中考数学压轴题精选及答案

1、21、(2010黄冈)已知抛物线 y ax2 bx c(a 0)顶点为C (1, 1)且过原点 。.过抛物线5M ,连FM (如图).上一点P (x, y)向直线y 一作垂线，垂足为4(1)求字母a, b, c的值;(2). _3在直线x= 1上有一点F (1-),求以pm为底边的等腰三角形 PFM的P点的坐标，并证明此(3)时 PFM为正三角形;对抛物线上任意一点若不存在请说明理由P,是否总存在一点N (1, t),使PM=PN恒成立，若存在请求出 t值,解：(1) a= - 1, b=2,c= 0(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为11 ,横坐标为1 V3 .此时,MP= MF

2、= PF=1 ,故 MPF为正三角形.(3)不存在.因为当tv 5 , x< 1时,4与PN不可能相等.PM与PN 5不可能相等，同理，当 t> 5 ,4x>1 时，PM22、(2010济南)如图所示，抛物线达式为y点x 373,抛物线的对称轴l与直线2x3与x轴交于A、B两点，直线BD交于点C、与x轴交于点E.BD的函数表(与点A、点B不重合)，以点A为圆心、以AP为半径的 为圆心、以BP为半径的圆弧与线段 BC交于点N,AMNB的面积有最大值还是有最小值并求出该以点B D四边形EPA O求A、B、C三个点的坐标.点P为线段AB上的一个动点 y八圆弧与线段AC交于点M, 分

3、别连接AN、BM、MN.求证：AN=BM .在点P运动的过程中, 最大值或最小值.解：令 x2 2x 3 0 ,解得：Xi1,X2 3, A(-1, 0), B(3, 0)yx2 2x 3= (x 1)2 4抛物线的对称轴为直线x=1 ,将 x=1 代入 y点x 3<3，得 y=2 73 , ，C (1 , 2<3 ).在 RtACE 中，tan/CAE=CE 事AE ./ CAE=60o,由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线, .AC=BC ,. .ABC为等边三角形, .AB= BC =AC = 4, /ABC=/ACB= 60o,X / AM=AP , BN=BP ,

4、 . . BN = CM , .AN=BM.ABNA BCM ,四边形AMNB的面积有最小值.设AP=m ,四边形 AMNB的面积为S,由可知 AB= BC= 4, BN = CM=BP , Saabc= 3 X 42= 47341.CM=BN= BP= 4 m, CN=m ,过 M 作 MFBC,垂足为 F,则 MF=MC?sin60o=W3(42m)，1 -13. 3 2 Sacmn= CNgMF = m ?(4 m) = 一 m22243 2、*- S=SAABC SacMN = 4 73 (-m2 d3m)432-=(m 2)3 43，m=2时，S取得取小值43.3.23、（2010济

5、宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B, C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0,3）(1)求此抛物线的解析式;(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点 D,如果以点C为圆心的圆与直线 BD相切,请判断抛物线的对称轴l与O C有怎样的位置关系，并给出证明;(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A, C两点之间，问：当点 P运动到什么位置PAC的最大面积.(1)解：设抛物线为 y a(x4)2;抛物线经过点(0,3), 321a(0 4)2 1.-. a 4时， PAC的面积最大并求出此时 P点的坐标和2x 3.14(x 4)(2)答：l与。C

6、相交.、一 ，10证明：当1(x 4)241 0时,X12,x26.B 为(2, 0), C为(6, 0) .AB3222设。C与BD相切于点E ,连接CE ,则 BEC90AOB.ABD 90 ，二CBE 90 ABO.又 BAO 90ABO, . BAOCBE.， AOB s BEC.CE BCOB ABCE26；.CE 2 2.1313. 抛物线的对称轴x 4 , C点到l的距离为2.，抛物线的对称轴l与。C相交.(3)解：如图，过点 P作平行于y轴的直线交AC于点Q.一，一一 一一. 1可求出AC的解析式为y 1x 3.2121设P点的坐标为(m , m 2m 3),则Q点的坐标为(m

7、 ,- m 3).4211 21 2 3PQ m 3 (m2m 3)-m m.2442ccc1,123、c3,c、227, S PACS PAQSPCQ二(二 mm m)6:(m3)7,2424427. 当m 3时，PAC的面积取大为 .4此时，P点的坐标为(3,3).424、(2010晋江)已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中， OC 3, BC 2,取AB 的中点M ,连结MC ,把 MBC沿x轴的负方向平移 OC的长度后得到 DAO .(1)试直接写出点D的坐标；(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ x轴于点Q ,连结OP.若以

