2020-2021学年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷(文科)及答案解析

1、甘肃省河西五地市高考 数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=x|x2+3x+2v0,集合6）量44，则 MUN=（）A. x|x>- 2 B. x|x>- 1 C. x|xv 1 D. x|x< - 222 .下面是关于复数-T的四个命题：1 - 1P1： |z|=2,2p2: z=2i,P3： z的共轲复数为-1+i,P4 ： z的虚部为1 .其中真命题为（）A.P2,P3B.P1,P2C.P2,P4D.P3,P43 .下列推断错误的是（）A.命题 若x2-3x+2=0,贝U

2、 x=1”的逆否命题为 若xW 1贝U x2- 3x+2W0”B.命题P：存在x0C R,使得 %2+%+1<0,则非p：任意xCR,都有x2+x+1>0C.若P且q为假命题，则P, q均为假命题D. xV 1 ”是x2- 3x+2> 0”的充分不必要条件4.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（A. 12Vs B. 36vl C. 27V3d. 65.已知平面向量鼻与E的夹角为不，且1口=1, G+2£i=2jj,则蜀=()R? “A. 1 B.百 C. 3 D. 26.函数y=a1 x (a>0, a*1)的图象

3、恒过定点 A,若点A在直线mx+ny- 1=0 (mn>0)上，则的最小值为(A.B.4 C. 5D. 67.等比数列an中，包=2,a5=5,则数列lgaG的前8项和等于A.6 B.5 C. 3D. 48.已知集合2叶炉3(h, y) I* x+y>0表示的平面区域为k -若在区域 内任取一点P (x, y),则点P的坐标满足不等式 x2+y2<2的概率为(A.B.7TISC.7T32 D-3JT-329 .已知函数f(x)的定义域为-1, 4,部分对应值如下表,f (x)的导函数y=f' (x)的图象如图所示.2020f (x)110 .定义行列式运算:.若将函数

4、-sins,匕COSS-V3的图象向左平移m (m>0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是(A.B.7TyC.71JD.11 .已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点 M (2, y°).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.忆去 B. 23 C. 4D. 2T12 .设f (x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x, yC R,都有f一 * 一 、， 一一 一 一an=f ( n) (nCN),则数列an的刖n项和Sn的取值氾围是()1)D. 1, 1A. -1, 2)B, 1, 2C.与二、填空题(本大题共 4小题，每

5、小题5分，共计20分)13 .定义某种运算？，S=a?b的运算原理如图；则式子5?3+2?4=(x)才(y) =f (x+y),若 a吊, ba14.若 tan。+ g=4,贝U sin2 0 = 15.已知双曲线x2-y2=1,点Fi, F2为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若16.已知曲线y= (a- 3) x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f (x) =x3 - ax2PFPE,则 |PE|+|PF2| 的值3x+1在1 , 2上单调递减,则a的范围为三、解答题(本大题有 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .在 ABC中，角 A, B, C 的对边分别

6、为 a, b, c,且 bcosC=3acosB- ccosB.(I )求cosB的值；(n )若EX*菽=2，且b=2jl,求a和c的值.18 .为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了 n人，回答问题 湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表.组号分组第 1 组15, 25)回答正确的回答正确的人数人数占本组的频率a0.5第 2 组 25, 35)18x第 3 组 35, 45)b0.9第 4 组 45, 55)90.36第 5 组 55, 653y(I )分别求出a, b,x, y的值；(n)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第

7、2, 3, 4组每组各抽取多少人?(出)在(n )抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.0.O2S0,0200.0150.01019 .已知四棱锥 P- ABCD,底面ABCD是/A=60°、边长为a的菱形，又 PD，底ABCD,且PD=CR点M、N分别是棱AD、PC的中点.(1)证明：DN/平面PMB;(2)证明：平面 PMB，平面PAD;(3)求点 A到平面PMB的距离.P320 .已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，左右焦点分别为Fi, F2,且|FE|=2,点(1,手)在椭圆C上.(I )求椭圆C的方程；(n )过F1的直线l与椭圆C相交于A,

