不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法

1、不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等 式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。第一节基本不等式1 .，.：.:证明：当展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。2 .基本不等式的变形（包括 2个方面）若 . 产小 ：可件一；b a若1, .若XER,XAO则x + ；之2,等号成立的条件:X= l：（上述3个不等式，考虑如何证明？）注：上述的4b不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达

2、式或函数的解析式。若厕f十萨普N2ah；等号成立的条件工a = b （注意：不等式的右边是 （a + b）?）例题1.已知k.v E （0, + 8）,且: + :=1，求K + y的最小值及XV的最小值口解：x + y = （x + ）（：M） = 7 + （） + 劣之 7 + 24；= 7+ 城，.r + y 的最小值为：7 + 代与 ；求（X）Mn有两种方法，其一是配式，I 14 3 I J + L2 , .（xy）mx= 48 ；另一种方法是，由 = T2XKXy-U（J 二而; + =lxy = 4y + 3x g.4y = 4限时,.V E十中 43.直端加二48例题2.已知八5

3、-3+bjf-币=1,求证：/ + / = 1。证明：由基本不等式得：.：、/.：同理，b4l=a* M匕；M 这里等号成立的条件是,卜二%1 二#），.苜JT-廿十八/1-（*）而条件是a JT- h* + bT-P = 1，即对于不等式（* ）等号成立，即b=JT-手且a = JT-/即合 + b2 = 1 o 注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。例题3.已知x,y E R,满足x + y = L求x + 3 +（V + ：）的最小值口解：（乂 + 3 + + 亨）= / + /+ 亏+4=（必 + /）（1+鬲9 + 4，这里口 m X + yl2 1 （x+yy 111

4、 21 2125二 一, . - . I， .注：解答本题的关键是，如何运用好x + F=l,两次使用了基本不等式，但不矛盾。例题4.求二出十的最大值。解：函数的定义域为，可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于6马邓一克的两式平方和为常数 3,故应用基本不等式的变形公式简单些。:反一/?.2， E0,3时成立，故。max =：,温+弋3黑工册,当且仅当m= J3 - k-x例题5.已知日 匕 0,则才+ u器的最小值为()。Z 1616264. 解：+(筌12- +/三1区当且仅当曰=2应注熄等号成立，/ +的最小值为16.注：这里要求2元表达式的日工+ 小历的最值

5、，不能直接整体应用基本不等式(即不能直接整体消去a、b)而且也没有给出条件等式(即不可能代入消元)，因此，对局部b(a-b)用基本不等式的变形公式进行处理。7c a例题6.若二次函数X)= ax2-+ c的值域为0,+ oo),则彳口 +百口的最小值为()。一，c a ca ，+ F (割 4 c 产a + c 11解：由题意得15-4 二 0，即日c = 4,c0,则彳+尔=再工+中=而司之痂g=初之诉=小c ai当且仅当a=c=2时，等号成立，所以 彳1 + 口7的最小值为立。注：本题也可用消元法，由 1二16-4口。=0消去a或c,比较麻烦。例题 7.已知 a,b,c0,且a + 2ab

6、 + 2ac + 4bc = 9,则 a + b + c 的最小值为(3 ) D例题 8.已知 a,b,c0,且a + b + c=l,则+ 1 + 1 + J3c + 1 的最大值为()。解：.：. -】. .：. 1. :.- 116+2(3a + l + 3b + 1 +3c + 1)= 18,当且仅当a = b = =：等号成立，所求的最大值为18。y 2 h 2例题9.已知函数f(x) = (-I) + (丁 1)的定义域是a,b,其中b E R卜且a b , 求f(x)的最小值;(2)若X】W 口川盟c归其中1 2T-= 2(k-I)11等式，但x的取值不矛盾),fmin以)=2(

7、卡-1)。(2)设*=1力= 5,X E 1,5时，由的结论可得：Km)之2(*，同理8)之2(6 1) = 2煽-由+得：3)+ 3之上面两次用到基本不等式,例题10.已知两条直线L等号成立的条件都是823 士粉-”2I - ,I -:.s=2时取得，.（2）得证。(m 0),h与函数y = |1理亦|的图象从左至右相交于 a,b,2与函数I。鸵x|的图象从左至右相交于 C,D记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，g的最小值为()。解：在同一坐标系中作出二五% 0）,-llogzxl图象,令hg谭Ig_ 号号fl一 一一,” . ， ,:一了.：；1.，一 ,； 一 ：

