约束问题与临界值

1、约束问题与临界值现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。然而，有关约束问 题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。 至于中学物理竞赛试题中更 是屡见不鲜，并常以拔高题出现。下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。1有关约束问题的基本概念如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。那么该曲线或曲面就称为约束。例如：图1中单摆小球被限制在圆弧上运动；图2中物体m沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体 m被限制在斜面上运动;图3中导体ab被限制在导电滑轨MN上运动等等，都属于约束问题。图1中的摆线，图2中的斜面，图3中的滑轨等都叫约束。由此可以看出，约束既是实

2、在的物体，又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象。约束的分类随依据不同而异X XX XX XmX XTx x ilx xX X垓XX XX x图4按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束。例如:图2中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当m下滑时，斜面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。按其 约束的方向来分，可分为单向约束和多向约束。如图1中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，贝U称为单向约束；图4中，带电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时， 除沿杆的方向以外，其他 方向都受到限制，称为多向约束。从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和 有摩擦约束

3、。力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。例如：图1中绳子对小球的拉力；图2中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭 义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。2约束反力的求解约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。【例1】一质量为m的小球，与长为I的细绳组成一单摆。现将此单摆拉到与竖直线成 a角的位置，由静止释放，在摆动途中，摆绳被一钉子A所阻，钉子与摆的悬挂点0相距r，两 者连线与竖直线成B角

4、。如图5所示。试求:摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情况下，L、r、鸟a之间的关系【解析】小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于单向约束问题。小球摆到图示位置B时，是以钉子A为圆心的，以L r为半径的圆周运动。设绳子对小球1 22mvB的约束反力为T, AB线与竖直夹角为B,由机械能守恒定律得:-mgL cos 二由牛顿运动定律得此时法向方向方程:十2T -mg cos ： = m L rCOST-2 rcos ： -Leos :-37而B只有在2 ":：:二时，绳子才有可能弯曲，故而1 < cos(K 0，即:-2 rcos ：

5、 - Lcos :3 L-r:0式联立解得：八2mg.冉tT 二 3mg cosr cos - - L cos:L -r若绳子发生弯曲，则T=0,意味着约束解除，由此条件求得:由此得出的L，r，a 0应满足的条件为：3(L r)< 2(rcos Lcos a< 03即：一 L 一 r i，i r cos ： - L cos 兀 i: 023双向约束问题中约束反力的转换如果约束从两侧限制物体的运动，则约束反力的方向是可能发生改变的， 这 一点可以通过下面的例子看出图5【例2】用细线把质量为M的大圆环挂起来，环上套有两个质量均为m的小环，它们可以在大环上无摩擦地滑动。若两小环3同时从大

6、环顶部由静止开始向两边滑下，如图 6所示。试证明：如果m 3M ,2则大环会升起来。并求大环开始上升时小环位置 B为多少？【解析】此题中小环受到双向约束。设细线张力为 T,小环与大环间相互作用力为 N（即约束反力），小球滑到位置 0角时的速度为V。贝2对小环：mgcosv-N =mR1 2m g R L cp sm-v由式可解得约束反力：N=mg（3cos 0 2）2当cos 时，N=0，此时约束瞬间解除。32若0角再增大，COST；：'时，NV0，说明约束力又复出现而且改变方向。3小环对大环的反作用力将可以提供向上的分力，从而可能使大环升起。对大环：T=Mg + 2Ncos 0当大环

7、升起时，绳子张力T=0，（绳对大环的约束解除）°T=Mg+2Ncos 0 =Mg_2mg（3cos 2）cos =026mcos 0 4mcos0+M=0cosh _4m±Jl6m2 -24Mm 1 亠1 / 3Mcos _12一 3 _3、_ 2m3由数学知识可知，只有当m 时，上式为实数，cos有解，此时小环的位置用0角表示为：日=arccos丄土丄訥-3（3 3耳 2m y4有摩擦力的约束中的区间问题约束反力在约束（曲线或曲面）的垂直方向（法向），如果有摩擦存在，它却在约束的切线方向。因此在研究有摩擦的约束问题时，先要根据物体有几个可能的运动方向，确定相应的摩擦力的方

8、向。最常见的情况是存在两种可能的运动 方向，故而摩擦力的方向也就有两种可能取向。 因此，在运用牛顿运动定律列方 程时，也将会出现两组，这就导致某些相关量参数有一变化区间。【例3】有一顶角为60°勺锥形容器，在距顶点O为L=1.0m处有一质量 m=1.0kg的小物体，让物体 m与容器一起绕通过O 点的竖直轴线作匀速转动（见图7）。若®i=5rad/s,则摩擦因数p至少应为多大才能实现这一情况?若32=8rad/s时，范为多大才能实现这一情况？【解析】先假设物体有向下滑动的趋势，贝U摩擦力将沿斜面向上，物体受力如图8所示，沿圆周的切向和法向建立直角坐标系，则牛顿运动定律方程为：

