锥的底面为平面多边形；棱锥的底面为平面多边形；棱锥的所有棱线汇交于一点（锥顶）。棱锥的所有棱线汇交于一点（锥顶）。 在平行于棱锥

5、在平行于棱锥底面的投影面上，底面的投影面上，棱锥的投影是多边棱锥的投影是多边形线框，它反映底形线框，它反映底面实形；面实形； 在其它投影在其它投影 面面上，棱锥的投影是一上，棱锥的投影是一系系 列三角形或三角列三角形或三角形线框。形线框。 作投影图时先画出底面三角形的各个投影，再作出锥顶作投影图时先画出底面三角形的各个投影，再作出锥顶S S的各个投影，然后连接各棱线即得正三棱锥的三面投影。的各个投影，然后连接各棱线即得正三棱锥的三面投影。已知点已知点N N的水平的水平投影投影n n，求点，求点N N的其的其它两投影它两投影n,n n,n 顶顶 面面底底 面面圆柱面圆柱面圆柱面是由一直线（母线）

6、绕与之平行的圆柱面是由一直线（母线）绕与之平行的轴线回转一周而形成的。母线在圆柱面上的轴线回转一周而形成的。母线在圆柱面上的任一位置称为圆柱面的素线。任一位置称为圆柱面的素线。圆柱表面由圆柱曲面和顶面圆、底面圆组成圆柱表面由圆柱曲面和顶面圆、底面圆组成。在垂直于轴线在垂直于轴线的投影面上，投影的投影面上，投影是圆，它反映底面是圆，它反映底面实形。实形。在平行于轴线在平行于轴线的投影面上，圆柱的投影面上，圆柱的投影是形状、大的投影是形状、大小相同的矩形。小相同的矩形。 作投影图时先画出圆柱投影成圆的投影，轴线的三面投作投影图时先画出圆柱投影成圆的投影，轴线的三面投影，再根据圆柱的高度画出其它两个

7、投影成矩形的投影。影，再根据圆柱的高度画出其它两个投影成矩形的投影。底底 面面圆锥面圆锥面 圆锥表面由圆锥面和底圆锥表面由圆锥面和底圆所组成。圆锥面是一直母圆所组成。圆锥面是一直母线绕与它相交的轴线回转一线绕与它相交的轴线回转一周而形成的。母线在圆锥面周而形成的。母线在圆锥面上的任一位置称为圆锥面的上的任一位置称为圆锥面的素线。素线。u在垂直于轴线的投影面上，投影是圆，它反映底面实形。在垂直于轴线的投影面上，投影是圆，它反映底面实形。u在平行于轴线的投影面上，投影是形状、大小相同的等在平行于轴线的投影面上，投影是形状、大小相同的等腰三角形。腰三角形。 作投影图时，先画出底面圆和轴线的各个投影，

8、再作投影图时，先画出底面圆和轴线的各个投影，再画出锥顶的投影，然后分别画出圆锥面正面投影和侧画出锥顶的投影，然后分别画出圆锥面正面投影和侧面投影的转向轮廓线，即完成圆锥的各个投影。面投影的转向轮廓线，即完成圆锥的各个投影。方法一：辅助素线法方法一：辅助素线法方法二：辅助圆法方法二：辅助圆法三面投影是直径相等的圆。三面投影是直径相等的圆。 球的表面是球面。球面是由一个球的表面是球面。球面是由一个圆母线绕通过其圆心且在同一平面上圆母线绕通过其圆心且在同一平面上的轴线回转的轴线回转180180而形成的。而形成的。作投影图时，先按投影规律确定球心的三面投影，作投影图时，先按投影规律确定球心的三面投影，

9、即画出确定球心的三个投影三对中心线，再画出三个与即画出确定球心的三个投影三对中心线，再画出三个与球等直径的圆。球等直径的圆。环的表面是由环面围成，环的表面是由环面围成，环面是由一圆母线绕在母线圆环面是由一圆母线绕在母线圆平面上的母线圆外的轴线回转平面上的母线圆外的轴线回转形成的。靠近轴线的半个母线形成的。靠近轴线的半个母线圆形成的环面为内环面，远离圆形成的环面为内环面，远离轴线的半个母线圆形成的环面轴线的半个母线圆形成的环面为外环面。为外环面。作投影图时，先按投影规律确定球心的三面投影，作投影图时，先按投影规律确定球心的三面投影，即画出确定球心的三个投影三对中心线，再画出三个与即画出确定球心的

