五年级同步奥数拓展(精编版)

1、第一讲整数问题第1课数的整除一、知识要点1 .除一一因数、倍数必要条件：(1) a、b、c三个数是整数(2) bw0 a + b=c结论：整数a能被整数b整除，或b能整除a,则a叫做b的倍数，b叫 做a的因数。记作：b | a整数a除以整数b (bw0)等于c (c是整数且没有余数)，那么说a能被b整除，或b能整 除a, a叫做b的倍数，b叫做a的因数。2 .相关基础知识点回顾(1) 0是任何整数的倍数。(2) 1是任何整数的因数。3 .数整除的性质性质1:如果即：a、b都能被m如果 m | a, m整除，那么它们的和与差也能被m整除。I b,那么 m | ( a± b)。例如：如果

2、210, 2 |6,那么2 | (10+6),并且 2 | (106)。性质2:如果即：a能同时被m、 如果 m | a, nn整除，那么a也一定能被 m和n的最小公倍数整除。a,那么m, n | a。例如：如果636, 9 |36,刃B么6 , 9 | 36。性质3:如果即：m、n都能整除 如果 m | a, na,且m和n互质，那么m与n的积能整除a。a,且(m, n) =1,那么(m x n) | a。例如：如果272, 9 |72,且(2, 7) =1,那么 18 | 72。性质4:如果即：a能整解如果a(b, b fb, b 1能整除m,那么a能整除m。 m,那么a | m。例：如果

3、 7 | 14, 14 | 28,那么 7 | 28。4 . 数的整除特征（ 1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、 4、 6、 8、 0），那么它必能被 2 整除。（ 2）能被5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0 或 5，那么它必能被5 整除。（ 3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。（ 4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被 4（或25）整除。例：1864 能否被4 整除？解：1864=1800+64,因为4 | 64, 4

4、是1864的因数，1864是4的倍数，所以 4 | 1864。（ 5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。例： 29375 能否被 125 整除？解：29375=29000+375,因为 125 | 375, 125 是 375 的因数，375 是 125 的倍数，所以 125 | 29375。（ 6）能被11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。（奇数位指：这个数的个位、百位、万位；偶数位指：这个数的十位、千位、十万位）例：判断13574 是否

5、是 11 的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4+5+1） - （7+3） =0。因为0是任何整数的倍数，所以11 | 0。因此13574是11的倍数。例：判断123456789 这九位数能否被11 整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9 + 7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6 + 4+2=20.因为25-20=5,又因为 11 5 ,所以 11 123456789。（ 7）能被7（ 11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（ 11 或 13）整除。例：判断1059282 是否是 7 的倍数？解

6、：把1059282分为1059和282两个数。因为 1059-282 =777,又因为7| 777,所以7 | 1059282。因 此 1059282 是 7 的倍数。例：判断3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数 . 因为 3546-725=2821. 再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 821-2=819,又 13| 819,所以 13 | 2821 ,进而 13 | 3546725。、典型例题详解猜猜会是什么数?【例1】：一个856 五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？解：先将 856,看做

7、856ab。3 | 856ab,则 3 | 8+5+6+a+b, 3 | 19+a+b,a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8。.1 4 | 856ab,贝U 4 | ab,ab=偶数5 I 856ab,贝U b=0 或 b=5,又,: ab 为偶数，b=0a+b=2 或 a+b=5 或 a+b=8,且 b=0,a=2 或 a=5 或 a=8当a=2, b=0时，这个数为85620;当a=5, b=0时，这个数为85650;当a=8, b=0时，这个数为85680。答：五位数中最小的一个是85620。【例2】：一本老账本上记着：72只桶，共 67.9元，其中口处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账

8、补上。解：先将 67.9 ,看做整数a679b。72=8X 9,且（8, 9） =1,8 | a679b,且 9 | a679b。若 8 | a679b,则 8 | 79b,所以 b=2。若 9 | a679b, b=2,贝U 9 | a6792, 9 | a+6+7+9+2, 9 | a+24,所以 a 应是 3。所以这个数应是答：这笔账应是 元。【例3】：173 是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、方法二倍数特征解：2. 71450至少加上多少后就能被 4整除?11、6整除。先后填入的三个数字的和是多少?方法一试商法解：三、课后作业1 .在口中填