8、B两点，且 AF2B的面积为工序2 ,求以F2为圆心且与直线l相切 的圆的方程.21 .已知函数千 (x) = (nH- > Imd- - x,(其中常数 m>0) m x(1)当m=2时，求f (x)的极大值；(2)试讨论f (x)在区间(0, 1)上的单调性；(3)当mC 3, +0°)时，曲线y=f(x)上总存在相异两点P(x1，f(x1)、Q(X2,f(X2),使得曲线y=f (x)在点P、Q处的切线互相平行，求 x1+x2的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-1 :几何证明选讲22 .如图所示，PA为圆

9、。的切线，A为切点，PO交圆。于B, C两点，PA=20, PB=10, /BAC的角平分线 与BC和圆。分别交于点 D和E.(I )求证 AB?PC=PA?AC(n )求AD?AE的值.选彳4-4 :坐标系与参数方程23 .在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程氐 (虫为参数).以。为极点，x轴的非负半轴为人工口。极轴建立极坐标系.(I )求圆C的极坐标方程；(n)直线1的极坐标方程是2Psin (B+g)二g，射线OM：。与圆C的交点为。、P,与直线I JJ的交点为Q,求线段PQ的长.选彳4- 4-5 :不等式选讲24 .已知函数 f (x) =|2x+1|, g (x) =|x|+a(I

10、)当a=0时，解不等式f (x) >g (x);(n )若存在xC R,使得f (x) <g (x)成立，求实数a的取值范围.疗肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.设集合 M=x|x2+3x+2v0,集合 N之44,则 MUN=（）2A. x|x>- 2 B. x|x>- 1 C. x|xv 1 D. x|x< - 2【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法.【专题】计算题.【分析】根据题意先求出集合M和集合

11、N,再求MUN.2【解答】解：=集合 M=x|x +3x+2<0=x| - 2<x< - 1,集合4） 1t<4=凶2 &22=x|-x<2=x|x>-2,.MUN=x|x>-2,故选A.【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答. 2一2.下面是关于复数T的四个命题:1 - 1p1： |z|=2,2P2: z=2i,P3： z的共轲复数为-1+i,P4 ： Z的虚部为1 .其中真命题为（）A.P2,P3B.P1,P2 C.P2,P4D.P3,P4【考点】命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算.【专题】计算题；函数的性质及应用

12、.2【分析】求出|z|,可判断P1的真假；化简Z2,可判断P2的真假；名,可得z的共轲复数为1-i,z的虚部为1,由此可得结论.2【解答】解：pi：忆尸1 _ j I =TL故命题为假;2P2： Z =r 2 y 2| 4"PT =1 - 2 i -j=2i,故命题为真;21+i ,，z的共轲复数为1-i,故命题ph为假;2- z=:wl+i , - p4： z的虚部为1,故命题为真.1 1 故真命题为P2 , P4故选：C.【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题.3.下列推断错误的是（）A.命题 若x2-3x+2=0,贝U x=1”的逆否命题为

13、 若xw 1贝（J x2- 3x+2W0”B.命题p：存在x°C R,使得xo2+xo+1<0,则非p：任意xCR,都有x2+x+1>0C.若p且q为假命题，则p, q均为假命题D. x<1”是x2- 3x+2>0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用.【专题】简易逻辑.【分析】A,写出命题 若x2- 3x+2=0,则x=1”的逆否命题，可判断 A;B,写出命题p：存在x°C R,使得x2+xo+1O”的否定p,可判断B;C,利用复合命题的真值表可判断C;D, x2- 3x+2>0? x>2或xv 1,利用充分必要条件的概念可判断

14、D.【解答】解：对于 A,命题 若x2- 3x+2=0,贝U x=1”的逆否命题为 若xW1贝U x23x+2W0”，正确;对于B,命题p：存在设6 R,使得x02+x0+1< 0,则非p：任意xC R,都有x2+x+1 >0,正确；对于C,若p且q为假命题，则p, q至少有一个为假命题，故 C错误；对于D, x2- 3x+2>0? x>2或x<1,故x< 1”是攵2- 3x+2>0”的充分不必要条件，正确.综上所述，错误的选项为：C,故选：C.【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与 充分必要条件的

15、真假判断，属于中档题.4 .若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为(【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题.【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为犯，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可.【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4,底面正三角形的高是 班，设底面边长为a,则当a二次旧，a=6,故三棱柱体积故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题