9、Ncpsf s i2 nm LsinN si nf cosmg解得：N = mgsin 0 +m(2Lsin 0 co= 1(5.8 (N)2 2f=mgcos 0- m® Lsin 0=2.41 (N)f> 0,说明方向上与假设相符。=0.161N2 2 2由 f=mgcos m® m® Lsin 0可知：geos-L sin2 v:5.89 rad / s当f=0时，®有一个临界角速度® 0存在。由此得：mgcos0 =m®Lsi n2 0即当®V ®o时，有下滑的趋势，摩擦力向上；当 ®>

10、; ®o时，有上滑趋势, 摩擦力向下。®2=8rad/s>®o，故f向下，受力如图9所示。牛顿运动定律方程:2 .图gNcos 0 +fsi n 0 ms in 0Nsin 0 =mg+fcos 02 22N 二 m，L sknctd s m g 4Bi2i 7. N解得：f =mL L sin v-gcosv -7.34 N = 0.22N本题中，如果 足恒定的，则要使m在确定的高度与锥形容器一起作圆周运 动，则角速度3必有一个变化范围，即当 3<30时，有下滑趋势，f向上，相应建立牛顿运动方程求出3的最小值omax；当3>30时，有上滑趋势，

11、f向下，相应建立牛顿运动方程，求出3的最大值3max，则3的变化范围是：3minV 3< 3max。5单向约束解除的可能性（临界值问题）如果约束对物体的限制是单侧的，即它只限制物体不得从某一侧脱离约束，但却允许物体从另一侧脱离，在这类约束中，约束反力也是单侧的。对于这种单 侧约束，应当注意约束解除的可能性。如在例1中，0在0°90°勺范围内是不会 解除约束的，当其a角足够大，小球摆动，使0>90°才可能向内作抛体运动， 即约束解除有可能。如 0=180°而小球仍没有离开圆周，则以后再也不可能离 开圆周了。所以约束解除的范围只能在 90

12、6;< 0V 180°如果a角大到可以使小球 能以A为圆心，Lr为半径作圆周运动，则小球的单向约束将不能被解除。约束解除问题也称临界值问题。在具体问题中，何时解除约束，往往不能预 先知道。为了找出约束解除的时刻（或位置）即临界值状态，常用的方法是：先 假定物体不脱离约束、将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解，解出约束反力的表达式后，令其约束反力等于零（这就意味着约束解除），由此可求出相应 的时刻（或位置）。【例4】（83年高考题）一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖 直方向，母线与轴线之间的夹角为 30° （图示10），一条长度为L的绳（质量不 计）一端固定

13、在圆锥体的顶点 A处，另一端系着一质量为 m的小物体（小物体 可看作质点），物体以速度v绕着圆锥体的轴线作水平匀速圆周运动（物体和绳在附图中都没画出）。求定律的方程得:2T sin 30° - N cos300 二 mVoL sin 30°Nsin30°+Tcos30°=mg解得：20mv1N = mg sin 300mg 3L sin 306T = mg cos3001 mg 二 2 3 1 1 mg6 6N为正值说明N的方向与假设相符合。当N=0时，斜面对物体的约束解除物体处于临界状态，设此时速度为V0,2那么：Tsin300V0 0 Lsi n30

14、Tcos30°mg解得:v0=峠= iLgvo =：Lg由于；Lg，实际此时物体已脱离锥面做圆锥摆运动。设绳与竖直夹角为a,受力如图12所示，那么:2mv2T' sin 上L sina.117 T.1r mgcos30 2, 3T' cos ： = mg解得：T'= 2mga= 45 °本题中，无论v为何值，绳子的约束是不能解除的F面两例也是临界冋题【例5】光滑的斜面上用绳拴一质量为 m的小球，如图13所示。当斜面水1 3一平向左作印=-g和a2 =-g的加速运动时，求绳上张力分别是多大?2 2E14【解析】当加速度较小时，小球是压在斜面上的，小球受

15、重力 G、支持力N和张力T 三个力的作用，受力如图14所示。当加速度很大时，小球将飘离斜面，此时小 球只受重力G和张力T'的作用，受力如图15所示。为准确判断是属于哪一种情 况，必须以小球压在斜面上还是飘离斜面为界， 求出其制约参量加速度的临界值 ao。当avao时，小球压在斜面上，且有支持力存在。当 a>ao时，小球飘离斜面，当然也就没有支持力存在了。因此解这类问题时，可以先求出临界加速度小球将要飘离斜面时，N=0,但绳子与斜面仍然平行。受力如图15所示,其运动方程为:Tcos45°maoTsi n45°mg联立式解出ao=g1 一因aig : a°