9、入适当的数字，使所组成的数能够被4整除。78 口 47653 口 863 口口3 . 一个六位数2356 是22的倍数，那么这样4 .如果两个数的和是64,这两个数的积可以整的六位数中，最大的一个是多少?除4875,那么这两个数的差是多少5 . 一位采购员买了同样的72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不 全，只能看出： 口173. 口元。你能算出热水 杯的单价吗？第一讲整数问题第2课倍数与因数（一）一、知识要点1 .质数与合数质数：一个数除了 1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。（素数）合数：一个数除了 1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。1不是质数，也不是合

10、数。2 .质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例：30分解质因数。解：30=2X3X5 答：2、3、5是30的质因数。分解质因数的方法：可以用短除式来求质因数里152 I 183 |_2_3100以内的质数（嬖!鳍的3：2、3、5、7、11、 13、17 、 19、23、 29、31、 37、41、 43、 47 、53、 59、61、 67、71、 73、79、83、 89、97、3 .公因数与公倍数公因数：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数公倍数：几个自然数公有的倍

11、数，叫做这几个自然数的公倍数一个数的因数的个数是（）的，倍数的个数是（）的。几个数的公因数的个数是（）的，公倍数的个数是（）的4 .最大公因数与最小公倍数最大公因数：在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。a 、b的最大公因数=（a , b）最小公倍数：在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。a、b的最小公倍数=a、b2 1 83 0用公有的质因数2除3 915用公有的质因数3除35 除到两个商是互质数为止（18, 30） =2X3=618, 30=2 X3X 3X5=90二、典型例题详解【例1】五年级三个班分别有 30、24、42人参加课外科技活

12、动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并 且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？ 一共可以分成多少个小组？用短除法计算:解：30=2X3X524=2 X 3 X 2 X 242=2 X 3 X 7（30, 24, 42） =2X 3=6 （人）30+6=5 （个）24+6=4 （个）42+6=7 （个）5+4+7=16 （个）答：每组最多可以分 6人，一共可以分16个组。用短除法计算:【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？ 解：16=2X2X2X212=2 X2X316, 12=2 X2X2X2X 3=48 （厘米）48 +16=3（

13、块）48 +12=4（块）3 X 4=12（块）答：最少需要12块扣板。【例3】甲对乙说：“我现在的年龄是你的 7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的 5倍、4倍、3倍、2倍。”求出甲、乙现在的年龄。解：甲现在的年龄是乙的 当甲的年龄是乙的 当甲的年龄是乙的 当甲的年龄是乙的 当甲的年龄是乙的 当甲的年龄是乙的.甲、乙的年龄差是7倍，则甲的年龄比乙大 6倍时，则甲的年龄比乙大 5倍时，则甲的年龄比乙大 4倍时，则甲的年龄比乙大 3倍时，则甲的年龄比乙大 2倍时，则甲的年龄比乙大 6、5、4、3、2的公倍数。6倍;5倍;4倍;3倍;2倍;1倍;6,5, 4, 3, 2=6 X 5X4X

14、3X 2=60 （岁）60+ （7-1 ） =10 （岁）10+60=70（岁）答：甲的年龄是70 岁，乙的年龄是10 岁。4】写出三个小于20 的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组解：假设这三个数分别是a、 b、 c.a、b、c 两两不互质，且 a<20, bv20, cv20,则两两间的质因数互不相同且乘积小于20（a，b）=2 或（a，b）=3或（a，b）=5；（a，c）=2 或（a，c）=3或（a，c）=5；（b，c）=2 或（b ，c）=3或（b ，c）=5；，a, b, c 三数有可能是 2X3=6, 2X 5=10, 3X5=15, 2X6=12, 3X

