2020-2021学年辽宁省高考数学一模试卷(文科)及答案解析

1、辽宁省高考数学一模试卷(文科)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。1 .设 U=R,集合 M=-1, 1, 2, N=x|-1vxv 2,则 NPM=()A. - 1, 2 B. 1 C. 2 D. - 1, 1, 22 .复数zAp (i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A. i B. - i C. 1 D. - 13 .抛物线y=2x2的焦点坐标是()A.巧,0) B. (0, /) C. (0, y) D, (y, 0)4 .给出下列四个命题：若命题 若p则q”为真命题，则命题 若q q则p”也是真命题直线a/平面”

2、的充要条件是：直线 a?平面aa=1"是！线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；若命题p： ? x R, x2-x- 1>0 :则命题p的否定为：? xC R, x2-x- 1W0”其中真命题的个数是()A. 0B. 1 C. 2 D. 35 .已知MOD函数是一个求余数的函数，其格式为MOD (n, m),其结果为n除以m的余数，例如MOD (8, 3) =2.如图是一个算法的程序框图，当输入 n=25时，则输出的结果为()6 .设Sn为等差数列a6的前n项和，若a=1,公差d=2, Sn+2-Sn=36,则n=()A. 5B. 6C. 7D. 87.某餐厅的

3、原料费支出x与销售额y (单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y与x的线性回归方程为y=8.5x+7.5,则表中的m的值为()x24568y2535m5575A. 50B. 55C. 60D. 658 .已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为一沪，则该锥体的俯视图可以是()Lr19 .在三棱锥 S-ABC中，侧棱SCL平面ABC, SAXBC, SC=1, AC=2, BC=3,则此三棱锥的外接球的表面积为()10.双曲线Ci：I 2A. 14 兀 B, 12 兀 C. 10兀 D. 8兀 =1 (a>0, b>0)与抛物线 C2： y2=2px

4、 (p>0)相交于A, B两点，公共弦AB恰过它们公共焦点 F,则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是(A.(7U兀 z)B.(JTTC)C.()D. (0,7T,如图所示,11 .已知点G是 ABC的外心，GA, GB, GC是三个单位向量， 且2GA+其B+AC = ABC的顶点B, C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动， O是坐标原点，则|0色1的最大值为()A. . 1!B. ： C. 2 D. 312 .已知函数 y=f (x)在R上的导函数 f' (x) , ? x C R都有f' (x) v x,若f (4 - m) - f (m)>8

5、- 4m,则实数m的取值范围为()A. -2, 2 B. 2, +00) C. 0, +oo) d. (8, 2 2 U 2, +00)二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分)13 .在区间-5, 5内随机四取出一个实数 a,则aC (0, 1)的概率为 .14 .已知x, y满足，k+A，贝U z=2x+y的最大值为 .y> l15 .数列4的通项公式为an=n2-kn,若对一切的n C N不等式%>出，则实数k的取值范围.16 .已知函数y=f (x)的定义域为 R,当x> 0时，f (x) >1,且对任意的x, yC R都有f (x+y) 1 =f (

6、x)才(y),则不等式 f (log Lx) <fClo Sts+L)的解集为 .a I 2三、解答题：本大题共 5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .在 ABC中，角 A, B, C对边分另1J为 a, b, c,若 bcosA+acosB= 2ccosC.(I )求角C的大小；(n )若a+b=6,且 ABC的面积为 2/3,求边c的长.18 .某中学共有1000名学生参加考试，成绩如表：成绩分组0,30) 30, 60)60, 90)90, 120) 120, 150)人 数 6090300 x160(1)为了了解同学们的具体情况，学校将采取分层抽样的方法

7、，抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中成绩为95分，求他被抽中的概率.(2)本次数学成绩的优秀成绩为110分，试估计该中学达到优秀线的人数.(3)作出频率分布直方图，并据此估计该校本次考试的平均分(用同一组中得到数据用该组区间的中点值作代表)19 .如图，在四棱锥 P- ABCD中，PA，平面 ABCD, / DAB是直角，AB/ CD, AD=CD=2AB=2 E、F分别为PC CD的中点.(I )试证：AB,平面 BEF;(n )若 Vc- bef=1,求 PA 的长.x220.已知椭圆C: 2a2-y+=1 (a>b>0)的右焦点为F (1, 0),且过点(线l与