8、O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T ,使得TO TB的值最大.,一 3解：(1)依题意得：D ,2 ;2(2). OC 3, BC 2, B 3,2 .抛物线经过原点，设抛物线的解 析式为y ax2 bx a 0又抛物线经过点B 3, 2与点3D ,229a3b2,2b解得:9.抛物线的解析式为234x292 x .丁点P在抛物线上，3设点4x, x91）若PQOsPQDAQOAOxi0 （舍去）或x2511651 153,16 642）若OQP sr OQDAO ,则DAPQAOx10 （舍去）或x2，点存在点T ,使得TO TB的值

9、最大.抛物线y 4x292 一 ，工，一一 x的对称轴为直线x33-,设抛物线与x轴的另一个交点为E ,则点 4一 3O、点E关于直线x 一对称,4TO TE ,要使得|TO TB|的值最大，即是使彳导TE TB的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，TE TB|的值最大.设过 B、 E两点的直线解析式为 y kx b k 0 ,3k b3kb 22,解得:043,2，直线BE的解析式为4-x 32.3当x 一时，y41.使得TOTB最大.25、（2010）如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边且在CD的下方作等边

10、 CDE ,连结BE.（1）填空： ACB（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点 A）时，试求出AD钻/古的值;BE若AB 8 ,以点C为圆心，以5为半径作。C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长.解：60;(2) ABC与 DEC都是等边三角形DCE 60AC BC , CD CE , ACB ACD DCB DCB BCEACD BCE, . ACD BCE SASAD /(不与点A重合)时，由(2)可知 ACD色 BCE ,则 AD BE ,1. BE当点D在线段AM上CBE CAD 30 ,作 CH BE 于点 H ,则 PQ 2HQ

11、,连结 CQ ,则 CQ 5 .1,BC sin30 84.2在 Rt CBH 中， CBH 30, BC AB 8,则 CH在Rt CHQ中，由勾股定理得:HQ当点D在线段AM的延长线上时, DEC都是等边三角形、CQ2 CH2 ABC 与AC BC , CDACBACDDCBBCECE, ACBDCB DCEDCEACDBCESASCBECAD30 ,同理可得:PQ当点D在线段MA的延长线上时, ABC与DEC都是等边三角形AC BC , CDACDACDACEBCECE , BCEACBACEDCE60ACDBCESASCBECADCAM30CBECAD150CBQ30同理可得:PQ 6

12、,综上,PQ的长是6.606.60则 PQ 2HQ 6<52 42 3,y ax2 bx c交x轴于 26、(2010莱芜)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线A(2,0), B(6,0)两点，交 y 轴于点 C(0,2V3).(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴与直线y 2x交于点D,作。D与x轴相切，O D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；(3) P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点 G,试确定P点的位置,使得 PGA的面积被直线 AC分为1 ： 2两部分.解：（1） ;抛物线ya解得, bcax2 bx c经过点 A(2,0) , B(6,

13、0) , C(0,2、/3).4a 2b c 036a 6b c 0，c 2 3.抛物线的解析式为：y x2 4 t 3x 2 - 3.63(2)易知抛物线的对称轴是 x 4.把x=4代入y=2x得y=8, 点D的坐标为(4,8).D与x轴相切，D的半径为8.连ZDE、DF,作DMy轴，垂足为点 M.，一 ， 一 _ 1在 RtAMFD 中，FD=8, MD =4 . . . cos/MDF = .2 ./ MDF =60 ° , .EDF=120° .- -12016劣弧EF的长为：8 .1803(3)设直线AC的解析式为y=kx+b. 直线AC经过点A(2,0),C(0

14、,2 J3).2kb 0 - k .3，解得.，直线AC的解析式为：yJ3x 2V3.b 23b 2 3设点 P(m, 空m23m 2v13)(m 0), PG 交直线 AC于 N,63则点 N 坐标为（m,乖m 273）. S PNA ：S GNA PN ： GN .3 若 PN : GN=1 ： 2,贝U PG : GN=3 : 2, PG=-GN2即也 m2 4 J3m 2J3=3（ y3m 273）.632解得：mi= 3, m2=2 （舍去）.当 m= 3 时，二 m2 m13m 2褥=桓.632，此时点P的坐标为（ 3,1； 3）.若 PN : GN=2 ： 1,贝U PG ： G

