数列通项的求法

1、数列通项的求法【知识点精讲】求数列的通项方法1、由等差，等比定义，写出通项公式2、利用迭加 an-an-i=f(n)、迭乘 an/an-i=f(n)、迭代看成bn的等比数3、一阶递推an 1pan q,我们通常将其化为 an i A p an A列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题【例题选讲】通项公式。解：由题意 a1=1 , an>0,(n=1,2,3,.)例1、设an的首项为1的正项数列，且n 1 a； 1 na： an 1an 0 n 1,2,3,求它的点评根据数列递推公式，利用迭加( 2 an,

2、 a1=1,an+1=an3例2、已知数列解法一：an2an3 n1.(1)an-an-1 =f(n)、1,求 anan23an1迭乘(an/an-1 =f(n)、迭代1(n2).(2)由(1)-(2) 得:ananbnanan 13(an(2 )nan 1 )(3)n设bnan an 1则数列bn为等比数列ian 1anan法二：设an 1anA 解得:2A 3即原式化为an1 3 -an 3an0,an1 an 0有an 111n 1 ananana n 1a2a1n 1 n2.2 1 Ia n1an 1an 2a1n n1n1ann变式：已知数列an ,a 1=2,an+1=an+3n+

3、2,求an,an 1an n 1 an 1nan解：环=(an-an-1)+ ( an-1 -3n-2)+ (an-2-an-3)+ .+(a2-a1)+a1设bnan3,则数列bn为等比数列bnan3三:a223a1an23an2)12a2-3点评注意数列解题中的换元思想，如bnan对数列递推式an 1 pan q，我们通常将其化为anan看成bn的等比数列练习:(1):数列an中,a1=1,2an=an 12(n2),求 an解方法同上：an 2(2)数列a n中,ai=1, an 12anan 222解:原式化为2an 1a n，利用换元思想。利用上法得an 2n例3、(猜证)已知数列a

4、n满足a*l = 1, an3n1 an(1 )求 a2,a3 ,a4(2)证明：an解：(1) a2= 4a3= 13a4=40(2) a1 ,a2,a3 ,a4由前可知，成立假设n=k时也成立，即ak3kn=k+1ak1 3kak3kck 1丿31也成立2综上,3n 1练习:an设正数数列an前n项和Sn,存在正数t,使得对所有自然数n,有.tsnt ann ,则通过归纳猜想得到 Sn并证明？解：n=1 时，得 ai=t, n=2 时，得 a2=3t, n=3 时，得 a2=5t,猜测 an=(2n-1)t证明：n=1,2,3时，已经成立假设n=k时也成立，即ak=(2k-1)t,则Sk

5、= k2tn=k+1 时，.tSk i-, 4t(k2t 玄宀)(t a)2i22 2 2ak 12tak 1(4k1)t0 ak 1(2k 1)t 2(k1) -1t 也成立综上，an=(2 n-1)t,Sn= n 2t点评用数学归纳法，由n=k证明n=k+1成立时，从递推式入手 例4、设数列a n的首项为1,前n项和为Sn,满足关系3tSn 2t 3 Sn 1 3t t 0,n2, n N(1) 求证：数列an是等比数列;(2)设数列an的公比为f(t)，作数列b n,使b1=1,bn= f(n=2,3,4，.)求bn的解(1)由S1a1"I, S2印a21a22t3又3tSn2

6、t3 Sn 1a13t3tSn 12t3 Sn 2通项公式a2c 21 323t3t.(1)(1) 3tan 2t 3 am3t.(2)bn 1得证2t 3n3t234,52t 321上12 , f (t)bnfb3t3tbn 13221bn1n1n333a n 1点评对an与Sn进行熟练转化解题练习：设数列an为正项数列，若对任意正整数n, an与2得 等差中项等于其前 n项和Sn与2 的等比中项，求an的通项公式an 222Sn, Snan当 n 2, anSnSn 1an a n 1 a n an 140an an 14 n 2a1S12an 4n 2备用补充：求下列数列（ 1） Sn1n1n（2）annx yn x 0 , a1（3） a120, an 1 snn22n答案 11 n 1 2n 2 2 n2n或3n3n 302nn11 n 20, 前三项和 x【课堂小结】 求数列的通项方法1.由等差，等比定义，写出通项公式2.利用迭加 an-an-1=f（n） 、迭乘 an/an-1=f（n） 、迭代看成b n的等3