8、椭圆C交于不同的两点 A, B,设FA=XFB, X-2, -1, T (2, 0)(I )求椭圆C的标准方程；(口)求|寸+五|的取值范围.21 .已知函数 f (x) =ax+lnx (av 0)(1)若当xC1, e时，函数f (x)的最大值为-3,求a的值；(2)设 g (x) =f (x) +f' (x) (f' (x)为函数 f (x)的导函数)，若函数 g (x)在(0, +°0)上 是单调函数，求a的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-1 :几何证明选讲22 .如图，直线 AB经过。O上的点C,

9、并且 OA=OR CA=CB。交直线 OB于E、D,连接ECCD.(1)求证：直线AB是。的切线；(2)若tan/CED=,。的半径为3,求OA的长.选彳4-4 :坐标系与参数方程23 .直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为卜- 2+哼tk4cos。，直线l的方程为J(t为参数)，直线l与曲线C的公共点为T.(1)求点T的极坐标；(2)过点T作直线11,若11被曲线C截得的线段长为2,求直线11的极坐标方程.选彳4-5 :不等式选讲24.设函数 f (x) =|2x- a|+2a(I )若不等式f (x) w 6的解集为x|-6WxW4,求实数a的值

10、；(n )在(I)的条件下，若不等式f (x) w ( k2- 1) x-5的解集非空，求实数 k的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。1 .设 U=R,集合 M=-1, 1, 2, N=x|-1vxv 2,则 NAMM ()A. - 1, 2 B. 1 C. 2 D. - 1, 1, 2【考点】交集及其运算.【分析】由M与N,求出两集合的交集即可.【解答】解：丁 M= - 1 , 1, 2, N=x|- 1<x< 2,.MHn=1,故选：B.2 .复数z=l：i (i为虚数单位)，

11、则复数z的虚部为()A. i B. - i C. 1 D. - 1【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数除法运算化简，可得虚部.-1 I 9 < 1 I H【解答】解：复数 z= J =一二：=1 i，则复数z的虚部是-1,故选：D.3 .抛物线y=2x2的焦点坐标是()A.用,0) B. (0, /) C. (0, y) D. (y, 0)【考点】抛物线的简单性质.【分析】把抛物线 y=2x2化为标准方程，求出 p值，确定开口方向，从而得到焦点的坐标.【解答】解：抛物线 y=2x2的标准方程为，p=B，抛物线开口向上，焦点在 y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，g）， 故选B.

12、4 .给出下列四个命题：若命题 若p则q”为真命题，则命题 若q q则p”也是真命题直线a/平面”的充要条件是：直线 a?平面aa=1”是！线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；若命题p： ? x R, x2-x- 1>0 :则命题p的否定为： ? xC R, x2-x- 1W0”其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2 D. 3【考点】命题的真假判断与应用.【分析】根据逆否命题的等价性进行判断，根据线面平行的定义和充分条件和必要条件的定义进行判断，根据直线垂直的等价条件进行判断，根据含有量词的命题的否定进行判断.【解答】解：若命题 若p则q”为真命题，则命题的逆否

13、命题若q则p”也是真命题，故 正确，若直线a/平面 %则直线a?平面a,充分性成立，若 aA =A,满足a?平面电但直线a/ 平面“不成立，即必要性不成立，故直线a/平面”的充要条件是：直线 a?平面“错误，故错误，直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直，则1 - a2=0,即a= ±，则a=1”是 直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，故 错误，若命题p： ? x R, x2-x- 1>0 '；则命题p的否定为：? xC R, x2- x- 1W0”，故正确， 故选：C5 .已知MOD函数是一个求余数的函数，其格式为MOD （n, m）,其

14、结果为n除以m的余数，例如MOD （8, 3） =2.如图是一个算法的程序框图，当输入 n=25时，则输出的结果为（）A. 4B. 5C. 6 D. 7【考点】程序框图.MOD (n, i)的值，当 i=5, MOD (25, 5) =0,【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算 满足条件MOD (25, 2) =0,退出循环，输出i的值为5.【解答】解：模拟执行程序框图，可得:n=25, i=2, MOD (25, 2) =1,不满足条件MOD (25, 2)=0, i=3, MOD (25, 3) =1,不满足条件MOD (25, 3)=0, i=4, MOD (25,4) =1,不满