16、求的是本棱柱的体积.三视图的投影规则是：生视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”.三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能.r TTfr fr5 .已知平面向量 W与E的夹角为二7，且|口=1,二+先|=2万，则面=()A. 1B.6 C. 3 D. 2【考点】平面向量数量积的运算.【专题】平面向量及应用.【分析】由已知将， 石+2%|=2",两边平方，得到E的模的等式，解之即可.【解答】解：由已知，逋+2百=12,即$+4之用+4二12,所以百|2+痂曲4+4=12,所以亩=2;故选D.【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的

17、平方.6 .函数y=a1 x (a>0, a*1)的图象恒过定点 A,若点A在直线mx+ny- 1=0 (mn>0)上，则LJ 的最小 m n值为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【考点】基本不等式.【专题】不等式的解法及应用.【分析】函数y=a1 x (a>0, awi)的图象恒过定点 A (1,1),由于点A在直线mx+ny-1=0 (mn>0)上,可得m+n=1.再利用 乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【解答】解：函数 y=a1 x (a>0, a* 1)的图象恒过定点 A (1, 1),一点 A在直线 mx+ny-1=0 (mn>0)上，

18、m+n=1.则二+工=(m+n)4-) =23t>Z+Z1户工=4,当且仅当m=n时取等号.m nm n du "inn2故选：B.【点评】本题考查了 乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题.7 .等比数列an中，34=2, %=5,则数列lgan的前8项和等于()A. 6 B. 5C. 3 D. 4【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】由等比数列的性质可得31%8=32?37 =-34?%=10,由对数的运算性质，整体代入计算可得.【解答】解：:等比数列3n中34=2 , 35=5,- 3

19、4?35=2*5=10,，数列lgan的前 8 项和 S=lg&+lga2+lga84=lg (a1?a2 a8)=lg (a?a5)=4lg (a4?a5)=4lg10=4故选：D.【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查.2"4<08 .已知集合（工：y） I - x+yi>0 表示的平面区域为 ,若在区域内任取一点P （x, y）,则点3 - yQP的坐标满足不等式 x2+y2w2的概率为（）【考点】几何概型；简单线性规划.【专题】概率与统计.【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答

20、】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则对应的区域为 AOB,直线2x+y - 4=0与x轴的交点坐标为（2, 0）,则4OAB的面积 S=X2X-4x2X4=,点P的坐标满足不等式x2+y2<2区域面积sJ；X TTX I近）24 ,TT则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式 x2+y2<2的概率为京行三故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式(组)与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的 几何度量"N (A),再求出总的基本事件对应的几何度量”N,最后根据几何概型的概率公式进行求解.9.已知函数f (x)的定义域为-1, 4,部分对应值如下

21、表，f (x)的导函数y=f' (x)的图象如图所示. x-10234f (x)12020【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性.【专题】数形结合；导数的概念及应用.【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1vav2,即可得到函数 y=f (x) - a的零点的个数.【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数 y=f (x)的图象如图所示：因为 f (0) =f (3) =2, 1<a<2,所以函数y=f (x) - a的零点的个数为4个.故选：C.【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系.二者之间的关系是：导函数为正，原

22、函数递 增；导函数为负，原函数递减.10.定义行列式运算:.若将函数f (上)二1.的图象向左平移m (m>0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是(A.B.7TC.71D ln【考点】函数y=Asin(派+小)的图象变换；二阶行列式与逆矩阵.【专题】计算题；新定义；三角函数的图像与性质.的解析式，由函数y=f(x+m)【分析】由定义的行列式计算得到函数 f(x)的解析式，化简后得到y=f(x+m)是奇函数，则x取0时对应的函数值等于 0,由此求出m的值，进一步得到 m的最小值.【解答】解：由定义的行列式运算，得=(一6)乂 ( - sinx) - 1=一一 22将函数f

23、 (x)的图象向左平移 m (m>0)个单位后,所得图象对应的函数解析式为-，,一由该函数为奇函数，得 2sin (1rl一4二0,所以囿三k九，则m=kltC (k£Z) &6，一，冗当k=0时，m有最小值. 6故选C.【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin (派+)的图象变换，三角函数图象平移的原则是 注加右减，上加下减”，属中档题.11 .已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M (2, y(o) .若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A. 22 B. 2M C. 4D. 2M【考点】抛物线的简单性质.【专题