10、三个投影三对中心线，再画出三个与球等直径的圆。球等直径的圆。2.2.素线是直线的回转体（如圆锥），可采素线是直线的回转体（如圆锥），可采用过锥顶点作辅助素线法求点的投影；用过锥顶点作辅助素线法求点的投影；3.3.所有回转体都可采用作垂直于回转轴的辅所有回转体都可采用作垂直于回转轴的辅助圆法求点的投影。助圆法求点的投影。 用平面与立体相交，截去体的一部分用平面与立体相交，截去体的一部分 截切截切。 截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线截交线截交线。 用以截切立体的平面用以截切立体的平面截平面截平面。截交线的概念截交线的概念 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点

11、求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。线，并连接成多边形。一、平面体表面的截交线一、平面体表面的截交线 截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。 截交线是一个由直线组成的截交线是一

12、个由直线组成的封闭的平封闭的平 面多边形面多边形。 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。线，并连接成多边形。一、平面体表面的截交线一、平面体表面

13、的截交线 截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。 截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平封闭的平 面多边形面多边形。交线的形状？交线的形状？截平面与体的截平面与体的几个棱面相交？几个棱面相交？ 投影分析投影分析例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 空间分析空间分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 3 3 截交线在俯、截交线

14、在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是我们采用的是哪种解题方法？哪种解题方法？棱线法！棱线法！ 注意：注意： 要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交为整体被截切，求出截交线后再取局部。线后再取局部。例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 三面共点：三面共点： 、两点分两点分别同时位于三个面别同时位于三个

15、面上。上。例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 1 8 8 8 8例例3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 2分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影例例3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。222 211例例4:4:求作俯

16、视图。求作俯视图。1 12 2侧垂面侧垂面正垂面正垂面1 1 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。 求截交线的方法：求截交线的方法：求截平面与回转体表面的共有点求截平面与回转体表面的共有点。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以相对位置，以确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面及回转体与投影面的相对位

17、置，分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明明 确确截交线的投影特性截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。 找出找出截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。二、回转体的截交线二、回转体的截交线 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，再补充中间点先找特殊点，再补充中间点。 圆柱体表面的截交线圆柱体表面的截交线 截平面与圆柱面的交线的形状取决截平面与圆柱面的交线的形状取决

18、于截平面与圆柱轴线的相对位置。于截平面与圆柱轴线的相对位置。垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜1.1.圆柱的截交线圆柱的截交线截交线的已知投影？截交线的已知投影？例例4 4：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状？空间形状？ 例例4 4：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹

19、角的变化而改变。变化而改变。什么情况下什么情况下投影为圆呢？投影为圆呢？截平面与圆柱截平面与圆柱轴线成轴线成4545时。时。4545例例1 1：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截交线的形状截交线的形状截交线的投影特性截交线的投影特性解题步骤：解题步骤： 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。例例1 1：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截交线的形状截交线的形状截

20、交线的投影特性截交线的投影特性解题步骤：解题步骤：例例2 2：求左视图：求左视图例例2 2：求左视图：求左视图分析、比较分析、比较例例3 3：求俯视图：求俯视图例例3 3：求俯视图：求俯视图例例4 4：求俯视图：求俯视图分析、比较分析、比较由于截由于截平面与圆锥平面与圆锥轴线的相对轴线的相对位置不同，位置不同，截交线的形截交线的形状也不同，状也不同，平面截切圆平面截切圆锥形成的截锥形成的截交线可分为交线可分为五种情况五种情况（1 1）分析：由）分析：由于截平面为水平面于截平面为水平面，与圆锥轴线平行，与圆锥轴线平行，所以截平面与圆，所以截平面与圆锥面的交线为双曲锥面的交线为双曲线，其正面投影和

21、线，其正面投影和侧面投影均投影成侧面投影均投影成水平线，只要求作水平线，只要求作其水平投影，水平其水平投影，水平投影反映实形。投影反映实形。（2 2）求出）求出截交线上的特殊截交线上的特殊点点、（3 3）求出）求出截交线上的一般截交线上的一般点点、（4 4）依次）依次光滑连接光滑连接2 2、4 4、1 1、5 5、3 3各点各点，即得截交线，即得截交线的水平投影。的水平投影。平面与球的截交平面与球的截交线总是圆。线总是圆。当截平面平行于当截平面平行于投影面时，截交线在投影面时，截交线在该投影面上的投影反该投影面上的投影反映实形，另两个投影映实形，另两个投影积聚成直线。积聚成直线。当截平面倾斜当