15、足条件MOD (25, 4)=0, i=5, MOD (25, 5) =0,满足条件MOD (25, 2) =0,退出循环，输出i的值为5.故选：B.6 .设Sn为等差数列an的前n项和，若&=1,公差d=2, Sn+2-Sn=36,则n=()A. 5 B. 6C. 7 D. 8【考点】等差数列的性质.【分析】由Sn+2- Sn=36,得an+1+an+2=36,代入等差数列的通项公式求解n.【解答】解：由 Sn+2- Sn=36,得：an+1 + 4+2=36,即 a1+nd+a1+ (n+1) d=36,又 a1=1, d=2, -2+2n+2 (n+1) =36.解得：n=8.故

16、选：D.7.某餐厅的原料费支出据，用最小二乘法得出x与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数y与x的线性回归方程为 y=8.5x+7.5,则表中的m的值为（x2y254535m685575A. 50 B. 55C. 60D. 65【考点】线性回归方程.【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论.【解答】解：由题意，X央产=5,行 空电产侄=38卓.y关于x的线性回归方程为 y=8.5x+7.5,根据线性回归方程必过样本的中心，“m38+=8.5X5+7.5,m=60.故选：C.8 .已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为士宇，则该

17、锥体的俯视图可以是（）【考点】简单空间图形的三视图.【分析】由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为V3,结合锥体的体积为 一，可得 其底面积为2,进而可得答案.2的等边三角形,【解答】解：二.锥体的正视图和侧视图均为边长为故锥体的高为V3, 又锥体的体积为 名汉，3故锥体的底面面积为 2,A中图形的面积为4,不满足要求；B中图形的面积为 兀，不满足要求；C中图形的面积为 2,满足要求；D中图形的面积为不满足要求;故选：C9 .在三棱锥 S-ABC中，侧棱SCL平面ABC, SAXBC, SC=1, AC=2, BC=3,则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. 14 兀 B, 12 兀 C.

18、 10 兀 D. 8 兀【考点】球的体积和表面积.【分析】证明SC, AC, BC两两垂直，将三棱锥 S-ABC扩充为长方体，对角线为三棱锥的外接球的直径，求出对角线长，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积.【解答】解：由题意，侧棱 SC平面ABC, BC?平面ABC, .-.SC± BC,1 . SAXBC, SAnSC=S,.BC±¥面 SAC,2 .SC, AC, BC两两垂直,将三棱锥S-ABC扩充为长方体，则对角线长为 Ml+d+g=/H,，三棱锥的外接球的半径为三棱锥的外接球的表面积为4H G/）=140故选：A.10.双曲线Ci：

19、 -J=1 （a>0, b>0）与抛物线 C2： y2=2px （p>0）相交于A, B两点，公 f b£|共弦AB恰过它们公共焦点 F,则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A.7UB.(加 TCC.(D. (0,A的坐标；将A代入抛物【考点】双曲线的简单性质.【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出线方程求出双曲线的三参数a, b, c的关系，求出双曲线的渐近线的斜率，求出倾斜角的范围.【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，。）；双曲线的焦点坐标为（c, 0）p=2c点A是两曲线的一个交点，且 AF±x轴，.将x=c代入双曲线

20、方程得到 A （c,工）将A的坐标代入抛物线方程得到勺=2pc4a4+4a2b2 - b4=0解得 一= ：""：双曲线的渐近线的方程为 y=Lx a设倾斜角为a,则tan a上=f a 7T X -T< 司故选：A.11.已知点G是ABC的外心，GA. GB, GC是三个单位向量，且2GA+AL+AC=0 ,如图所示， ABC的顶点B, C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动， O是坐标原点，则|5N|的最 大值为（）A.： B.I C. 2 D. 3【考点】向量的加法及其几何意义.【分析】根据题意，得出 G是BC的中点， ABC是直角三角形，斜边 BC=2;

21、点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；OA经过BC的中点G时，|赢|取得最大值为2前.【解答】解：,一点 G是 ABC的外心，且 荻向田飞 ,，-2GA=AB+AC,1 即 AG=7T( AB+AO;ibL.点G是BC的中点，.ABC是直角三角形，且/ BAC是直角；又近，GB,就是三个单位向量，BC=2;又 ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，可设点 G 的坐标为(x, y), B (xi, 0), C (0, y2),f3V-工2则， ；产I 2rr 2L 2 . , 一又 BC=2,即 K + 町 =4(Xi> 0, y2>0),.x2+y2=1 (x&g