24、】计算题.【分析】关键点 M (2,加)到该抛物线焦点的距离为3,利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|.【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为 y2=2px (p>0)点M (2, y0)到该抛物线焦点的距离为3,2+-3p=2抛物线方程为y2=4x, M (2, yo)才二2|OM|= . J 1 3故选B.【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程.12 .设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x,yC R,都有f (x)才(y)=f(x+y),若a4, * 一 、， 一

25、一 一 一%=f ( n) (n6N),则数列%的刖n项和Sn的取值氾围是(1、11 、 JA. 3,2)B.0,2 C.三 1)D.应,1【考点】抽象函数及其应用.【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列.【分析】根据f (x)才(y) =f (x+y),令x=n, y=1,可得数列a0是以士为首项，以士为等比的等比数列,22进而可以求得Sn,进而Sn的取值范围.【解答】解:对任意 x, yCR,都有 f (x) ?f (y) =f (x+y),令 x=n, y=1,得 f (n) ?f (1) =f (n+1),f (也)、liF=f9，数列4是以方为首项，以蓝为等比的等比数歹U,1-

26、 an=f (n)=(*，i c)2/Sn =1-工2=1 一故选C.【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x, yC R,都有 f (x)才(y) =f(x+y)得到数列4是等比数列，属中档题.二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共计20分)13.定义某种运算？，S=a?b的运算原理如图；则式子 5?3+2?4= 14【专题】图表型.【分析】通过程序框图判断出S=a?b的解析式，求出5?3+2?4的值.(I )求cosB的值；【解答】解：有框图知 S=a?b=： 小 一一 bX la' L) la%bj，5?3+2?4=5X (3-1) +4X (2-

27、1) =14故答案为14【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视.解决新定义题关键是理解题中给的新定义.14 . 若 tan 0+t=4,贝U sin2 0= tan© |2【考点】二倍角的正弦.【专题】三角函数的求值.【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1,将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求.4 2,【解答】解：若tawa=4,则2sin cos 2tansin2 0=2sin 0cos 0=VT=Z-sin2 6 + cos 2 9 tan2 6【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题.15 .已知双曲

28、线x2-y2=1,点F1, F2为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若 PF1，PF2,则|PE|+|PF2|的值为 23_.【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题；压轴题.【分析】根据双曲线方程为x2-y2=1,可得焦距FiF2=2,因为PFi±PF2,所以|PFi|2+|PF2=|FiF2|2.再结合双曲线的定义，得到|PE|-历|=±2,最后联解、配方，可得(|PE|+|PF2|)2=12,从而得到|PFi|+|PF2|的值为入序.【解答】解：- PFi±PF>,|pfi|2+|pf2|2=|FiF2|2.双曲线方程为x2-y2=1,a2=b2=1,

29、 c2=a2+b2=2,可得 FiF?=2 . 2|PFi|2+|PF2|2=|FiF2|2=8又P为双曲线x2- y2=1上一点,，,2，|PFi|-|PF2尸 ±2a=±2, ( |PFi| - IPF2I)=4因此(|PFi|+|PF2|) 2=2 ( |PFi|2+|PF2) 一 ( |PFi|-匹)2=12，IPF1I+IPF2I的值为 2必故答案为： r ：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双 曲线的基本概念与简单性质，属于基础题.16 .已知曲线y= (a- 3) x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f

30、 (x) =x3-ax2-3x+1在1 , 2上单调递减，则a的范围为_41 3) _.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性.【专题】导数的综合应用.【分析】根据曲线 y= (a-3) x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f (x) =x3-ax2 - 3x+1在1 , 2上单调递减，则f (x) w。恒成立.【解答】解：因为 y= (a-3) x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=3 (a- 3) /+工二UilWL上且二o在x>0 时有解， XX所以 3 (a 3) x3+1=0,即 a - 3

31、<0,所以此时 av 3.函数f (x) =x3- ax2- 3x+1在1 , 2上单调递减，则 f (x) w。恒成立，即 f (x) =3x2- 2ax- 3W0 恒成立，即=3x-MI3K3 9因为函数尸踪一在1, 2上单调递增，所以函数 产乐一)的最大值为产3乂2-十6一手;所以所以己万综上.故答案为：g 1 3).【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用.三、解答题(本大题有 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 .在 ABC中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 bcosC=3acos