15、6=18。 又-.1 （a, b, c） =1;（ 6，10，15）=1； （ 10， 15，12） =11； （ 10， 15， 18）=答：共有三组，分别是（6、10、15） ， （ 10、 12、 15） ， （ 10、15、 18）。三、课后习题1. 求 56， 36， 284 的最小公倍数。2. 有 336 个苹果、252 个梨子、210 个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？每份礼物中，三种水果各占多少？3. 三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45 秒钟、 1 分 15 秒。 三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会4. 有一个表

16、，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。 中午 12 点时既亮灯又响铃。下次既亮灯又响铃在几点？5.把一弓长120cmi,宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形（ 纸不能有剩余） ，至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？6. 用一个数去除31， 61， 76 都余 1，这个数最大是多少？第 3 课 倍数与因数（二）一、知识要点1.最小公倍数与最大公因数之间的关系定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。即：如果（a, b） =d ,那么（a+d, b+0 =1定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。即：a, b x （a, b） =a

17、x b定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数二、典型例题详解【例1】甲数是36,甲、乙两数的最大公因数是4,最【练一练】甲数和乙数的最大公因数是6,最小公小公倍数是288,求乙数。倍数是90,且小数不能整除大数，求这两个数。解：设乙数是a36 x a=4X288a=4X 288 + 36a=32答：乙数是32。【例2】已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？a、【练一练】两个自然数的和是 56,它们的最大公因 数是7,求这两个数。解：设这两个数分别为126 + 21=66=3 X 2a=3X 21=63b=2X 21=4263+21=84答：这两个

18、数的和是b或 6=1 X 6a=1X21=21b=6X 21=12621+126=14784或 147。【例3】两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5, 求这两个数的差。【练一练】已知两个自然数的积是 5766,它们的最大公因数是31 ,求这两个数。解：设这两个自然数分别是5a、5b 5a+5b=50 .1. a+b=10.1 (a, b)=1 且 a+b=10 霓舄或之3当 a=1 时，5a=5, 5b=455b-5a=40b =9当 a =3 时，5a=15, 5b=35 5b-5a=20 b =7答：这两个数的差是40或20.【例4】两个自然数的和是54,它们的最小公倍数与最大公

19、因数的差是114,求这两个自然数。解：设这两个数是 A、B。且A=am； B=bm.1 A+B=54 ,贝U am+bm=54 . . m(a+b)=54(A、B)=m；a、b为A、B两数的非有公因数，(a、b)=1A、B=mxaxb. A、B(A、B)=114,则 mxax b-m=114 m(ab 1)=114m(a+b)=54 且 m(ab 1)=114则m是54和114的公因数又( 54, 114) =6, 6=1 X 6=2X3m=1 或 m=6 或 m=2 或 m=3如果 m=1,贝U 1 x (a+b)=54, a+b=54;1 x (ab1)=114, ab=115 .,115

20、=1X115 或 115=5X23 . 115+1 w 54 且 5+23 w 54 . m w 1如果 m=6,则 6X(a+b)=54, a+b=9;6 x (ab1)=114, ab=20. , (a、b)=1,贝U 20=1 X 20 或 20=4 X 5 .-1+20W9, 4+5=9则 m=6, a=4, b=5;. A=4X6=24, B=5X 6=30如果 m=2,则 2X(a+b)=54, a+b=272 x (ab1)=114, ab=58 . , (a、b)=1,贝U 58=1 X 58 或 58=2 X 29 . , 1+58W27 且 2+29W27 . m w 2三

21、、课后作业(1)某数与24的最大公因数是 4,最小公倍数是168,(接【例4】)如果 m=3,贝U 3X(a+b)=54, a+b=183X(ab1)=114, ab=39 .1 (a> b)=1,贝U是 39=1 X39 或 58=3 X 13. 1+39W 18 且 3+13W16m w 3答：这两个自然数是 24和30。【练一练】两个数的差是4,最大公因数与最小公倍数的积是252,求这两个数。(2)已知两个自然数的最大公因数为4,最小公倍这个数是多少？数为120，求这两个数。（ 3） 两个数的和是70， 它们的最大公因数是7， 求这两个数的差是多少？（ 4） 已知两个自然数的差为4