22、截平面倾斜于投影面时，截交于投影面时，截交线在该投影面上的线在该投影面上的投影为椭圆。投影为椭圆。（1 1）分析：）分析：球表面的凹槽由两球表面的凹槽由两个侧平面个侧平面P P、Q Q和一和一个水平面个水平面R R切割构切割构成，截平面成，截平面P P、Q Q各各截得一段平行于侧截得一段平行于侧面的圆弧，而截平面的圆弧，而截平面面R R则截得前后各则截得前后各一段水平的圆弧，一段水平的圆弧，截平面之间的交线截平面之间的交线为正垂线。为正垂线。（2 2）求）求侧平面侧平面P P、Q Q的截交线。的截交线。（3 3）求）求水平面水平面R R的截的截交线。交线。（4 4）整理）整理轮廓线，表明轮廓线

23、，表明可见性。可见性。 组合回转体是由组合回转体是由若干个同轴的基本回若干个同轴的基本回转体组成，作组合回转体组成，作组合回转体的截交线时，首转体的截交线时，首先要分析各部分的曲先要分析各部分的曲面性质，然后按照它面性质，然后按照它的几何特性确定其截的几何特性确定其截交线的形状，再分别交线的形状，再分别作出其投影。作出其投影。两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于某一投影面的圆柱，则相贯线在该投影面直于某一投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影就积聚在圆柱面的积聚投影圆周上。上的投影就积聚在圆柱面的积聚投影圆周上。这样就可以在积聚的圆周上取一些相贯线上的

24、这样就可以在积聚的圆周上取一些相贯线上的点，按回转体表面取点的方法作出相贯线的其点，按回转体表面取点的方法作出相贯线的其他投影。他投影。（1 1）分析：由于）分析：由于小圆柱水平投影积聚小圆柱水平投影积聚成圆，所以相贯线的成圆，所以相贯线的水平投影就积聚在该水平投影就积聚在该圆上；大圆柱的侧面圆上；大圆柱的侧面投影积聚成圆，相贯投影积聚成圆，相贯线的侧面投影就积聚线的侧面投影就积聚在该圆有小圆柱贯穿在该圆有小圆柱贯穿进的那段圆弧上。根进的那段圆弧上。根据相贯线的两个投影据相贯线的两个投影即可按表面取点法求即可按表面取点法求出其正面投影。出其正面投影。（2 2）求特殊点）求特殊点、（3 3）求一

25、般）求一般点点、（4 4）顺次连）顺次连接各点的正面投影接各点的正面投影，表明可见性。，表明可见性。 以上三种情况中，由于两相交立体的形状、大小以上三种情况中，由于两相交立体的形状、大小和相对位置均相同，因而相贯线的形状也是相同的。和相对位置均相同，因而相贯线的形状也是相同的。两实心圆柱相交两实心圆柱相交圆柱孔与实心圆柱相交圆柱孔与实心圆柱相交两圆柱孔相交两圆柱孔相交两圆柱相贯的常见情况两圆柱相贯的常见情况作两回转体的相贯线时，可以用与两回转体都相交（或作两回转体的相贯线时，可以用与两回转体都相交（或相切）的辅助平面切割这两个立体，则两组截交线（或切线）相切）的辅助平面切割这两个立体，则两组截

26、交线（或切线）的交点，是辅助平面和两回转体表面的三面共点，即为相贯的交点，是辅助平面和两回转体表面的三面共点，即为相贯线上的点。线上的点。这种求作相贯线的方法称为辅助平面法。这种求作相贯线的方法称为辅助平面法。最好选用特殊位置平面作为辅助平面，并使辅助平最好选用特殊位置平面作为辅助平面，并使辅助平面与两回转体的截交线的投影为最简单，如：截交线为面与两回转体的截交线的投影为最简单，如：截交线为直线或平行于投影面的圆。直线或平行于投影面的圆。辅助平面的选择：辅助平面的选择：（1 1）分析：由于圆）分析：由于圆柱的侧面投影积聚成圆，柱的侧面投影积聚成圆，相贯线的侧面投影也必然相贯线的侧面投影也必然重合在这个圆上。需要求重合在这个圆上。需要求的是相贯线的正面投影和的是相贯线的正面投影和水平投影。可选择水平面水平投影。可选择水平面作辅助平面，它与圆锥面作辅助平面，它与圆锥面的截交线为圆，与圆柱面的截交线为圆，与圆柱面的截交线为两条平行的素的截交线为两