数列与极限专题(综合)

1、数列与极限专题（综合）、选择题1. 如果-1 , a, b,c ,-9成等比数列，那么A.b=3,ac=9B. b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D. b=-3,ac=-92. 在等差数列 an中，已知a! =2化+a 3=13，则a4 +a5+a6等于A.40B.42C.43D.453. （ 06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为A.5B.4C. 3D. 24. 若互不相等的实数 a,b,c成等差数列，c, a,b成等比数列，且a 3b 10，则a二A. 4 B . 2 C . - 2 D . - 4T T T5. （06江西卷）已知等差

2、数列 an的前n项和为S,若OB= a1 OA+ a200 OC，且A BC三点共线（该直线不过原点O）,则S200=（）A. 100 B. 101C.200D.20116. （理科做）（06湖南卷）数列 an 满足：a1,且对于任意的正整数 m,n都有am .n二am an,3则im（印a2 川 an）=（）1 23A.B.C.D.22 32（文科做）在等比数列 订鳥中，6=2，前n项和为Sn，若数列:an 1也是等比数列，则Sn等于n 1A. 2-2B. 3nC. 2nnD. 3-17.设 匕匚是公差为正数的等差数列， 若a1 a2 as = 15, &a2a3 =80，则q a&

3、gt; aA. 120.105 C . 90& （ 06全国II）设Sn是等差数列 an的前n项和，若贅=-S6D.19S9等于（D . 753,则 SS =9.已知等差数列an中,32+38=8,则该数列前9项和A.18B.27C.36)D.4510. （ 06天津卷）已知数列an、bn都是公差为的等差数列，其首项分别为b1 ,且印 = 5, a1 ,b N .设 c. =abn ( n N则数列Cn的前10项和等于（A . 55二、填空题B. 70C. 85D . 10011. ( 06广东)在德国不来梅举行的第 48届世乒赛期 间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三 棱锥

4、”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下 一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以 f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则 f(3)=； f(n)= (答案用n表示).12. 若数列9n”满足：a1=1, an勺=2an.n=1, 2,3.则 aj、a2亠亠an工13. ( 06江苏)对正整数n,设曲线y=xn(1x)在x= 2处的切线与y轴交点的纵坐标为an.则数列玉的前n项和的公式是 n +1114. (理科做)数列2一 的前n项和为Sn,贝V lim Sn=4n 1(文科做)设Sn为等差数列

5、玄匚的前n项和，S4 = 14, S10 S7 = 30,则S9 =15. ( 06浙江)设Sn为等差数列 a ''： 的前n项和，若S5 =10, So =-5,则公差为(用数字作答)。16. 在数列 an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n> 1),则该数列的通项 an=.三、解答题17 .若Sn是公差不为0的等差数列"£昇的前n项和，且S,S2,S4成等比数列()求数列SS,S4的公比；(n) S>=4，求CaJ的通项公式。18. (06四川)数列订鳥的前n项和记为Sn,a1=1,an1=2Sn 1 n-1(1)求的通项公式；(n)等

6、差数列的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b,a +?b 3a 3b成等比数列，求Tn佃.(06湖北)已知二次函数y = f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)=6x-2,数列an的前n项和为Sn，点(n, Sn)(n N )均在函数y = f (x)的图像上。(i)、求数列an的通项公式;1 m(n)、设bn, Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有n，N ”都成立anan屮20的最小正整数m；3 3na20.(理科做)(06江西)已知数列an满足：ai =，且an=n_1 ( n _ 2, nN )2 2an-i+ n 1(1) 求数列為的通项公式；(

7、2) 证明：对于一切正整数 n,不等式aa2补：2筍！(文科做)(06福建)已知数列 玄满足a1 =1, a2 = 3,an .2 = 3an十-2an(n N ).(I) 证明：数列fan 1 -an ?是等比数列；(II) 求数列：an 1的通项公式；(II)若数列 仏满足4b1 J4b2 J.4b J(an 1)bn( n N*),证明bj是等差数答案与点拨1 B解：由等比数列的性质可得ac =( 1 )X( 9)= 9, b x b= 9且b与奇数项的符号相同，故b= 3，选B2 B 解：在等差数列an中，已知 a =2越+爲=13,. d=3, a5=14,印 + a5 + a6 =

8、3a5=42, 选B.&'5印+204=15亠3 D解：丿=d=3，故选C.阳 +25d =304 D解：由互不相等的实数 a,b,c成等差数列可设 a= b d, c= b + d,由a 3d10可得 b= 2,所以a= 2 d, c = 2+ d，又c,a,b成等比数列可得d= 6,所以 a= 4,选 D5 A解:依题意，a1 + a200 = 1，故选A1)A 解析：数列an满足：a1，且对任意正整数m, n都有31,an 1 an a1 _ an ,31amn = am an i 即广 a1 a91数列an是首项为，公比31为一的等比数列。lim-(a1 a23A.(文

9、)C解：因数列laj为等比,则a2qn4，因数列:an 1也是等比数列,2n 12an 1 一 anan 2 an an：；2 ' anan ：2 2an：；1则（an1 1）2 =（an 1）（时2 1）= a =an（1 q2 -2q） =0= q =1即an =2，所以Sn =2n，故选择答案C。7 B解： a!是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a 15, aas =80，贝U a2 = 5,-H-qag 二(5 - d)(5 d)=16，d=3, a2 二 a? 10d=35, an a12 a1 = 105，选 b.S333a 3d8 A 解:由等差数列的求和公式可得3

