第五节古典概型

1、第五节古典概型【最新考纲】1理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.夯实双一基J©I基础梳理1. 基本事件的特点(1) 任何两个基本事件是互斥的.(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1) 试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个.(2) 每个基本事件出现的可能性 相等.3 .如果一次试验中可能出现的结果有 n个，而且所有结果出现1的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是*如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A) = m.4.古

2、典概型的概率公式A包含的基本事件的个数P(A)=基本事件的总数©I学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的打 “X” )(1) “在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典 概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2) 掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3) 从一3, 2, 1, 0, 1, 2中任取一数，取到的数小于 0与不小于0的可能性相同.()(4) 利用古典概型的概率可求“在边长为 2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概率.()答案：(1)x (2)

3、X (3)V (4)X2. 掷两颗均匀的骰子，贝卩点数之和为 5的概率等于()A 1 1A18b9C6D12解析：掷两颗均匀的骰子，共有6X 6= 36种可能情况.其中点 数之和为5的有(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)共4种.故所求事件41的概率P=369答案：B3. (2015全国课标I卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1, 2, 3, 4, 5只任 取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()1 1C.i0 D.2o解析：从1, 2, 3, 4, 5中任取3个不同的数共有C3= 10种不 同的结果，其中勾股数

4、只有(3, 4, 5)种情况.1故所求事件的概率P= 10答案：C4. (2016豫东名校联考)在集合A = 2, 3中随机取一个元素 m,在集合B= 1, 2, 3中随机取一个元素n,得到点P(m, n),则点P 在圆x2 + y2= 9内部的概率为()A1A.尹3c4d5解析：点 P(m, n)共有(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), 6种情况，只有(2, 1), (2, 2)这2个点在圆x2+ y2 = 9的内2 1部，所求概率为2 =亍答案：B5. (2014课标全国H卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、 白、蓝3种颜色的运动

5、服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的 概率为.解析：甲、乙两名运动员选择运动服颜色(红，红),(红，白),(红，监），（白，白）,（白，红），（白，监），（监，监）,（监，白），（监，红）, 共9种.而同色的有（红，红）,（白，白），（蓝，蓝），共3种.3 1所以所求概率P= 9= 3.1答案：3名师微博通法领悟 一点提醒在计算古典概型中基本事件与要发生事件的事件数时，切莫忽 视它们是否是等可能的.两个技巧处理较为复杂的概率问题的两种技能.一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求 解；二是采用间接法，先求事件 A的对立事件A的概率，再由P（A） =1 P（A）求事件A的概率

6、.三种方法基本事件个数的确定方法1. 列举法：适用于较简单的试验.2. 树状图法：适用于较为复杂的问题中的基本事件的探求.另外在确定基本事件时，（x, y）若看成是有序的，则（1, 2）与（2, 1）不同； x, y若看成无序的，则1, 2与2, 1相同.3. 计数原理法：如果基本事件的个数较多，可借助计数原理及排列组合知识进行计算./直高效捉能一、选择题1.集合A = 2, 3, B = 1 , 2, 3，从A, B中各任意取一个 数，则这两数之和等于4的概率是（）4一 2B2 一 3解析：从A, B中任意取一个数，共有C2C3 = 6种情形，两数2 1和等于4的情形只有（2, 2）, （3

7、, 1）两种，二P = 6= 3答案：C2.（2016北京西城区模拟）一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏， 让孩子把分别写有“ 1”“ 3”“的四张卡片随机排成一行，若卡片按 从左到右的顺序排成“ 1314”则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受 到奖励的概率为（）cJ5C.12 D6解析：先从4个位置中选一个排4,再从剩下的位置中选一个排3,最后剩下的2个位置排1.二共有4X 3X 1 = 12种不同排法又卡片排成1314”只有1种情况1故所求事件的概率P= 12答案：A3. (2014陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这 5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A-1

8、B.2時4解析：根据题意知，取两个点的所有情况为C5种，2个点的距离 小于该正方形边长的情况有4种.因此“这两个点的距离不小于边长”的概率p= 1-(42=答案：C4. 连掷两次骰子分别得到点数 m, n,则向量(m, n)与向量(-1, 1)的夹角0 >90的概率是()A.12b.121 1c3d2解析：v (m, n) ( 1, 1)=- m + n<0,. m>n.基本事件总共有 6X6= 36(个)，符合要求的有(2, 1), (3, 1),(3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1),，(5, 4), (6, 1),， (6, 5),

9、共 1 + 2+3 + 4+ 5= 15(个).p= 15536 12.答案：A5. 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（）A-iB.|C-i吒解析：三位同学每人选择三项中的两项有 C2C3C23 = 3X3X3 = 27种选法，其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C3C3C1 =3X 3X 2= 18种选法.二所求概率为p=18=2-答案：A二、填空题6. （2014广东卷）从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6的概率为.解析：从0, 1, 2, 3, 4,

10、 5, 6, 7, 8, 9中任取七个不同的数， 基本事件共有C7o= 120（个），记事件“七个数的中位数为6”为事件 A.若事件A发生，则6, 7, 8, 9必取，再从0, 1, 2, 3, 4, 5 中任取3个数，有C6种选法.故所求概率p（a）=1C0=1-1答案：167. （2016南昌质检）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 .解析：从10件产品中任取4件共C：。种取法，取出的4件产品 中恰有一件次品，有cjc；种取法，则所求概率P=C孕=2C1021答案：;8. 从n个正整数1, 2, 3,，n中任意取出两个不同的数，1若取出的两数之和等于

11、5的概率为14，则n =.解析：因为5= 1+ 4= 2 + 32 1所以c?= 14，解得n= 8（n= 7舍）答案：89. （2014新课标全国I改编）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为.解析：由题意知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学 都选周日也有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率24 1 1 14724 168.答案：7三、解答题10. 先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a, b事 件A:点(a，b)落在圆x2+ y2= 12内；事件B

12、: f(a)v0,其中函数f(x)2 c 3=x2 2x+ 4(1) 求事件A发生的概率.(2) 求事件A、B同时发生的概率.解：(1)先后掷一枚质地均匀的骰子，有 6X6= 36种等可能的结 果.满足落在圆 x2 + y2= 12 内的点(a, b)有：(1, 1)、(1, 2)、(1, 3)、 (2, 1)、(2, 2)、(3, 1)共 6 个.二事件a发生的概率p(a)=36=6313(2)由 f(a)= a2 2a+ 4<0,得 2<a<2.又a 1, 2, 3, 4, 5, 6,知a= 1所以事件A、B同时发生时， 有(1, 1), (1, 2), (1, 3)共 3种情形.故事件A、B同时发生的概率为P(AB) = 36= 11211. 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙 校1男2女.(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；(2) 若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同 一学校的概率.解：(1)从甲、乙两校报名的