22、8， 它们的最小公倍数为 60，求这两个数。（ 5）两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求两个数的和。（ 6）已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。（ 7）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是多少？（ 8）两个自然数的差是3，它们的最大公因数与最小公倍数的积是180，求这两个数。复习练习第 2 课（ 1）有一种地砖，长20 厘米，宽15 厘米，至少需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形？（ 2）一箱鸡蛋，四个四个数多3 个，五个五个数多4 个， 七个七个数多6 个， 这箱鸡蛋至少有多少个？3）

23、有一个班的同学包车旅游，如果增加一辆车，正好每辆车坐10 人，如果减少一辆车，正好每辆车坐 15 人，这个班共有多少人？（10）已知a与b、a与c的最大公因数分别是 12和15， a、 b、 c 的最小公倍数是120，求a、 b、 c。（ 4）一条路长96 米，从一端起，每隔4 米栽一棵树（路两旁都栽）。现要再每隔6 米栽一棵，已栽上的地方不用重栽，这条路上共需新栽多少棵树？第二讲 图形的面积第 1 课 巧求图形面积、知识要点1.基本平面图形特征及面积公式特征面积公式止方形四条边都相等。四个角都是直角。后四条对称轴。S=a2长方形对边相等。四个角都是直角。有一条对称轴。S=ab平行四边形两组对

24、边平行且相等。对角相等，相邻的两个角之和为180°平行四边形容易变形。S=ah三角形两边之和大于第三条边。两边之差小于第三条边。三个角的内角和是 180°。后二条边和三个角，具有稳定性。S=ah+ 2形只有一组对边平行。中位线等于上下底和的一半。S=(a+b)h+ 22.基本解题方法:由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形 的基本关系，再运用分解、组合、平移、害U补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。、典型例题详解【例1】已知平行四边表的面积是 28平方厘米，求阴【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的平行四边 形，需要

25、用多少厘米铁丝？（单位：厘米）影部分的面积。【例2】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）【练一练】求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）角边EC长8厘米，已 知阴影部分的面积比 三角形EFG的面积大10平方厘米。求 CF的 长。【例3】如图所示，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求 CE的长度。4I国平【练一练平行四边形 ABCD的边长BC=10厘米， 直角三角形 BCE的直【例4】两条对角线把梯形 ABCD分割成四个三角形。【练一练】下面的梯形 ABCD中，下底是上底的 2已知两个三角形的面积（如图所示） 的面积各是多少？（单位：厘米）,求另两个三角形倍，E是AB

26、的中点，求梯形ABCD的面积是三角形EDB面积的多少倍？【练一练】一个长方形的草 坪，中间有两个人 行道。高是14 求草坪的面积。（单位：厘米）3228*-【练一练】计算下面图形的面积。Z- 15A、课后作业下面的梯形中，阴影部分面积是 150 平方厘米，求梯形 的面积。3.求图中阴影部分的面积。单位：厘米6.求图形中梯形 ABCD的面积。(单位：厘米)角形AED的面积是 人4.梯形ABCD的面积是45平万厘米，图6厘米。三5平方厘米，BC=10 厘米，求阴影部分 的面积。2.正方形ABCD的 边长是12厘米，已 知DE是EC长度的 2倍，求：(1) 三角形 DEF的面积。(2) CF的长。5

27、.正方形 ABCD的面积是 100平方厘米，AE=8厘米， CF=6厘米，求阴影部分的面 积。2倍，大三角形高是小三角形高的4倍，大三角形高是小三角形高的2倍，大平行四边形高是3倍，大平行四边形高是4倍，大平行四边形高是 n倍，大平行四边形高是第2课等积变形求面积、知识要点幕底等同的三角形面积相等平行四边形如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的 3倍，大三角形高是小三角形高的如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的 n倍，大三角形高是小三角形高的如果两个平行四边形形底相等，