8、、用一2 山 上 ：8b 18H11716b= xd-Kh = 2ttt_ 2nt，故匚= 2一+ + 由而+ + m _ R（2m + 1） + 如 + 一 /，当且仅当（2m + 1）=屈f i ,即3b 7m = 3取等号，故G）min = 2。注：本题经过巧妙的“伪装”，将基本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现基本不等式模型的构建,对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度。例题11.若平面向量百万满足12自-6| M 3 ,则戴6的最小值是（）。解：由I西-61 M3,两边平方，得4不9十4死H,由基本不等式得：4* + F W4同（当且仅当 2间;旧

9、等号成立）。设0为打夹角为“UE 0）,则当口 时，同同土辞（当且仅当0 = 0, n等号成立），因此 9 + 4a?b4a2 + b24|a|b| 4常氏这里只能取-”号），即兰-（。注：本题将基本不等式与 向量相结合，通过将向量的模平方， 借助基本不等式和斜率数量积的性质，建立关于就6的不等式。此题视角独特，构思精心。O例题12.函数=ass （ax + 0）（a 0）图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是（）解：如图，设函数y二f（x）图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B且过A点平行的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于 C则AC=;二 BC = 2a,故4产当且仅当12氢即日二手等

10、号成立），即AB之2诉，故的最小值是；2标。注：本题将基本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。此题情景新颖，自然贴切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。例题13.设所是等比数列，公比q =姆，际为加的前n项和，记fn= ；一记功”为数列的最大项,则, （）.解：由题意,17 1-4q2n-17q,+ 16 .,t!-17t+ 16 I f (=二 ，令 I = q 仇则n = 714 - V工岛（当且仅当t = 2即t = 4等号成立）故2 e=3 1）,此时n0 = 4o注：本题将基本不等式嵌入数列解题中，运用数列的基本量及

11、性质将条件转化为关于n的代数式，通过换元后转化为基本不等式模型。 例题14.一个四面体的一条长为 x,其余所有棱长均为1,则此四面体体积 V的最大值是（）。解：由题意得：V00二 急由一 /黑W（0,$）.则V（x）=2- X*） = =?当且仅当3 - X2=/ ,即k = J等号成立），故丫的最大值是 工V(x)注：本题把基本不等式与立体几何的相关知识进行交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立 的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分体现出数学试题的多变性。例题15.平面直角坐标系 xoy中，已知点 A（0, 1）,B点在直线3上，M点满足MA?AB=点M 的轨迹

12、为切线C,（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在彳导P处的切线，求 。点到l的距离的最小值。解：（1）y二y - 2 （过程略）（2）设点p（xo,yo）为曲线C上一点,；y = :x,所以1的斜率为.故1的方程为1 r 、._ . 12yL 端 一 1 , _y -yo = /o（x - X。即xqx - x右二。则。点至U l 的距离 d = 不漏”，又口 二 *蛭-乙，口无一嘲 1 c4d =谪7了 =式、*0 +4+总吞）之2（当且仅当如=0等号成立），。点到l的距离的最小值为 2.V第二节“对勾”函数的图象、性质及应用1“对勾”函数y=k + g与基本不等式有着密切的联系，

13、其图像如右图,是函数图像的两条渐近线;当x0时1y二X +理2,当且仅当X =1等号成立（此结论可由基本不等式推导）,即点A是函数y = x + *EK0时的极小值点（同时.也是函数增减区间的分点）其坐标为（1,2）；当x0时,1函数y = x + ；还有一个很重要的代数性y二工十：式-2,当且仅当乂=-1等号成立，即点B是函数y = x + ；在x0）图像上的动点，若点 P,A之间的最短距离为则满足条件的实数 a的所有值为（）。解：点A（a,a）是直线V =工上的动点，点P,A之间的最短距离为士位,即以A为圆心，半径入伤的动圆与函数y=Rx0）图像相切时求a的值。依题意可画出草图,点A在直线

14、上运动时，凭直觉认为，动圆都会与函数（x 0）的图像相切于点 C（1,1）,因此不难求出a的两个值为-1或3;而这个答案是错的。事实上，当 a0时，两图像的切点位置是与动圆半径大小有关的（如图），只有半径y 2 l .较小时，才可能相切于 CoXx-a)2+ (y-a)2 = (2)2 0)x + 3 + 2/-8=Mx0),令=+ ：“，则d十式可化为:F - 2at + 2a2 - 10 = 0(t 2)t . A = ( - 2a)2 - 4(2a2 - 10)=。，解得 a = 10 .注：解答本题有两个问题需要注意，一是用数形结合的方法解题时，直觉有可能是错误的； 二是解析式x +