15、N=3 ： 1, PG=3GN.即受 m2 4，3m 2J3 = 3 V3m 2j3）. 63解得：mi12,m22 （舍去）.当 m112 时，m24 J3m273=4273.63此时点P的坐标为（12,4273）.综上所述，当点P坐标为（3,1543）或（12,42 J3）时, PGA的面积被直线 AC分成1 ： 2两部分.27、（2010丽水）小刚上午 7: 30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时103分钟，到达学校的时间是按上学的步行速度，走完7: 55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上（2）100米用了小刚上学步行的平均速度是多少米别是多少米下午4

16、: 00,小刚从学校出发，以150 步./分小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少s（米）与时间t（分）之间B的坐标，并求出线段年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问:小刚到家的时间是下午几时小刚回家过程中，离家的路程 的函数关系如图，请写出点 CD所在直线的函数解析式.解：小刚每分钟走1200+10=120（步）,2 每步走100+150=2 （米）,所以小刚上学的步行速度是120 X 2 =80（米/分）.3小刚家和少年宫之间的路程是80 X10=80r0（米）.少年宫和学校之间的路程是80

17、X(25- 10)=1200(米).（2）1200 300 30 800 300 60（分钟），45110所以小刚到家的时间是下午5: 00.900 20分，此时小刚离家45线段CD表示小刚与同伴玩了 之间的函数关系，由路程与时 小刚从学校出发，以 45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了 900米，用时 1 100米，所以点B的坐标是（20, 1100）.30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s（米）与行走时间t（分）洞的关系得 s 1100 110（t 50）,即线段CD所在直线的函数解析式是 s 6 600 110t.（线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：点

18、C的坐标是（50, 1100）,点D的坐标是（60, 0）设线段CD所在直线的函数解析式是 s kt b,将点C, D的坐标代入，得50kb1100,屈“曰k 110,解得60kb0.b6600.所以线段CD所在直线的函数解析式是 s 110t 6 600） 28、（2010丽水） ABC中，/ A=/B=30°, AB= 2曲.把 ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点 O（如图）， ABC可以绕点O作任意角度的旋转.(2)当点B在第一象限,纵坐标是 鱼 时，求点B的横坐标;如果抛物线y ax2 当a , b4bx2c （aw）的对称轴经过点 C,请你探究:3,5.c

19、丈5时，A, B两点是否都5在这条抛物线上并说明理由； 设b=-2am,是否存在这样的 m的值，使A, B两点不 可能同时在这条抛物线上若存在，直接写出m的值；（第28题）若不存在，请说明理由.解：(1) 点。是 AB 的中点， OB 1AB 73.2 c忘 CLC设点B的横坐标是x(x>0),则x2 碎)2 曲2 ,解得Xi -26 , x2£6(舍去).点 B的横坐标是 <6 .3-55(* )(2) 当 a "，b 1 , c35-时，得y - x2 - x42542.5,52 13 5V (x )4520以下分两种情况讨论.情况1:设点C在第一象限（如图

20、甲），则点C的横坐标为OC OB tan30 3 -33y 4,C1-1（甲）-1 O由此，可求得点C的坐标为愁，巫）,5点A的坐标为（网5,皿）, 55''' A, B两点关于原点对称，V*点B的坐标为正)51，OB将点A的横坐标代入（*）式右边，计算得晅5即等于点A的纵(乙)坐标;将点B的横坐标代入.在这种情况下,（*）式右边，计算得巫5A, B两点都在抛物线上.B的纵坐标.情况2:设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为匹5点A的坐标为（2丝，亟），点b的坐标为（2历，巫）.经计算，A, B两点都不在这条抛物线上.（情况2另解：经判断，如果 A, B两点都在这条

21、抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知 的抛物线开口向上.所以 A, B两点不可能都在这条抛物线上 ）存在.m的值是1或-1.（V a（x m）2 am2 c,因为这条抛物线的对称轴经过点C,所以-1WmW1.当m= 小时，点C在x轴上，此时A, B两点都在y轴上.因此当m=±1时，A, B两点不可能同时在这条抛物线上）29、（2010龙岩）如图，抛物线交点B (4, 0),交y轴于点C (0,4).（1）求抛物线的解析式，并写出顶点（2）若直线y= x交抛物线于M,D的坐标；N两点，交抛物线的对称轴于点 E,连接 BC, EB, EC.试判断 EBC的形状，并加以证明；（3）设P为