28、大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 小平行四边形高的。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 小平行四边形高的。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 小平行四边形高的。如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的小平行四边形高的、典型例题分析o【例1】四边形ABCD中，MAB的中点，N为CD的中点， 如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM的面积是多少？【练一练】如图，六边形ABCDEF勺面积是16平方厘米，M、N、P、Q 分别是 AB、a&CD、DE、AF的中点。求图中阴影部分的面积

29、。【例2】如图，平行四边形 ABCD 中，AE=EF=FB, AG=2CG 三角形GEF的面积是6平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米?平方厘米，求图中阴影 部分的面积。【练一练】如图，在一个等边三角 形中任意取一点巳连接PA PRPC,过P点作三角形的垂线，E、F、G分别为垂足。三角形ABC被分成6个三角形。已 知三角形ABC的面积为40【例3】下图中正方形 ABCD的边长是4厘米，长方形【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起，求A B【例4】两个正方形拼成一 个图形，其中小正方形的边 长是4厘米，求阴影部分的 面积。DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？阴影部分的面积

30、。（单位：分米）D C【练一练】/ 如图，AE=ED,AF=FC已知 ABC的面积为100平方厘米，求阴影部分的 面积。、课后作业1 .平行四边形的面积为 50 平方厘米，P是其中任意 一点，求阴影部分的面积。2 .长方形ABCD,三角形 ABG的面积为20平方厘 米，三角形CDQ的面积为 35平方厘米，求阴影部分 的面积。4.如图,AD=2AB, CF=3ACBE=4BC已知 ABC的面积为5平方厘米, 求 DEF的面积。3 .ABCD是直角梯形，其中 AD=12厘米，AB=8厘米， BC=15厘米，且三角形 ADE、 四边形DEBF及三角形CDF 的面积相等，三角形EBF阴 影部分）的面积

31、是多少？5.如图，AB=4厘米，AC=2CD, BE=BD 求 三角形ADE的面积。6.图中 BD=2DC, AE=BE 已知三角形ABC的面积 是18平方厘米，求四边 形AEDC的面积是多少？第三讲分数的基本性质第1课分数的认识一、知识要点1 .分数的意义和性质分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。(分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示这样几份的数。把 1平均分成分母份, 表示这样的分子份。)分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位。分数的性质:分子与分母同时乘或除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。2 .分数的分

32、类L真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数大于1。假分数：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1。、带分数：带分数就是将一个分数写成整数部分+一个真分数。带分数与假分数的互换:带分数假分数：分母不变，分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和。例:假分数 A带分数:26，分子则为原分子除以分母的余数。7分母不变，整数部分为原分子除以分母的商例:14314 -33带分数真分数3 .计算方法:分数加减法(1)同分母分数相加减，分母不变，即分数单位不变，分子相加减，最后要化成最简分数。5135 1-3 3例:一.一 .一=一7 7 777(2)异分母分数相加减， 先通分,即

33、运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数,改变其分数单位而大小不变，再按同分母分数相加减法去计算，最后要化成最简分数。54125241525 24 -1534 一 = 一=一6523030303030分数乘除法(1)分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成最简分数。,一 5 一例： 6 =95 6 10(2)分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最简分数。(3)面 2 6 2 6 4例：=一9 7 9 7 21分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数， 则用分子除以整数， 最后要化成最简分数。8例： 4 =98-4 2(4)分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍

34、数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后要化成最简分数。加 2 c 211例： 6 = 一9 6 27(5)分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。例:二、典型例题分析【例1】分母是91的真分数有多少个？最简真分数有 多少个？【练一练1】分子、分母的乘积是 420的最简真分数 共有多少个？【例2】把一个最简分数的分子加上 于1。(1)如果把这个分数的分母加上1 ,这个分数就等,一 ，一3.【练一练2】一个分数约分成最简分数是 -,原分子、71,这个分数就等于分母的和是90,原分数是多少?8 ,原分数是多少？92,这个分数就等于(2)如果把这个分数的分母加上 8 ,原

