2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习--解题思维2高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略

1、2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习解题思维2高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.2022甘肃九校联考,12分在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=10,B=60°.(1)求ABC的面积的最大值;(2)若csinB+C2=22asin C,求ABC的周长.2.2022T8联考,10分已知函数f(x)=3sin x2cos x2-cos2x2+12.(1)设g(x)=f(-x),求函数g(x)的单调递减区间;(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为BC边的中点,若f(A)=12,a=3,求线段AD的长的取值范围.3.2022武汉市

2、部分学校质检,12分在平面凸四边形ABCD中,BAD=30°,ABC=135°,AD=6,BD=5,BC=32.(1)求cosDBA;(2)求CD的长.4.12分如图2-1,在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,BECD.(1)求证:b2+c2=5a2.(2)求cosBAC的取值范围.图 2-1答 案解题思维2高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.(1)因为B=60°,所以cos B=12,sin B=32.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得100=a2+c2-ac2ac-ac,

3、即ac100,当且仅当a=c时取等号,(3分)所以ABC的面积S=12acsin B12×100×32=253,所以ABC的面积的最大值为253.(5分)(2)由正弦定理得sin C·sin180°-A2=22sin A·sin C,因为sin C0,所以2sin180°-A2=sin A,即2cosA2=2sin A2·cos A2.(7分)因为0°<A<180°,所以cos A20,所以sin A2=22,所以A=90°,(9分)所以c=103,a=2c=203,(11分)所以A

4、BC的周长为a+b+c=2033+10+1033=10+103.(12分)2.(1)易得f(x)=32sin x-12(2cos2x2-1)=32sin x-12cos x=sin(x-6),(2分)则g(x)=f(-x)=sin(-x-6)=-sin(x+6),所以当g(x)单调递减时,函数y=sin(x+6)单调递增.(3分)令-2+2kx+62+2k,kZ,得-23+2kx3+2k,kZ,所以函数g(x)的单调递减区间是-23+2k,3+2k,kZ.(5分)(2)因为f(A)=sin(A-6)=12,A(0,),所以A=3. (6分)在ABC中,由a=3和余弦定理得,3=b2+c2-bc

5、,即b2+c2=bc+3.(7分)因为D为BC的中点,所以|AD|2=14(AB+AC)2=14(b2+c2+bc)=14(2bc+3).(8分)因为b2+c22bc,所以bc+32bc,即0<bc3,当且仅当b=c时等号成立,所以34<|AD|294,即32<|AD|32.所以线段AD的长的取值范围是(32,32.(10分)3.(1)在ABD中,由正弦定理BDsinBAD=ADsinDBA,得sinDBA=AD·sinBADBD=6sin30°5=35,cosDBA=±1-(35)2=±45.DBA<ABC,cosDBA>

6、cos 135°=-22,(y=cos x在(0,)上单调递减)cosDBA=45.(6分)(2)cosDBC=cos(ABC-DBA)=-22×45+22×35=-210.在BCD中,CD=BC2+BD2-2BC·BD·cosDBC=18+25+2×32×5×210=7.(12分)4.(1)连接AF,由题意知AF,BE,CD的交点G为ABC的重心.由CDBE,可得FG=12BC=12a,AG=2FG=a,则AF=32a.(三角形重心的性质的应用) (2分)在ABF中,由余弦定理得c2=(32a)2+(12a)2-

7、2×32a×12a×cosAFB,在ACF中,由余弦定理得b2=(32a)2+(12a)2-2×32a×12a×cosAFC.因为AFC+AFB=,所以cosAFC=-cosAFB,(5分)+,得b2+c2=5a2.(6分)(2)因为ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2,所以3b2>2c2,3c2>2b2,则23<b2c2<32,即63<bc<62.(8分)所以cosBAC=b2+c2-a22bc=b2+c2-15(b2+c2)2bc=25(bc+cb).(10分)设bc=t,则63<t<62,cosBAC=25(t+1t).令f(t)=t+1t,易得f(t)在(63,1)上单调递减,在