16、;，所以小球是压在斜面上的，此时小球受力如图14所示。其2运动方程为：oo1T cos45 - N sin45mg 2Tsin45°Ncos45°mg 联立解得T =亠2 mg4因a-g a0，所以小球已漂离斜面，小球受力如图15所示。此时绳与斜2面已不再平行，设这时绳与水平方向的夹角为a,其运动方程为:T' cos mg联立式解得T'Wmg，:二 arctgT' sin a =mg【例6】一支圆柱形的玻璃管，质量为20g,密度为2g/cm3, 高12cm，容积为20cm3。它的一端封闭，一端开口。现将其开口 端竖直向下压入水中，在下压过程中管内的空

17、气不跑出，且温度保 持不变。求：当将管口压入水中 Hi=4m和H2=14m深处时，放手后管将如何运 动？【解析】设管口压入某一深度Ho时，放手后管处于平衡状态。这时管内空气的体积为V2,管内液面与管口的距离为h2，与水面的距离为hl，如图16所示。设玻璃 管的体积为V3,以系统为对象，由平衡条件（忽略管内空气的重力）：mg= (V3+V2) p水 gma玻3=10 cm代入式解得：V2=10g/cm3再以管内封闭的空气为研究对象，取压入水中前为状态 1，玻璃管平衡时为5=2R =2 10 Pa状态2,由玻意耳定律有:P1V1=P2V25，P2=P1+P水P水=P2 P1=1 X10 (Pa)-

18、'P水=卩水gh1 h1=10(m)V -V2 V2h2-2 = 0.06 mj H0 =0 01006 mS S这是一种不稳定平衡。当压入的深度H1=4mvH0时，浮力大于重力，玻璃管将会变加速上浮;当H2=14m>H0时，浮力小于重力，玻璃管将变加速下沉。H0是以玻璃管上浮或下沉为界时制约参量水的深度的临界值。D1T【例7】如图仃所示，一质量为m的小球，带正电荷Q，固定 在绝缘细绳oA的B点，oB = r，A端套在以o为圆心，R为半径的 光滑圆环上。整个系统同处在光滑绝缘的水平面上， 且平面所在的区 域具有强度为B方向竖直向上的匀强磁场。当 A、B绕o以匀角速3在水平面上 顺

19、时针旋转时，试讨论 AB和oB两段绳的张力大小和方向。【解析】设当3=0时，两段绳刚好伸直且张力都为零，而且绳子只能有张力不可能有压力。小球在作圆周运动时，可能受到任一段绳子的张力，令这个张力为T,规定沿半径指向圆心的为正。小球受到的洛仑兹力 Fb= BQv = BQ cor，它的方向总 是沿半径指向圆心的。T与Fb的合力就是小球作圆周运动的向心力。其运动方 程为：2 2T+FB=nmo rT=mto r BQor3Q当 m r = BQ 0，即0时，T = 0m当3>W0时，小球受到OB绳指向0的张力，AB段不受力；当3<30时， 小球受到AB绳沿半径向外的张力，oB段不受力。可

20、见，以两段绳子哪段受力 为界，30是制约参量的临界角速度。6临界值问题不仅在力学临界值问题在电学、热学、光学及综合物理题中是屡见不鲜的， 只要抓住出 现两种不同物理现象或状态的界，找准制约参量的临界值，这类问题就可迎刃而 解，【例8】物体在透镜前垂直于透镜主轴放置，通过透镜成放大三倍的像。然 后将物体向着透镜平行移近2cm，又得到放大二倍的像。求透镜的焦距。【解析】由通过透镜成放大的像，可推知此透镜一定是凸透镜。物体通过凸透镜既可 在异侧成放大的实像，又可在同侧成放大的虚像。是放大实像还是放大虚像，是 由物距的大小决定的，物距等于焦距是成实像或虚像的临界。所以此题有两解。第一种情况：物体从大于

21、焦距处移到小于焦距处， 即先成放大实像，后成放 大虚像。设透镜焦距为f,先后的物距和像距分别为U1、U2、VI、V2,由透镜成像35即：4 f ufV|u143V2u23 口2即：4 f u2彳2V2 u243公式得:(V1=3ui , I V2 I =2u2)由题意 ui U2=2 (cm)得 fi=2.4 (cm)。第二种情况：两次物体都在焦点以内，先后都成放大虚像。同理可得:f2 = Ju1即卩：u1f2V Ui 23f2 = "u? =2u2即卩：u2 =丄 f2v2 +u22由题意 ui u2=2( cm)得 f2=12( cm)。【跟踪训练】1. 如图18所示，将质量为ikg的小球挂在倾角为30°勺光滑斜面体上。求:1当斜面以“尹的加速度沿水平方向向右作匀加速运动时，绳对球的拉 力和球