32、B- ccosB.（n）若就.正=2，且b=2V2,求a和c的值.【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理.【专题】计算题；转化思想.【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3X2RsinAcosB-2RsinCcosB,然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可.（2）由向量数量积的定义可得accosB=2,结合已知及余弦定理可得a2+b2=12,再根据完全平方式易得a=c=混.【解答】解：（I）由正弦定理得 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC,则 2RsinBcosC=6RsinAcosB- 2RsinC

33、cosB,故 sinBcosC=3sinAcosB- sinCcosB,可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即 sin （ B+C） =3sinAcosB,可得 sinA=3sinAcosB.又 sinA*O,因此.二,二. J（II）解：由 赢前=2,可得accosB=2,又二故 0c=6,由 b2=a2+c2 - 2accosB,可得 a2+c2=12,所以（ac） 2=0,即 a=c,所以 a=c=V&.【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础 知识，考查了基本运算能力.18 .为了了解湖南各景点在大众

34、中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了 n人，回答问题 湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表.组号分组回答正确的回答正确的人数人数占本组的频率第1组15,25)a0.5第2组25,35)18x第3组35,45)b0.9第 4 组 45, 55)90.36第 5 组 55, 653y(I )分别求出a, b, x, y的值；(II)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人?(出)在(n )抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图.【专题】概率与统计.【分析

35、】(I)由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25,再结合频率分布直方图求得n, a, b, x,y的值；一，一 ，心”，-，I 6 ,、，一(II)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，抽取比例为,根据抽取比例计算第 2, 3, 4组每组应抽取的人数；(III)列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共 15基本事件，其中恰好没有第 3组人共3个基本 事件，利用古典概型概率公式计算.9【解答】解：(I )由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为=25,U. 5b25再结合频率分布直方图可知n=, cqry 1门=10°， a=100X0.0i X10X0.5=5,

36、b=l00X0.03X10X0.9=27,y=2 ,2015'(n)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，1 gQj利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：云7*6=2人；第3组：百XK3人;9第4组：m人(出)设第2组2人为：Ai, A2；第3组3人为：Bi, B2, B3；第4组1人为：G.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(Ai,A2), (Ai,Bi), (Ai,B2), (Ai,&) ,(Ai,Ci),(A2, Bi),(A2,B2),(A2,B3) ,(A2,Ci),(Bi,B2),(Bi,B3),(Bi,Ci),(B2,B

37、3),(B2,G) , ( B3, Ci)共i5个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：15 5【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图.i9.已知四棱锥 P- ABCD,底面ABCD是/A=60°、边长为a的菱形，又 PD，底ABCD,且PD=CR点M、N分别是棱AD、PC的中点.(i)证明：DN/平面PMB;(2)证明：平面 PMB，平面PAD;(3)求点 A到平面PMB的距离.【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算.【专题】证明题；综

38、合题.【分析】(i)取PB中点Q,连接MQ、NQ,再加上 QN/ BC/ MD,且QN=MD,于是DN/ MQ,再利用直 线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；(2)易证PD± MB,又因为底面 ABCD是2A=60°、边长为a的菱形，且 M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；(3)因为M是AD中点，所以点 A与D到平面PMB等距离，过点 D作DH，PM于H,由(2)平面PMB± 平面PAD,所以DH，平面PMB, DH是点D到平面 PMB的距离，从而求解.【解答】解：(i)证明：取PB中点Q,连接MQ、NQ, 因为M、N分别是棱AD、P

39、C中点，所以 QN/ BC/ MD,且 QN=MD,于是 DN/ MQ.DN " MQ 'MQ工平面PHB ? DN/平面PMB.DN4平面 PMB .PDJ_ 平面ABCD LTk? PD± MBMB三平面ABCDj又因为底面 ABCD是/A=60°、边长为a的菱形，且 M为AD中点, 所以MB，AD.又 ADPPD=D,超1平面PAD1所以MB，平面PAD/lt=ee ?平面PMB，平面PAD.三平面PMB J(3)因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.过点故DH是点D到平面 PMB的距离D作DHPM于H,由(2)平面 PMB，平面PAD,

40、所以DH，平面PMB.【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能 力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结 合思想.一，一、一八一一3 -20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，左右焦点分别为Fi, F2,且|FE|=2,点(1,不)在椭圆C上.(口)过F1的直线l与椭圆C相交于A, B两点，且 AF2B的面积为工与2 ,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(I )先设出椭圆的