10、S36a<i +15d1二，可得 a2d 且 d = 03所以§6a1 15d27d3故选aS1212arH66d90d10点评：本题主要考察等比数列的求和公式，难度一般9(a +os)9 C解：在等差数列an中，32+38=8, 4 S9 =8,则该数列前 9项和S9= 亍上=36,10 c解：数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为ai、a1,b N.设 Cn =abn ( n N ),则数列 ©的前10项和等于ab, -abH ' aag '9, a 二 a1 (d -1) = 4 , =4 5 6 川 13=85，选 C.11 f (

11、3) =10, f(n)二 n(n 1)(n2)n 丄12 2 -1解：数列 江 瀟足：a =1,an 1 =2an, n =1 , 2, 3，该数列为公比为2的等比数列，2n _1a1a-'an2n -1 .2 -1n+1小132-2点拨：本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式解：y =n xn 4 - (n 1)xn ,曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为k=n 2n-1-( n+1)2na切点为(2, -2n),所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2 n，令 bn=n 2n.数列n+1ann 1的前

12、n 项和为 2+22+23+2n=2n+1-2解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。14(理)1 解：a2=丄(一11一)n 4n2-1 (2n1)(2n + 1) 2 2nT 2n +1_-(1 -)+一(一一)+ + -(232 3522n-1_ 丄(1 -1 + 11+丄1 1 )23 352n-1 2n + 1_ 1(1- 1).limS n_ lim 丄(1 -122n +1n_j:n- 22n+1故 Sn= a1 + a2+ an)(文)解：设等差数列1an的首项为a1,公差为d,2爲)由题意得4a110. 10(10-1)215 -1点拨

13、:解：设首项为a1，公差为d，由题得d -7厲 7(；")d =30,联立解得本题考查等差数列的前n项和，基础题。ai=2,d=1，所以4(4 -1) d =14,2S9= 9 2 9(9 _1) 1 = 542'5ai +10d =10Q +2d =2丿=> In 9d -4d = -1 -4二 d = -1JO® +45d = -5“ +9d = -1也许反思：数学问题解决的本质是， 你已知什么？从已知出发又能得出什么？完成了这些， 水到渠成了。本题非常基础，等差数列的前n项和公式的运用自然而然的就得出结论。162n' -3 解： 在数列 Can?

14、中， 若 a1,an, -2an 3(n_1)an ,2(an 3)(n _1)，即 an 3是以q *3 = 4为首项，2为公比的等比数列,an 3=42n=2n1，所以该数列的通项 4 =2n 1 -3.17解：(I)设数列的公差为d，由题意，得 S22S所以(2a1 d)a1(4a1 - 6d)，因为d 0，所以d =2冃，故公比q =邑=4S1(n)因为 S2 = 4,= 2a1, S2 = 2a! 2厲=4q,所以 a =1,d =2，因此 氏=& (n -1)d =2n -1.点拨：本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理能力。18解：(I )由an 2Sn 1

15、可得an二2Sn1 n - 2，两式相减得an 1 -an = 2an,an 1 = 3an n -2又 a?二 2S1=3 a?二 3a故 订鳥是首项为1,公比为3得等比数列n 1- a =3 一(n)设1的公比为d由T3 =15得，可得b, b2 b, =15，可得鸟=5故可设 b, =5-d,b3 =5 - d又 a, = 1, a? =3月3 =9由题意可得(5d +1 )(5+d +9) = (5+3 丫解得 di = 2, d 2 =10等差数列的各项为正， d 0d =2n(n 1 )2 Tn =3 n2=n2 2n2点拨：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力

16、与运算能力。2佃解：(I)设这二次函数 f(x) = ax +bx (a 工0),则 F(x)=2ax+b,由于 F(x)=6x 2,得2a=3 , b= 2,所以 f(x) = 3x 2x.又因为点(n ,Sn)( nN )均在函数y=f(x)的图像上，所以Sn = 3n2 2n.当 n时，an = Sn Sn-1 =(3n 2n) ( n -1) - 2(n -1) I = 6n 5.当 n = 1 时，a1 = S1 = 3x1 2= 6X1 5,所以，an = 6n 5 ( n：-N ”)(n)由(I)得知 bn3=3= 1 ( 1_.)anan -1(6n 5) 6(n 1)52 6

17、n 5 6n 1故 Tn= J bi = 1i壬21 (1 ).2 6n 11因此，要使一(12m> 10,所以满足要求的最小正整数1m1 m 亦)< 一 (n N )成立的m,必须且仅须满足 w，即20 2 20m 为 10.6n 120 （理）解：（1）将条件变为：1 = 1（1 ），因此 1 为一个等比数列,an 3an1a nnn (n_1)其首项为111n11 - = 1 ,公比1 ,从而1 =丄，据此得an = a133an3n3n1n!(2)证：据 1得，玄1 ©an=111(1 1 )(1 A )-(17 )3 323n为证 a1 © *an .

18、；：2 !111 1只要证 n：=N ”时有（1）（1 2）（ 1 7?）-33显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个111（1） （1 p）（ 1 匚）1 （333用数学归纳法证明 3式：（i）n= 1时，3式显然成立，（ii）设n= k时，3式成立，111即（1 一）（1 右）（1匚）1 3323k则当n= k+ 1时，1 1 1（1丄）（1 -2） -（ 1 4） （1 32132N，有1113323n(1+ 2 + + I)3323k( 131 1 1=1( _+ 右 + + )3 323k1 111( - + -2 + + 飞 +333故对一切nN ”，3式都成立。)1 3k+1)1.1 丄 1+ 3k+13321 1 1(丄+冷+ -+丄)332+ + 丄)3k3k1盯1 ' 3k+11k+1)即当n= k + 1时，3