高中数学 2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件 新人教A版选修1-1

1、2.3.2抛物线的简单几何性质教学目标教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力 过程与方法目标 复习与引入过程复习与引入过程 1抛物线的定义是什么？ 请一同学回答应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线” 2抛物线的标准方程是什么？ 再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0) 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程

2、y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质板书抛物线的几何性质yxoMFdK复习复习结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.XY(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径始终为常数始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的

3、通径。通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2P思考思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。特点特点1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;

4、5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1变式变式: 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, )的抛物线有几条的抛物

5、线有几条,求它的标准方程求它的标准方程.2 2典型例题：典型例题：例例1.已知抛物线关于已知抛物线关于x轴对称，轴对称，顶点在坐标顶点在坐标原点原点,并且过点并且过点M(2, ),求它的标准方程求它的标准方程.2 2当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论可避免讨论)0(2),22, 2(2PPxyMx程为所以，可设它的标准方点点，并且经过轴对称，它的顶点在原解：因为抛物线关于222)22(2pPM，即在抛物线上，所以因为点xy42准方程是因此，所求抛物线的标xyOFABBA224 ,(1)4 ,yxxx

6、代代入入方方程程得得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x解法一解法一:由已知得抛物线的焦点由已知得抛物线的焦点为为F(1,0),所以直线所以直线AB的方程为的方程为y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设, 1, 121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx 所所以以例例2.斜率为斜率为1的直线的

7、直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl准线解法二解法二:由题意可知由题意可知, 变式：变式： 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切和这抛物线的准线相切证明：如图 所以所以EH是以是以AB为直径的为直径的圆圆E的半径，且的半径，且EHl，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切相切设设AB的中点为的中点为E，过，过A、E、B分别向准线分别向准线l引

8、垂引垂线线AD，EH，BC，垂足为，垂足为D、H、C，则则AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH练习练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，轴，焦点在直线焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径上，那么抛物线通径长是长是_.2.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于垂直于x轴的直线交抛物线轴的直线交抛物线y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直线求直线AB的方程的方程.1616 y2 = 8x0453X=3例例3.过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交

9、抛物线于的直线交抛物线于A,B两点两点,通过点通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点点D,求证求证:直线直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.xOyFABD例例3 过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过点两点，通过点A和抛物线顶点的和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点直线交抛物线的准线于点D，求证：直线，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。平行于抛物线的对称轴。,22pxyx物线的方程为建立直角坐标系。设抛轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称,2),2(0020 xypyOAypyA的方程为则直线的

10、坐标为点2px抛物线的准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0 ,2(200ppypxyyAFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB/xyOFABD小结小结:1.掌握抛物线的掌握抛物线的几何性质几何性质:范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题焦点坐标及解决其它问题;图形图形标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0(2ppyx2 2Ryx,

11、 0)0,0(Ryx, 0Rxy, 0Rxy, 0)0,0()0,0()0,0(关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于x 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心关于关于y 轴轴对称，无对称，无对称中心对称中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2 分析分析:直线与抛物直线与抛物线有一个公共点线有一个公共点的情况有两种情的情况有两种情形：一种是直线形：一种是直线平行于抛物线的平行于抛物线的对称轴；对称轴；另一种是直线与另一种是直线与抛物线相切抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直

12、线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 分析分析:直线与抛物线没有公直线与抛物线没有公共点时共点时0 个公共点。即直线与抛物线只有一时，或，或综上所述，当0211kkk公共点。即直线与抛物线有两个时，且当0,211kk共点。即直线与抛物线没有公时，或当211kk注注:在方程中在方程中,二次项系数含有二次项系数含有k,所以要对所以要对k进行讨论进行讨论作图要点作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情画出直

13、线与抛物线只有一个公共点时的情形形,观察直线绕点观察直线绕点P转动的情形转动的情形变式一变式一:已知抛物线方程已知抛物线方程y2=4x,当当b为何值时为何值时,直线直线l:y=x+b与抛物线与抛物线(1)只有一个公共点只有一个公共点(2)两个公共两个公共点点(3)没有公共点没有公共点.当直线与抛物线有公共点时当直线与抛物线有公共点时,b的的最大值是多少最大值是多少?分析分析:本题与例本题与例1类型相似类型相似,方法一样方法一样,通通过联立方程组求得过联立方程组求得.(1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时当直线与抛物线有公共点时,b的的最大值当直线与抛物线相切时取得最大值当直线与抛物

14、线相切时取得.其值其值为为1变式二变式二:已知实数已知实数x、y满足方程满足方程y2=4x,求函数求函数 的最值的最值12yzx 变式三变式三:点点(x,y)在抛物线在抛物线y2=4x上运动上运动,求函数求函数z=x-y的最值的最值.本题转化为过定点本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题斜率的最值问题.本题转化为直线本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时与抛物线有公共点时z的最值的最值问题问题.min1z 无最大值无最大值1 21minmaxkkxyBAFO221122122(0)(,),(,),:.ypx pABA xyB xyy yp

15、 例例2、2、过过抛抛物物线线焦焦点点作作直直线线交交抛抛物物线线于于， 两两点点，设设求求证证解：因为直线解：因为直线AB过定点过定点F且不与且不与x轴平轴平行行,设直线设直线AB的方程为的方程为222221222 ()2220ypxpyp mypxmyypmypy yp 即：（定值）2pxmyxyBAFO_?,:21221xxpyy，那么注意到在同样的条件下联想.4),(),()0(2:122122112pxxyxB、yxA，Fppxy则有交抛物线于点的直线焦点过抛物线变题221122122(0)(,),(,),:.ypx pABA xyB xyy yp 例例2、2、过过抛抛物物线线焦焦点点作作直直线线交交抛抛物物线线于于， 两两点