2020_2021学年高考数学一轮复习专题2.7函数的图象及其应用知识点讲解理科版含解析

1、函数的图象及其应用【核心素养分析】1 .在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数：2 .会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.3 .培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。【重点知识梳理】知识点一利用描点法作函数的图象步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式：（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、 对称性等）：（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.知识点二利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换上MAX”个单位移1KM）I：.：；单佗H叵二）;二：；

2、单仙”21工人“7竹单位（2）对称变换y= f （x）的图象美士蝴称尸-f （x）的图象：y= f（x）的图象天巨财称y= f（-x）的图象：尸f （x）的图象关十里县对称尸一 f （一*）的图象;y=fQ>0,且aNl）的图象4”仁：剪iy=iogd（一0,且aKl）的图象.纵坐标不变（3）伸缩变换y= f（x）y= fax）.各点横坐标变为原来的（a>0）倍 a=横坐标不变J一各点纵坐标变为原来的月（心0）倍",（4）翻折变换.W由下方部分翻折到上方”y= £（x）的图象"y= ! f（*）的图象:喜由及上方部分不变j，=£(x)的图象y

3、=f(|x )的图象.«由右侧部分翻折到左侧原jd油左侧部分去掉，右侧不变【特别提醒】记住几个重要结论(1)函数y=f(x)与y=f(2ax)的图象关于直线牙=以对称.(2)函数尸£(X)与y=2b-f(2a-X)的图象关于点(a, b)中心对称.(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a+x) =f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直 线x=a对称.【典型题分析】高频考点一由函数式判断图像【答案】A【解析】由函数的解析式可得：八不)=言一/"),则函数“X)为奇函数，其图象关于坐标 原点对称，选项CD错误:4当J = 1时,y = =2&g

4、t;0,选项B4 故选取 1 + 1sinr 4- x【举一反三】【2019 全国【卷理数】函数= r在一冗，兀的图像大致为()COSX + X-B. _u -7FA. _L. -TTsin cos【解析】V A-.r) =sin(x)-工cos( -v)+( -x)* cos .y4-Y= f(x), 是奇函数.又f(n) =冗 + ji jin + n : _ 1+ n :*故选D。【方法技巧】解决此类问题常有以下策略:从函数的定义域，判断图象的左右位置：从函数的值域，判断图象的上下位置：(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势：(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(

5、4)从函数的周期性，判断图象的循环往复：(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象.【变式探究】【2019 全国IH卷理数】函数在-6,6的图象大致为()乙I乙【答案】B2 v32(讣，【解析】设 f(x)*(x£ -6, 6), WJ f(x) =9 . 9x= /(.y) ，£(*)为奇函数，排除选项 C：乙I乙乙 I乙112R当*=-1时，A-l)=<0,排除选项D：当x=4时，f(4)=V-7.97,排除选项A,故选B.5-高频考点二助动点探究函数图象例2. (2020 江西临川一中模拟)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼

6、互纠在一起，因而被习称为 “阴阳鱼太极图”.如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为。，a, h,若一动点尸从点1出发，按路线月运动(其中a, o, a, a,万五点共线)，设尸的运动路程为X，y=la尸，y与X的函数关系式为y=£(x),则y=f(x)的大致图象为()p【答案】A【解析】根据题图中信息，可将才分为4个区间，即0,万），丸，2兀），2* 4五），4叫6丸,当x£0,丸）时，函数值不变，j，=£（x）=l：当2无）时，设2?与前的夹角为O? =1，Oft =2, 0=x- n , ：.y= ( OF-Oa):

7、 = 5-4cos =5 + 4cosx, .y=f(x)的图象是曲线，且单调递增：当2 n , 4")时，RP = OP (XX ,设8与0Q的夹角为a , OP =2,0Q. =1, =丸且单调递减.结合选项知选A. *a.Pz= OP - 00. )：=5-4cos =5 4cos函数 y=f(x)的图象是曲线,【方法技巧】求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象， 也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择.【变式探究】（2020 福建仙游一中模拟）如图，长方形月6Q?的边/15=2, BC=1, 0是血的中点， 点尸沿着边6C

8、, Q?与以运动，记N6"=x.将动点尸到月，6两点距离之和表示为x的函数f（x）,则旷= FC0的图象大致为（）【答案】Bn 1< 丸 3 n0，Thf(x)=tanx+，4 + tanX图象不会是直线段，从而排除AC当xW » 时,：| = 1斗")=1+4，三)=2隹2/1+4，"3)<4丁)=彳"|,从而排除D,故选B.高频考点三考查图象变换例3. (2020 安徽安庆一中模拟)已知函数y=f(l x)的图象如图，则尸£(x+2)的图象是()【答案】A【解析】(1)把函数y=f(l *)的图象向左平移1个单位得y=

9、f(-x)的图象；(2)作出一公关于y 轴对称的函数图象得y=£(x)的图象：(3)将A.y)向左平移2个单位得片=f(x+2)的图象：(4)将尸£(x+ 2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(*+2) |的图象.【方法技巧】解决函数图象的识别问题，注意“三点”：(1)根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除；(2)根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项；(3)应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果。【变式探究】(2020 浙江杭州中学模拟)已知函数f(x)=logq，(0Va<l),

10、则函数y=f( x|+1)的 图象大致为()【答案】A【解析】先作出函数f(x)=log力(OVaVl)的图象，当*>0时，y=f( x +1)=/(+1),其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y=f( X +D为偶函数，所以再将函数y=f(x+D(x>0)的 图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到xVO时的图象，故选A.高频考点四 利用函数图像研究函数的性质例4. (2020 江苏盐城中学模拟)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A. *)是偶函数，递增区间是(0, +8)B. £(")是偶函数，递减区间是(一8, 1)C.