35、分数是多少?9",”，73 , 一 八一，一一，【例3】分数，3的分子和分母都减去同一个整数,136 一 2_一，一，所得的分数约分后是 2,求那个整数是多少？9【练一练3】一个真分数的分子、分母是两个连续的，12 一自然数，如果分母加上 4,这个分数约分后是-,原3来这个分数是多少？,55 ,【例4】分数55的分子减去某数，而分母同时加上这 64个数后，所得的新分数化简后为-,求某数。13一， 1"【练一练4】一个分数，分子加上 1可约分为，分3一 1，、，子减去1可约分为-,求这个分数。5_ _._1 * 【练一练5】分数，的分子、分母同时加一个自然数,12一一，一 r

36、 .一，1、 “新分数化简得一个分数 , ；求这个自然数。2【练一练6】all是最简真分数，a可取的整数共有48多少个？三、课后作业【1】分母是51的真分数有多少个？最简真分数有多 少个？【2】一个最简分数的分子缩小 5倍，分母扩大9倍后2一，是,原分数是多少？273 【3】士的分子、分母同时加上多少后可以约分为13【4】一个分数，如果分子加上 16,分母减去166,那3么约分后是3 ;如果分子加上124,分母加上340,那4,1 一，一么约分后是，求原分数是多少？2【5】填空题：(列式、计算、填空)(1)一个最简真分数的分子、分母之积是30,这个最简真分数是。(3)一个最简真分数，把它的分母

37、扩大5倍，而分子缩,、 ，一 1、 ，小4倍，化简后是,求这个最简真分数是52(2)分母是85的真分数共有 的最简真分数共有 个。个，分母是85(4) 一个最简真分数，分子、分母之和是15,这个最简真分数是【6】一个真分数的分子、 分母是两个相邻的奇数， 如3果分母加上3后，这个分数约分为 士，求原分数是多4少？，一，1 ，一，一一，一 【7】分数的分子、分母同时加同一个自然数，新12分数化简后得-,求这个自然数。2第2课比较分数大小1.知识要点分数的基本性质分数的性质：分子与分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。2.比较分数大小的基本方法 分母相同：分母相同的分数，比较分子

38、，分子大的分数大 分子相同：分子相同的分数，比较分母，分母小的分数大假分数与真分数：假分数大于真分数。3.分子、分母都不同的两个分数：I 先通分，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小4.比较分数大小的巧算:通分子”当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可 以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。1215例如，苗与工，分母的最小公倍数是三位数，分子的最小公倍数是相，把竺化为 3 3化为空 因为包 >3 所以空 >11.171<内酰'泣牝内.函'85翳切人1742化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因

39、此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便, 就要看具体情况了。例如三与V 一看就知道厂=京=。,61所以先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。717171717171例如，黑与黑约分后网个分数都等于/ 所以它们是相等的.OOJo倒数比较大小。分数m和n,如果 < ,那么m> n。m nZ19:20 用气21 , 11 _ 20 甑F20、19例如而与亓因为疝=1的<尾=力所以/加大分数比较大小则分母与分子相加得到的和较大的分数比则分母与分子相加得到的和较小的分数比若两个真分数的分母与分子的差相等、较大；若两个假分数的分子与分母的差相等， 较大。借助第三个数比较大

40、小对于分数 m和 n,若 m-k>n-k,则 m>n。例如，n =两个分数都比:略大，于是可以借助0J4JZI4j0/B?S于白1将1 S4tn =, n =3 6X3213 4 咨9对于分数m和n,若m>k, k>n,则m>n。例如，（与乙因为<：,所段这里借助于J,I X J J£ J m 4 1JL J.£r<74H0匕2 2 可以 23、232322 肉的23、11乂叫 而"方囚囚而"五5T*5TL所以药/式”对于分数 m和 n,若 k-m< k-n,则 m>n。例如,5与M因为1-.上.四1

41、9 191733、= .171 193>行，所以Q泉这里借助于1,5.典型8例题【例1把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列。571137、 、 、 8122060【练一练1把下面的分数按从小到大的顺序排列:151065、 、 、 33 23 17 135 _5 15_757_ 7 10_ 7088 151201212 101201111 6663737 27420 = 20 6 =120757470 > > 1201201205>37>L>86012301520(2) 一、一、 一、27131760 =66 > 120112012-60 2 =120