22、t;0, y>0),则点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；又|旗|=1 ,OA经过BC的中点G时，|赢|取得最大值，且最大值为 2筋|=2.故选：C.12.已知函数 y=f (x)在R上的导函数 f' (x) , ? xC R都有f' (x) v x,若f (4 - m) - f (m)>8 - 4m,则实数m的取值范围为()A. -2, 2 B. 2, +°°) C. 0, +°°) D. (°0, 2U2, +0°)【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】根据构造辅助函数 g (x) =f (x

23、) -4x2,利用导数可得函数 g (x)在R上是减函数，f(4m) f (m) > 8- 4m,即 g (4m) > g (m),可得 4 - m< m,由此解得 a 的范围.【解答】解：令g (x) =f (x)二x2, xC R g' (x) =f (x) - x< 0,.故函数g (x)在(-8, +oo)上是减函数,1.f (4 m)-f (m) =g (4 - m) +(4 - m) 2- g ( m)m2=g (4 m) g ( m) +8 - 4m > 8 - 4m,g (4- m) >g (m), -4 - m< m,解得：m

24、> 2,故选：B.二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分)1U一13 .在区间-5, 5内随机四取出一个实数a,则aC (0, 1)的概率为【考点】几何概型.【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可.10，【解答】解：在区间-5, 5内随机四取出一个实数 a,则aC (0, 1)的概率P= _( _ 5)=故答案为:f14 .已知x, y满足冥+产工，贝U z=2x+y的最大值为3【考点】简单线性规划.【分析】先根据约束条件画出可行域， 再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距, 只需求出可行域直线在 y轴上的截距最大值即可.【解答】解：J K+y<l

25、 ,在坐标系中画出图象，y>- 1三条线的交点分别是 A (T, - 1), B (当，二)，C (2, 1),在 ABC中满足z=2x+y的最大值是点 C,代入得最大值等于 3.15 .数列&的通项公式为an=n2- kn,若对一切的nCN不等式an>a3,则实数k的取值范围5,【考点】数列递推式.【分析】结合二次函数 f (x) =x2,从而求得.-kx的性质可得w卜【解答】解：:数列an的通项公式为an=n2 - kn,结合二次函数f (x) =x2 - kx的性质，又f (x) =x2-kx的图象的对称轴为 x=,故对一切的nCN不等式%出可化为.2+3/"

26、;222'即 5WkW7,故答案为：5,7.16 .已知函数y=f (x)的定义域为 R,当x> 0时，f (x) >1,且对任意的x, yC R都有f (x+y) 1 =f (x)才(y),则不等式 f (log ,l_x) wf (cig1+1)的解集为 4, +°°).2 ¥ | 【考点】抽象函数及其应用.【分析】可令x=1, y=0,代入f (x+y) =f (x)才(y)计算可得f (0) =1,由x>。时，f (x) >1,可得x<0时，0vf (x) <1,再由单调性的定义，判断f(x)在R上递增，原不等式

27、即为f(log_L2x) f (log Ix+D W1,运用条件可得2log l-x+1<0,运用对数函数的单调性，解不等式可得解【解答】解：令x=1, y=0,代入f (x+y) =f (x) f (y)中得:f (1) =f (1) ?f (0),由 1>0,可得 f (1) >1,可得 f (0) =1,当 xv 0 时，x> 0,得 f ( x) > 1,令 y=- x,贝U x+y=0,代入 f (x+y) =f (x)才(y)中得， f ( x)才(x) =f (0) =1,即有0vf (x)设 x1vx2,则 x2 x1>0 且 f (x2 x

28、1) > 1, f (x1) > 0,则 f (x2) f (x1) =f (x2- x1+x1)- f (x1)二f (x2 x” ?f (x1) f (x1) =f (x” f (x2 -xj - 1,由 x2- x1> 0,可得 f (x2 x1)>1,即 f (x2 x" - 1 > 0,则有 f(X2) f(Xi) >0,即 f ( Xi) V f(X2),可得f (x)在R上单调递增.f (log jJx)k+1)即为 f (logx) f (logx+1) < 1,2y22-由 f (0) =1, f (x) f (y) =f

29、(x+y),可得，f (2log _Lx+1) < f (0),即为 210g _Lx+1<0, 22即有 log _Lx< - 77,解得 x>4.2 2故答案为：4, +8).三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .在 ABC中，角 A, B, C对边分另1J为 a, b, c,若 bcosA+acosB= 2ccosC.(I )求角C的大小；(n )若a+b=6,且 ABC的面积为 2/3,求边c的长.【考点】正弦定理；余弦定理.【分析】(I)由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC

30、,化简可得cosC=-百，结合C的范围求C的值；(II)由a+b=6得a2+b2+2ab=36,根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出 a2+b2的值，利用余弦定理求出 c的值.【解答】解：(I )由题意知，bcosA+acosB= 2ccosC,正弦定理可得 sinBcosA+sinAcosB=- 2sinCcosC,sin (A+B) =- 2sinCcosC,由A, B, C是三角形内角可知，sin (A+B) =sinCw 0,cosC=一方，2兀|由0vCv兀得，C;(n )a+b=6,a2+b2+2ab=36,ABC的面积为 2f, 1-absinC-2V3，即、"

31、abX化简彳导,ab=8,则a2+b2=20,由余弦定理得，c2=a2+b2- 2absinC=20- 2您乂(一±)=28,所以c=2Vr.18 .某中学共有1000名学生参加考试，成绩如表：成绩分组0,30) 30, 60) 60, 90)90, 120) 120, 150)人 数 6090300 x160(1)为了了解同学们的具体情况，学校将采取分层抽样的方法，抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中成绩为95分，求他被抽中的概率.(2)本次数学成绩的优秀成绩为110分，试估计该中学达到优秀线的人数.(3)作出频率分布直方图，并据此估计该校本次考试的平均分(用同一组中得

32、到数据用该组区间的中点值作代表)g 丁:7 声必以【考点】频率分布直方图. 一口八> 一人人%切上样本容量. R 【分析】(1)根据分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为氐体中个体总数,即可计算出甲同学被抽到的概率；(2)根据总人数即可计算出 x值，从而估计该中学达到优秀线的人数；(3)以频率/组距为纵坐标，组距为横坐标作图出频率分布直方图.最后利用平均数的计算公式得出该学校本次考试数学平均分，并用样本的频率分布估计总体分布估计该学校本次考试的数学 平均分.”审八一人人自如士必，.样本容量|【解答】解：(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为=不中,个东百薮，故甲同学被抽到的概率 p卷.

33、(2)由题意 x=1000- ( 60+90+300+160) =390,1120-110,故估计该中学达到优秀线的人数m=160+390X=290 (人).120- 90(3)频率分布直方图.该学校本次考试数学平均分 =二 (60 X15+90 >45+300 >75+390 M05+160 M35=90.1000估计该学校本次考试的数学平均分为90分.19 .如图，在四棱锥 P- ABCD中，PAL平面 ABCD, / DAB是直角，AB/ CD, AD=CD=2AB=2 E、F分别为PC CD的中点.(I )试证：AB,平面 BEF;(n )若 Vc bef=1,求 PA 的

34、长.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定.【分析】(I )欲证ABL平面BEF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而 AB± BF.根据面面垂直的性质可知 AB± EF,满足定理所需条件；(n )利用体积公式，结合 Vc bef=1,求PA的长.【解答】(I )证明：由已知 DF/ AB且/ DAB为直角, 故ABFD是矩形，从而AB± BF.又PA，底面ABCD,所以平面PAD，平面ABCD,因为AB± AD,故 ABL平面 PAD,所以AB± PD,在4PDC内，E、F分别是 PC、CD

35、的中点，EF/ PD,所以 AB± EF.由此得 ABL平面 BEF.（口）因为 Vc BE=1 ,所以暴抖1X2X却#1,所以PA=6.20 .已知椭圆C:气 +方=1 （a>b>0）的右焦点为F （1, 0）,且过点（W，/）.过F作直线l与椭圆C交于不同的两点 A, B,设贰=标，入C-2, -1, T （2, 0）（I ）求椭圆C的标准方程；（口）求|翼+五|的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.116,1【分析】（I）椭圆c的右焦点为f（1, 0）,且过点（华,）.可得c=i, T77T =1,又 224a 4ba2=b2+c2,联立解得即可得出椭圆的方程.2一