11、 £(x)是奇函数，递减区间是(- 1,1)D. £(")是奇函数，递增区间是(一8, 0)【答案】C【解析】将函数f(x)=*去掉绝对值得f(x)=.画出函数f(x)的图象，如-x-2x9 xVO.图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(一 1,1)上单调递减.【方法技巧】利用函数图象研究函数性质，常从以下几个角度分析：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值：(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性. a,【变式探究】(2020 黑龙江双鸭山一中模拟)对a, 6E

12、R.记maxa, 6=函数f(x).b, a<6,=max x+l , x2 (x£R)的最小值是.【答案W3【解析】函数f(x)=max x+1 , |x-2 (x£R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为不y-1 02高频考点五利用函数图像研究不等式的解例5.【2020年高考北京】已知函数/(x) = 2”x l,则不等式/(x)>。的解集是B. (rO, - l)U(L+S)D. (rO,0)51，+°°)C. (OJ)【答案】D【解析】因为/(x) = 2-1,所以f(x)>0等价于2*>X+1，在同一直角坐标系中作出y

13、 = 2、和y = x+1的图象如图：不等式2, >x + l的解为x<0或x>L所以不等式f(x)>0的解集为:(-20)51，”)，故选及【方法技巧】利用函数图象研究不等式.通过函数图象把不等式问题转化为两函数图象的上下关系或 函数图象与坐标轴的位置关系来解决问题。【变式探究】(2020 河北衡水中学调研)已知函数j，=F(x)的图象是如图所示的折线月%,且函数g(x) = logKx+l)”,则不等式f(x)>g(x)的解集是( )C. -V K-vlD. x 1<.y2【答案】c【解析】令 §(x) =y=log：(x+l),作出函数g(x

14、)图象如图，x+y=2,-v=L由、得，,y=log： (x+1) ,1y=l.,结合图象知不等式f(x) 21ogKx+D的解集为x -高频考点六利用函数图像研究方程的根例6.(2020 湖南浏阳一中调研)己知函数f(x)=0 °其中成0.若存在实数6,使得/-2a+4m，关于X的方程f(x) =6有三个不同的根，则m的取值范围是.【答案】(3, 4-oo)【解析】在同一坐标系中，作y=f(x)与y=6的图象.“彳时,三-22nx+4m= (x-”)，+4所一炉，要使方程£(x) =b有三个不同的根，则有4m一/小即加一3m>0.又应>0,解得m>3.【

15、方法技巧】利用图象研究方程根的问题.其依据是：方程F(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴交 点的横坐标，方程f(x) =£x)的根就是函数f(x)与§(x)图象交点的横坐标。21, xWO,【变式探究】(2020 河南郑州一中模拟)已知函数f(x)=/,、 、八 若方程f(x)=x+&f d) , x>0,有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A.(，0B. 0, 1)C. (一8, 1)D. 0, 4-oo)【答案】C【解析】当x>0时，f(*)=f(*-D,所以f(x)是以1为周期的函数.又当0VA1时，*TW0,所 以f(x) =

16、FClD =2' "1 = 2t>- 1.方程f(x) =x+a的根的个数可看成是两个函数y=f(x)与y=x+a的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a的取值范围是(一8, 1).高频考点七求参数的取值范围log-.Y,牙>0,例7. （2020 山东泰安一中模拟）已知函数f（x）=j 2若关于x的方程F（x）=A有两7, xWO,个不等的实数根，则实数A的取值范围是.【答案】（0,1【解析】作出函数尸£（x）与y=A的图象，如图所示，由图可知k£ （0, 1.【方法技巧】当参数的不等关系不易找出时，可将函数（或方程）等价

17、转化为方便作图的两个函数，再 根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.【变式探究】（2020 山西大同一中质检）设函数f（x） = |x+a|,1,对于任意的x£R.不等式f（x） 2g（x）恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】-1, +8）【解析】如图作出函数f（x）= x+a与的图象，观察图象可知，当且仅当一即一 1时，不等式£（x）2g（x）恒成立，因此a的取值范围是- 1, +8）。高频考点八综合考查函数图像及其应用例8. （2020 湖南省高三一模）设F3）是定义在R上的偶函数，当°<X< 1时，/（"）=一'+1:当

18、X> 1时，/W = log2x< 1）在平面直角坐标系中直接画出函数y = /（力在R上的草图：(2)当x£(s,1)时，求满足方程/(x) + log4(x) = 6的x的值;（3）求y = f（x）在0"（，>0）上的值域.【答案】（1）见解析.工=一16.(3) OJog2r.【解析】由单调性和过点（0,1），（±1,0），（±21），（±4,2）,作出图象如图.(2)当时，/(x) = log2(-x), ./(x) + log4(-x)= log2(-x) + 1吗4= !"log2(T)= 6, ENog2(T)= 4, 即一x