第十三讲刚体地运动和动力学问的题目

1、第十三讲刚体的运动学与动力学问题一竞赛内容提要1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。二竞赛扩大的内容1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的根本运动包括刚体的平动和刚体绕定 轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种根本运动组合而成。2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的 位移、速度和加速度始终一样。3、 刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各

2、点做圆周运动的角位移、角速度3和角加速度B 样可与运动I I 学的s、v、a进展类比。且有：3 = to t ；b = to t。当b为常量时，刚体做匀加 速转动，类似于匀加速运动，此时有：3=3 o+ B t ；=O o+w ot+ B 12/2 ；223 3 0=2B一0。式中，0、3 0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动 的刚体上某点的运动情况，有：V= 3 R a t=B R, a n=3 2R=V7r, 式中，R是该点到轴的距离，a、an分别是切向加速度和法向加速度。例1有一车轮绕轮心以角速度3匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度V0、加速度a作匀加速爬行，

3、求小虫运动的轨迹方程。例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度B和时间 t的关系式为：B =at+bt 2 ct3,式中，a、b、 c都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式与距转轴r处的切向加速度和法向加速度。例3如下列图，顶杆 AB可在竖直槽K内滑动，其下端由凸轮 K推动，凸轮绕 O轴以匀角速度3转动，在图示瞬间，OA=r，凸轮轮缘与 A接触处，法线n与OA之间的夹角为a,试求此瞬时顶杆OA的速度。例4人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，如此汽车 运动的可能的最小速度是多少？电影每秒钟放映24个画面，车轮半径为0.5m.例5在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m，后轮直径为

4、1.25m,两轮的轴的距离为 2m如下列图，在 行驶过程中，从前轮边缘的最高点 A处水平飞出一小石块， 0.2s后后轮边缘的最高点 B处也水平飞出一小石块，这两 块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大 小。R1,vRR1例6如下列图，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2,外环半径为在两环之间分布的小球半径为r。外环以线速度 Vi顺时针方向转动，而内环如此以线速度V2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转 动的线速度v和小球自转的角速度3。设小球与圆环间无滑动。例7 一木板从空中下落，某时刻，板上a、b两点速度一样，va=vb=v, a、b两点均位于板面上，p同时还

5、发现板上 c点速度为2v, c点到a和b两点的距离等于 a和b两点间的距离。问板上那些 点的速度等于3v ?4、力矩 1对转动轴的力矩如图，转动轴过 O点并垂直于纸 面，过P点的力F对O轴的力矩M=Fr。其中，r为力臂。：r= pzFP丄JFsin 0,a M=Fsi nBp。即，F对轴O的力矩，等于 F垂直于OP 连线的分力F°与OP的积：M=丘p。当力的作用线不在垂直于轴的直线上时， 可将力F分解为平行于轴的分量 “ 和垂直于轴的分量 F丄，其中，F/对物体绕轴的转动没有贡献， F丄就是F在垂 直于轴的平面上的投影，此时， F对轴的力矩可写成： M=F丄p sin B。2对参考点

6、的力矩如图，F对O点的力矩M=Fsi n Bp。O5、质点的角动量如右如下图，质点 m对点O的角动量 L=r x p=r psin 0 =mv- r sinB,角动量又叫做动量矩与力矩类比。同一质点对不同的参考点的P角动量是不同的。特别地，当 p丄r时，角动量L=mvr。O r m o6、质点系或刚体的角动量即各质点角动量的总和，L=Emviri=刀mri2® =I 3。其中，I是刚体的转动惯量I的数值不2要求会计算。质点对轴的转动惯量为：I=mr , r是转动半径。7、刚体的转动动能刚体的动能包括质心的平动动能EemV/2和相对质心的转动动能，其中,转动动能的大小： E k=E m

7、vi2/2=1/2 刀 mm2® 2= 1/2I 32。8、刚体绕定轴转动的根本规律1力矩M和角加速度B的关系M=l B类比于F=ma；2合力矩做的功和刚体转动动能的关系 W=F S=F- r 0 =M0 = 1/2I 312 1/2I 3 ol与动能定理类比。2质点、质点系或刚体的角动量定理L=E mv假如是质点如此不用刀符号，" L/ " t=刀"L/ " t=刀Fi + fir i,式中，Fi表示第i个质点受到的外力，f i表示该质点受到的系统内力。内力矩为零，" L/ "t=刀Fri=M外，即M外"t=Lt

8、 L。与动量定理类比。角动量定理可写成 分量式。3质点、质点系或刚体的角动量守恒定律当M外=0时，L=恒量与动量守恒类比，即系统的角动量守恒。其中，M外=0有以下三种情况：i体系不受外力，即 Fi=0合外力为零工合力矩为零，如力偶矩的情况；ii所有外力都通过定点这种外力叫有心力，如卫星所受的万有 引力，尽管外力的矢量和不为零， 但每个外力的力矩都为零；iii 每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。例8、质量为m,长为I的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的 轴以角速度3转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为&=1 3 2/2 , L=I 3 ,其中,A的固定2I=ml /

9、3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过m1光滑细轴摆下，当摆角从 0达0时，试求：1细杆转动的角速度3和角加速度 2固定光 滑细轴为杆提供的支持力。例9、质量为半径为R的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度 3旋转时的角动量大小为L=I 3,其中，I=MR2/2，如图，细绳质量可忽略，绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，m>m，试求物体运动的加速度。例10、在光滑的水平面上，两个质量分别为mi和m2的小球，用长为I的轻线连接，开始时，线正好拉直，m和m的速度分别为vi和V2vi> V2，它们的方向一样，并垂直于连线，试求：系统相对质心的角动量为多大？ 2线中的