41、方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点(1, j)到两焦点的距离求得a,进而根据b=702 - /求得b,得到椭圆的方程.(n)先看当直线 Ux轴，求得A, B点的坐标进而求得 A吊B的面积与题意不符故排除，进而可设直线ly2),根据韦达定理可求得 X1+X2和Xi?X2,得到圆的方程.的方程为：y=k (x+1)与椭圆方程联立消 y,设A (%, y” , B(X2,进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得 k,最后求得圆的半径,由题意可得:【解答】解：(I)设椭圆的方程为椭圆C两焦点坐标分别为Fi ( - 1,2H (141) 24 (J)(1-1)1- a=2,又 c=1,

42、b2=4- 1=3,故椭圆的方程为(n)当直线ix轴，计算得到:3X2=3 ,不符合题意.拳，B 半，S当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k (x+1),消去 y 得(3+4k2) x2+8k2x+4k2- 12=0显然 。成立，设 A (xi, yi) , B (x2, v2 ,4k2 - 12叼二JI AB | = 41+ k、* J (冗+工 z)Z - 4,，|AB| = 71+k*12VP<L 12 (k2+l)3+4k23+4k2z 八2 4k2)3+4k2又圆F2的半径|l5xi - 0+k所以二一l," _ 一12 U") Z|k|计 4k

43、 2Vlfk2- S+4k2 T化简，得 17k4+k2- 18=0,即(k2 1) ( 17k2+18) =0,解得 k=±1所以,_ 乎 L- q 工诟一最故圆F2的方程为：(X-1) 2+y2=2.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系.考查了学生综合运用所学知识, 创造性地解决问题的能力.21.已知函数f (k)二(nH-) Imd二一K，(其中常数 m>0) m 3(1)当m=2时，求f (x)的极大值；(2)试讨论f (x)在区间(0, 1)上的单调性；使得曲线(3)当 mC 3,+°°)时，曲线y=f(x)上总存在相异

44、两点P(x1，f (x1)、Q(X2,f(X2),y=f (x)在点P、Q处的切线互相平行，求 x1+x2的取值范围.【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.【专题】综合题.【分析】(1)利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求 f (x)的极大值；(2)求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；(3)曲线y=f (x)在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可.5【解答】解：(1)当m=2时，F(X)=亍In乳+q 一工m 1 _ 51(立-2)(外 7)F 丁工一=(x>0

45、)占温 工21令f' (x) v 0,可得。,或x>2;令 f' (x) > 0,可得，<工<2 ,，f(>)在(a 和(2, +8)上单调递减，在 吟，2)单调递增故f（X）极大中号成空(2)2LIT+- X二-一某x2("与 k+1( k _ id) ( k _)m .2-.2(x>0, m>0)当 0vmv1 时，则=，二> 1,故 xC (0, m),f' (x) v 0;xC (m, 1)时，f' (x) > 0此时f （x）在（0, m）上单调递减，在m, 1）单调递增;当m=1时，则,

46、二1,故xC （0,m1)(L1) 2,有(h) =-<0恒成立,此时f （x）在（0, 1）上单调递减;当m>1时,则0<”故一 一)时，f (x) v 0; kE (工1)时，f' (x) >0此时f (x)在(0,上单调递减，在1）单调递增（3）由题意，可得f' (xi) =f' (x2)(xi, x2>0,且 xi*x2)ID? M 十；'厂：一-xi *x2,由不等式性质可得又 x1，x2, m>0.、41t （:时）（士芳）+12/1对mC 3, +°0)恒成立nrr一TO令耳(ml =nH (口>

47、3),则 gm对m e 3, +8）恒成立 g （m）在3, +00）上单调递增,从而*11 对 mC3, +°°）恒成立nri-m、46等价于1+叼丁西一二，Xi+X2的取值范围为虺， 十5【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题,函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-1 :几何证明选讲22.如图所示，PA为圆。的切线，A为切点，PO交圆。于B, C两点，PA=20, PB=10, /BAC的角平分线 与BC和圆。分别交于点 D和E.(I )求证 AB?PC=PA?AC(n )求AD?AE的值.【考点】与圆有关的比例线段.【专题】直线与圆.【分析】(1)由已知条件推导出 PAp4PCA,由此能够证明 AB