15、（与-+ 5的可代换关系，这样的关系还存在于sinx cosx与sinx?cosx；l + x +飞：1 - k与一 等。如果将“对勾”函数 y = x + ；变形为：y = ax + ：（a,bC R）,研究其图像、性质对解题是很有必要的。,b，Hr b 、，一一，一 一一一，一一，y二ax +式a0,b0）此函数是由y二ax和y 二工叠加而成，通过分析两个简单函数的图像特征，回出其叠加函数的图像，是数学能力的一种体现。由图像可知：关于原点对称;XA0时，函数存在极小值点 人（上2南）;?0时，函数存在极大值点 B（-Jl-2/）;递减区间为：（-副,J；）,递增区间为：（-8，-*）,（.

16、 + 8）；（两条性质可通过导数证明）存在两条渐近线： 除x=0（渐近线在通过作图解题时，起作用 ）。（2）其余的三种情况的图像如下：其性质由同学们自己小结，在此不在赘述。例题2.若函数 = Rk）的值域是 自司,则函数F（x）=f（x）十高的值域是（）。解：设t=f（x） 3,则F（t）=t + ；,只要画出函数的图像可知：FE 2与.注：本题看似简单，但 Kx）取不同的表达式时，情况可能变得很复杂。例题3.设定义在（0,+8）上的函数f（x） = ax+ b（a0）求f（x）的最小值。解1.（基本不等式法）a。3 0,.J（x）=ax + 十h之2最?!+b=h + 2,当且仅当ax二2即

17、k二;时等号成立，3出= b + 2.解2.（判别式法）设Y=（x）,则有a%。+ a（bv）*+ 1=。，显然？二小（by产-4a*之。，解得y之b + 2或（舍去），故应将二卜+2代入得：a2x2 - 2nx + 1 =。即X = ：0,因此fmhG） = b + 2。（注：当主元x有范围使用判别式法时，都应将所求最值回代，检验 x的解是否在给定的范围内）11（ax + l）（as -1）i 11解3.（求导数法）由题意（X）= a- =京，小Ox 0二f（x）.有x -Kx） 口,有0 x 时,函数0）单调递增；当0乂0）求f（x）的最小值。变式2:设定义在(0,兀)上的函数f(x)=a

18、sinx +(a0 + b (a0)求的最小值。变式3:设定义在0,+8)上的函数f(x)= 储+白+抽。)求f(x)的最小值。“ 1变式4：设函数二配+ + b(a0)求(X)的最小值。变式5:设定义在(1,+8)上的函数f(x) = 1/；泼+康十b(a0,awl)求f(x)的最值。注：以上5个变式，若以填空题的形式解答，可使用变量代换，用“对勾”函数的图象直接得到答案；若以解答题的形式解答，应使用求导数的方法证明。变式6:讨论函数f(x)=江亡十营+ b(a0,c0,n取正整数)。解：f(x)二岂冠J 券匚”：；二当n为奇数时,函数是奇函数，只要讨论x0即可k2$f(x) cDvkc步;

19、当n为偶数时，函数是偶函数，只要讨论x 即可-*x) t乂之点 I】 x 喳。例题4.求函数f(X)= 4n K丘|。工|的最值。A- T A 1 T：2(x2 + k + 4) + 3k+33K+ 3解：由于函数KM的分子分母的次数都是 2,因此采用“配式法”降低分子的次数；f(x)=7F= 2 + V X 3t3令I = X + 1 tE|L3J(t) = 2 + i 4 = 2 + 二P7；再令 U=t + pt 1,3,.1 - I I.ax2 + bx + cdx + eft)=t + t + ?+n 和 f(t)=。一小七匕十%注：求型如f= 刈卜和=嬴函数的最值(值域)，可通过换