10、X力为多大？例11、如下列图，在光滑水平面上，质量均为M的两小球用长为I的轻杆相连，另一质量为 m的小球以vo的速率向着与杆成 B角的方向运动，假如1碰后m以vo/2的速率沿原路线反弹， 试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度3。2假如M=m且B =45°，小球m以某一速率vo与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速度 的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度与轻杆绕其质心转动的角速度。h=100km 处A点时，它向B 点，且 OAL'AARBB例12、一质量m=1 .40 x 104kg的登陆飞船，在离月球外表高度 绕月球做圆周运动， 飞船采用如下登月方式： 当飞船位

11、于图中 外侧即沿OA方向短时间喷气，使飞船与月球相切地到达2例13、如图，一长为L,质量为m的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上， 某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的X力是多大？棒绕其一端 的转动惯量I=ml 2/3。例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点，卫星与地球中心的距离为地球半径的3倍,卫星的速度为在远地点时速度的4倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少倍。例15、两个质量均为 m的小球，用长为I的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌 面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度 vo,如下列图，求此系统的运动 规律和绳中的X力大小。例16、小滑块A位于光滑的

12、水平桌面上，小滑块 B位于桌面上的光滑小槽v中，两滑块的质量都是m并用长为I、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，/yV如下列图，开始时， A、B间的距离为I/2 , A、B间的连线与小槽垂直，今 二'A 给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度 vo，求滑块B开始运动时的速度。例17、如下列图，质量均为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上弹簧原长为a,劲度系数为k。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等 值反向的初速度，假如在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a，求两球的初速度Vo 。例18、在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥

13、面内壁是光滑的。1为使小球在h处的水平面上做匀速圆周运动，如此初速V。为多少？ 2假如初速vi=2vo，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。例19、 1质量为m的人造地球卫星作半径为 ro的圆轨道飞行，地球质量为M试求卫星的总机械能；2假如卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f常量，如此将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为r的圆轨道运动,但r将逐周缩短，试求在 r轨道上旋转一周，r的改变量"r与卫星动能Ek的改变量"丘。例20、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心，取无限远处的电势为零时,球外表处的电势为

14、 U=1000V。在离球心 O很远的O'点附近有一质子b,它以EK=2000eV的动能沿与O' O平行的方I向射向a,以L表示b与O' O线间的垂直距离。 要使质子| b能够与带电球体 a的外表相碰，试求 L的最大值。把质子换成电子，再求 L的最大值。例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的3/2倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离。例22,如下列图，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为 m的物体，桌上的物体如此以 vo=3 2gr° 2的速率做

15、半径为ro即桌上局部 的绳长的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运动中桌上局部绳索的最大长度和最小长度。例23, 一块半径为 R的水平轻质圆盘，可绕过其圆心 0的竖直轴自由旋 转，在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为m的小球，如下列图。开始时，圆盘静止，一辆质量也为 m的玩具汽车从 0出发，以恒定的相对 于盘的速率v°沿半径驶往盘边，并沿盘边行驶，试求：1当玩具汽车沿半径行驶时，圆盘的转动角速度31； 2当玩具汽车沿盘边行驶时，圆盘的转动角速度32。例24，假如上题中的竖直轴不经过圆心，而经过某一小球的位置处，玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率v°沿盘边行驶，试求

16、：1当玩具汽车行驶到第二小球位置处即行驶了半圈时，圆盘的转动角速度31；2当玩具汽车行驶到第三小球位置处即行驶了3/4圈时，圆盘的转动角速度3 2；3当玩具汽车回倒转轴处时，圆盘的转动角速度33。例25,在一根长为3L的轻杆上打一个小孔， 孔离一端的距离为 L,再在杆的两端 与距另一端为L处各系一质量为 M的小球，然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水 平细轴0上，如下列图。开始时，轻杆静止，一质量为m的小铅粒以v°的水平速0B筒的时间，求t度射入中间的小球，并留在里面。假如铅粒相对小球静止时杆的角位移可以忽略， 试求杆在以后摆动中的最大摆角。例26, 质量为 M,半径为a的圆筒A被另一质

17、量为 M、半径为b的圆筒B 同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A的内外表上散布了薄薄的一层质量为M）的砂子，并在壁上开有许多小孔。在t=°时，圆筒以角速度3 °绕轴匀速转动，而圆筒 B如此静止。打开小孔，砂子向外飞出并附着在B筒的内壁上，如下列图。设单位时间内喷出砂子的质量为k，并忽略砂子从 A筒飞到时刻两筒旋转的角速度。B例27,光滑水平面上有一小球 A被一轻绳拴住，轻绳穿过平面上小孔 0与 小球B连接。开始时 A球在水平面上绕 0做匀速圆周运动，B球静止地向 下垂挂着，如下列图。今使小球 B的质量缓慢增加，直到 A球绕0点做匀 速圆周运动的半径缩短一半，试问此时 B球质量为初始质量的多少倍？例28,实心圆柱体从高度为 h的斜坡上由静止做纯滚动到 达水平地面上，且继续做纯滚动，与光滑竖直墙发生完全弹性 碰撞后返回，经足够