22、直线MN上的动点，过P作PF / ED交直线MN下方的抛粉x轴于点A （T T T2, 0),戋于点 F.问：在直线MN上是否存在点P,使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：（法二）设所求的抛物线解析式y ax2 bx丁点A、4a16aB、2b4b4C均在此抛物线上所求的抛物线解析式为顶点D的坐标为（1 ,设所求的抛物线解析式y点C在此抛物线上，c (a9)2a(x 2)(x 4)a(0 2)(0 4)0)所求的抛物线解析式为1y (x 2)(x24)（2） EBC证明：（法一）一一 1 2即y -x x 4 ,顶点

23、D的坐标为（2的形状为等腰三角形1,9）（法二）直线MN的函数解析式为y xON是/ BOC的平分线B、C两点的坐标分别为（4, 0）, （0,CO=BO=4, MN是BC的垂直平分线CE=BE,即4ECB是等腰三角形。4)直线MN的函数解析式为yON是/ BOC的平分线，/ COE =/ BOEB、C两点的坐标分别为(4, 0)、(0, 4)CO=BO=4,又CE=BE,ACOEA BOECE=BE ECB是等腰三角形点E是抛物线的对称轴E点的坐标为（1, 利用勾股定理可求得x 1和直线y x的交点1)CE= 32 12=.10 BE= 32 12 = 10CE=BE ,即 ECB是等腰三角

24、形(3)解：存在 PF / ED要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使 PF=ED点E是抛物线的对称轴 x 1和直线y x的交点E点的坐标为（1, 1） ED 1（ 9）7 22设P点的坐标为（k, 则直线PF的函数解析式为 点F是抛物线和直线点P是直线yx上的动点21- F的坐标为（k,5kPF= k1k2k1 2(k k72此时1时,占八、k) x=kPF的交点4)4)1 2-k 42P的坐标为（1,1),PF与ED重合，不存在以P、F、9F的坐标为（1 ,）2D、E为顶点的平行四边形1时，点P的坐标为（51, 1), F的坐标为(1 ,)2此时，四边形PFDE是平行四边形

25、30、（2010龙岩）如图，将直角边长为直 的等腰直角三角形 ABC绕其直角顶点 C顺时针旋转a角（0°V a< 90°）,得 A1B1C, A1C交AB于点D, A1B1分别交于BC、AB于点E、F,连 接 AB1.（1）求证： ADCs4Adf；（2）若“30。，求/ AB1A1的度数;（3）如图，当a=45时，将 A1B1C沿C-A方向平移得 A2B2C2, A2c2交AB于点G, B2c2交BC于点H,设CC2=X （0<X< 72）, ABC与 A2B2c2的重叠部分面积为 S,试求S与X/CAD = /FAiD ,/1 = /2,AADCA A

26、iDF(2)解：(法一)CA=CA 1=CB=CB 1=6点A、Ai、B、Bi均在以C为圆心 半径为 点的圆上,1/ AB 1A1=2130152（法二）如图， AC=BC, ZACBi=120°/4=/3, 180,/ 4=30 , /A1CB1=90°ACB1 =302 /AB1A1=/CB1A1/4=45°30° =15°(法三)如图，AC=BC,/4=/3,Z CAB = Z CB1A1 /CAB Z 3=Z CB1A1l / 5=/B1AB+/AB1A1,/4,即 /B1AB=/AB1A1/5=2/AB1A1AADCA A1DFZ 5

27、=, Z AB1A1=15（3）解： A1B1C在平移的过程中，易证得 FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2G、HB2E、 A2FG >AC2B2F是平行四边形 C2HC、 AB= AC2 BC2 =2_1当 a=45 时，CE=CD=-AB=12情形：当0<X< 1时（如图所示）， A2B2c2与4ABC的重叠部分为五边形 C2HEFG（法一） S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2FSRtA AC 2G SRtA HB2E C2C=X1 CH=X, AC2= 22 X , B2E=HE = 1AG=C2G=£AC2=£( 2x) 1 S平行四边形AC2B2F=AC2 -CE=(& X ) - 1= V2 XSrWAC2G=2SRtAHB2E=-2一 c 1 AG