42、8, 12, 20, 60=120八将 56103015+劣效、中，哪 I取大？171933974630, 15, 20, 12=6030_30 2 _601515 46027一 27 2 一5413一13 4 -522020 3601212 56017一一17 35111一一11 55560606060> > > 5152545520、15、30、121713271177771 力 88883,例2比较和的大小777758888744443 * 55557 砧人,【练一练2比较和的大小444455555977775777758888788887447777188883>

43、;<77775888877777588887例3已知a= n , b= -1(m,n都是非零自然1_ 7777141 _ 888834m m 1【练一练3】下列分数中最大的是（）数，且m>n）, a, b的大小关系是（）A.可能a=bB. a 一定大于b9989899988.999. 99. 9999. 9C.有时a> bD. a 一定小于b如果 a=1, b=121=2 1b>a 221332如果 a=7, b= 721=8, 8>Z, b>a881998一 ,2 , 1 .-例4比2大，比1小，分子是17的分数共有多少73个？【练一练4在下面的 中填入适

44、当的整数，使不等2, 1, 17=342_2 17 _ 347-7 17-1191 1 3434一=3 3 34 10217X2=34 119 + 2=591102 + 2=51答：分母可以是： 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 共 8 个。,1116509848434 一【练一练5】在11、984、84这四个分？、 【练一练6】写出三个大于士而小于-的最简真分数。1416539878777数中，最大的是哪个？最小的是哪个？774【练一练7】分子是3,比二小，但与 二最接近的分【练一练8已知V V ,乙为连续自然数,656519519数是哪一个？求存口 *、

45、课后作业366024721248【1】将一、一、一、一、一、一从小到大排416729831359列，排在第三个位置上的数是多少？7 1741 99【2】把五个分数7、17、上、理512 29 70239239按从小到160设"987654321 b= 987654321 -2008123456789 ，123456789 -2008，试比【4】在下面的 匚|中填入适当的整数，使不等式成立。较a与b的大小。 17匚|里应填的整数有哪些？0.25 V -27. V 0.26【5】比较竺7和73的大小。490741 , 7 ,【6】比大，比上小, 410个？分母是40的最简分数有多少大的顺

46、序排列。111111110444444443 i,【7】比较与的大小。222222221888888887 4 311.26 一【8】有七个数，0.42, - , 21 , 0.424, 26是，72661,* *11,其中的五个，已知从小到大排的第三个是口，求从26大到小排的第三个数。第四讲行程问题第1课行程中的追及问题一、知识要点1 .2 .行程中的基本数量关系：路程=速度X时间3 .4 .追及问题中的基本数量关系：路程差（追及路程）=速度差X追及时间路程差（追及路程）+速度差=追及时间路程差（追及路程）+追及时间=速度差5 .追及问题中的应注意的规律：追赶者所用的时间=被追赶都所用的时间

47、 =追及时间二、典型例题例1 一辆面包车的速度是每小时 60千米，在面包【练一练1 一个人骑自行车，一个人骑摩托车，两车开出30分钟后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车， 多长时间能追上？先行30分钟追及时间.人X面包车一- 一七片1|J追及路程:.11:小轿车11二人同时从甲地出发去乙地。自行车每小时行18千米,摩托车每小时行 45千米。自行车先出发 1.5小时，摩 托车沿着同一条路线追赶自行车，追上自行车时，摩 托车行了多少千米？追及时间60 x （ 30+60） =30 （千米）30+ （ 84-60） =1.25 （小时）1.25小时=1小日中15分钟答：小轿车需要1小时15分钟追上面包车。解题过程中用到的公式路程差（追及路程）+速度差=追及时间【例2】甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地， 甲车每小时行 40千米，乙车每小时行 35千米。途中 甲车因故障修车用了 3小时，结果甲车比乙车迟 1小 时到达目的地。两地间的路程是多少千米？35X （ 3-1） =35X 2=70 （千米）7