20、元法(1= dx + e)转化为函数11只要讨论U = t + 3的极值即可；当所求函数的分子分母的次数相同时(如本dx + e题)应采用“配式法”降低分子的次数，转化成f(x)= k + m的形式。不等式f(x) 0,.函数在(凡两上单调递减，在(也+ 8)上单调递增，则在刊上的最大值为maxHJ.tU).由 J39397.柳因不等式f(x)三io在切上恒成立，.有枭:即:二二E对?版成立t解得,一 ：.注：将不等式恒成立问题转化为最值问题，是常见的转化形式。变换主元，把(X)看成关于a的一次函数f(a)= + x +比对为 W做卜W ,不等式f(a) io恒成立(分两步 进行)，.咽心=N

21、2) = :+乂 +h看10乂诃恒成立， = ：+* +匕在口1上单调递减,小.=1 + 8 + 6工10, 解得：.练习1.若关于x的方程必+住+ 3* + 5 = 0至少有一个实根在区间1,2内,则实数a的取值范围是（）.- ；：,_：，练习2.若3 b c 口，求 2M + 1 + aa - bj I。+ 2 5/最小值（4）第三节判别式法解题利用一元二次方程的判别式求某些函数的值域或极值的方法，称为判别式法。判别式法的使用通常是对含有参数的二次方程。例题1.求函数 =六宗的值域.。 X.十K十，解：由判别式可知分母 x2 + x + 1 。（ ， Y + * + 1 W 0,x E R

22、）,两边同乘以x? + x + 1得：（y -1）/ + + i）x + （v -1）= o,将此式看成是x的方程，必有实数解，&（+1产4一 l）（y-1）3 0解得：1y会-或yw，丁二次项系数 yw。，函数y二二一工-之的值域为之或yw-&-注：在使用判别式法求分式函数的值域时，应注意两点：一是分式的表达式不能约分，二是变形后，二次项系数为0的y在求彳#的y的范围内，要代入方程验证。屋十4 k十3例题3.求函数y二,rK仃的值域x2 + 4x + 3（x+ 3）（s + 1）k+133解：=X 6 =也+32-2），;由函数的定义域知 X* -3, y = 2 = +2 :工工工0 ,式

23、的值域为VM1；再将- 3代入式，得到的y须删除，函数y = 点口?的值域（-8，l）u修1）乂1,+孙注：函数的表达式中的分式，可约分时应先约分，再求值域，最后删除定义域中不存在点所对应的函数值。例题4.设引上为实数，且首项为 加，公差为d的等差数列沏的前n项和为次,满足区Sg +15 = 0,求公差d的取值范围。解：.期二 5a-1。峪16山+1,将其代入我S&+ 15 = 0并化简得：2肝+ 9帆+ 101+ 1 =0 （*）此式可看成是关于的的二次方程，1）三口，解得：d2点或d之2洲。注：由于方程（*）中的的ER,二. A之0是方程有解的充要条件，因此不必要再对结果进行检验了。本题也

24、可以求 知的取值范围，方法相同。例题5. a,bO,a + b + ab = 30,试问实数a,b为何值时，如取得最大值？解1:利用基本不等式（略）。解2：设了 二4瓦贝：9=弋入题设等式并整理得：日2 +卬-30总+药=0 (*). (y-30)2-8y 0 ,解得：y之50 或yE18。由a,b0知0 0 ,所以 (ab)ii1-1x 二 18 .注：把(*)式看成关于a的二次方程，A之。是方程在(0, + g)上有解的必要条件(不是充要条件)，因此需要通过检 验说明最值的取得是合理的。变式：已知实数苜be满足曰+ b + c = %m+ be + ca = 24，则b的取值范围是(1式b

25、E5)。例题6.如图建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程 y = kx-(l + k2)x2(k 0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。1, 寸、20k20解：令.11:111(2)设飞行物的坐标为(a,3.2)(a0),要击中飞行物，其坐标必须在炮弹飞行的轨迹方程上，即 32=+ k2)a2, 整理成关于 k 的二次方程得：a2

26、k2- 20ak + a2 + 64 = 0 ( * ), A = 20a)2 -4a1a* + 64)之 0,解得：一 6 9 a 6,由 .k 0,.要检验，将日=6代入(*)式，解得k = a的最小值为6.注：把(*)式看成关于k的二次方程，小之0只是方程在(。，+g)上有解的必要条件并不充分，应当通过检验“当日二6,5k =豆0”说明a能取得最大值6.例题7.如图某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)且与A,B等距离的一点 。处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO.OP,设排污管道的总长为 ykm.(1)按下列要求写出函数关系式：设= 将y表成8的函数关系式;设OP=x(km),将y表成x的函数