36、4k（II）由题意可知：直线l的斜率不为0,设直线l的万程为：x=ky+1,代入椭圆万程可得：（k+2）2k?+2可得：0<k'y +2ky - 1=0,设点 A （X1,yO, B（X2,y2）.由 FA=aFB,入 C - 2, - 1,可得 y产入y2,入01+2=，TA+TB = （k （y+y2）2, yM,利用数量积运算性质即可得出.【解答】解：（I）椭圆C的右焦点为F （1, 0）,且过点（=1,又 a2=b2+c2,联立解得a2=2, b=c=1.椭圆的方程为:+y2=1.2(II)由题意可知：直线l的斜率不为0,设直线l的万程为：x=ky+1,代入椭圆万程可得：

37、(k+2)2y +2ky- 1=0,、_* 2k -设点 A (xi, yi) , B (x2, y2),则：yi +y2= ，y1y2=于1+2 kz+2.记=入立，入C 2, 1, .-.yi=Xy2,入+-+2=.",可得：04k春，IA-FT& = (k (yi+y2) 2, yi+y2), 风 k+2. * I 9 F,上&8_T1 69 -fTA+TB |2=晨为 + %)-2 +卬1+/2)n-TTT；+门 2g、2 e .K 十上 kK TZ)J-.B+rS 2?塔. o21 .已知函数 f (x) =ax+lnx (av 0)(1)若当xC1, e时

38、，函数f (x)的最大值为-3,求a的值；(2)设 g (x) =f (x) +f' (x) (f' (x)为函数 f (x)的导函数)，若函数 g (x)在(0, +°°)上 是单调函数，求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求函数的导数，利用当 xC 1, e时，函数f (x)的最大值为-3,建立条件关系即 可求a的值；(2)求出函数g (x)的表达式，利用函数 g (x)在(0, +°°)上是单调函数，得到 g' (x) > 0 恒成立，即可得到结论.

39、【解答】解：(1)由F (£)=42碎工可得函数 小)在(0， T)上单调递增，在(一争 +8)上单调递减，当万二一上时，f (x)取最大值， a当即a< - 1时，函数f (x)在1 , e上单调递减，a f (x) max=f (1) = - 3,解得 a=- 3;当 一上e,即1已 时，£（I口）-）=3 ,ae皿& a解得a=- £ - 1,与1（一工矛盾，不合舍去；e当Se,即已一工时，函数f （x）在1, e上单调递增， aef（X）max=f （ e） = - 3,解得H=一且一），与a一二矛盾，不合舍去； e ee综上得a= - 3.

40、（2）解法一：= g （k） =lnx+aid-l-a, kT（尺）=上+且 一 3=_（1+显然，对于xC （0, +8）, g'（X） 0不可能恒成立，函数g （x）在（0, +°0）上不是单调递增函数，若函数g （x）在（0, +°°）上是单调递减函数，则 g' （x） 0对于x （0, +°0）恒成立, ，/0皿/=Q,解得*-1，综上得若函数g （x）在（0, +8）上是单调函数，则 在（-8 5=-解法二：（K）=1门工+ hk+L+目Kg,（寰）:工+a - 与二3工十:, 国 工X令 ax2+x- 1=0* *）方程（*）

41、的根判别式 =1+4a,当0,即一/时，在（0, +°°）上恒有g' （x） 0, 即当一"时，函数g （x）在（0, +O°）上是单调递减； 当4 0,即日一点时，方程（*）有两个不相等的实数根：町 & 灯一益 '.H（K）=-y （x 勺）（X 一 富2）,当 X1 V *<*2时 g' (x) >0,当 x> x2 或 0VXVX1 时，g' (x) < 0,即函数g （x）在（xi, x2）单调递增，在（0, x1）或（x2, +°°）上单调递减,，函数g （x）

42、在（0, +°°）上不单调，综上得若函数g （x）在（0, +8）上是单调函数，则 支（-8p -卷.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-1 :几何证明选讲22.如图，直线 AB经过。O上的点C,并且 OA=OR CA=CB。交直线 OB于E、D,连接ECCD.（1）求证：直线AB是。的切线；（2）若tan/CED=,。的半径为3,求OA的长.【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲 线的极坐标方程；直线的参数方程.【分析】（1）要想证AB是。的切线，只要连接 OC,求证/ ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，BCgABEC：,彳导BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长.【解答】解：（1）如图，连接OC, . OA=OB, CA=CB OCX AB. .AB是。的切线；(2) BC是圆O切线，且 BE是圆O割线,BC2=BD?BE,.一工 CD _1. tan / CED=c , 口尸-c .BCg BEC,BD _CD _1BCEC 2设 BD=x, BC=2x.又 BC2