数形结合的思想方法---应用篇

1、数形结合得思想方法 （1）-应用篇一、知识要点概述数与形就是数学中两个最古老、最基本得元素,就是数学大厦深处得两块基石 ,所有得数学问题都就是围绕数与形得提炼、演变、发展而展开得: 每一个几何图形中都蕴藏着一定得数量关系,而数量关系又常常可以通过图形得直观性作出形象得描述。因此,在解决数学问题时 ,常常根据数学问题得条件与结论之间得内在联系 ,将数得问题利用形来观察 ,提示其几何意义 ;而形得问题也常借助数去思考 ,分析其代数含义 ,如此 将数量关系与空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合” ,寻找解题思路 ,使问题得到解决得方法 ,简言之 ,就就是把数学问题中得数量关系与空间形式相结合

2、起来加以考察得处理数学问题得方法,称之为数形结合得思想方法。数形结合就是一个数学思想方法 , 包含“以形助数”与“以数辅形 "两个方面 , 其应用大致可以分为两 种情形 : 或者就是借助形得生动与直观性来阐明数之间得联系 , 即以形作为手段 , 数为目得 , 比如应用函数 得图像来直观地说明函数得性质 ; 或者就是借助于数得精确性与规范严密性来阐明形得某些属性 , 即以数 作为手段 , 形作为目得 , 如应用曲线得方程来精确地阐明曲线得几何性质。数形结合得思想 , 其实质就是将抽象得数学语言与直观得图像结合起来 , 关键就是代数问题与图形之间 得相互转化 , 它可以使代数问题几何化

3、,几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析与解决问题时 , 要注意 三点 : 第一要彻底明白一些概念与运算得几何意义以及曲线得代数特征 , 对数学题目中得条件与结论既分 析其几何意义又分析其代数意义 ;第二就是恰当设参、合理用参 ,建立关系 ,由数思形 ,以形想数 , 做好数形 转化; 第三就是正确确定参数得取值范围、二、解题方法指导1. 转换数与形得三条途径 : 通过坐标系得建立 , 引入数量化静为动 , 以动求解。 转化 , 通过分析数与式得结构特点 ,把问题转化到另一个角度来考虑 , 如将转化为勾股定理或平面上 两点间得距离等、 构造 ,比如构造一个几何图形 , 构造一个函数 ,构造一个

4、图表等、2、运用数形结合思想解题得三种类型及思维方法: “由形化数 " :就就是借助所给得图形 ,仔细观察研究 ,提示出图形中蕴含得数量关系 ,反映几何图形内 在得属性。 “由数化形” :就就是根据题设条件正确绘制相应得图形,使图形能充分反映出它们相应得数量关系,提示出数与式得本质特征。 “数形转换” :就就是根据“数”与“形”既对立 ,又统一得特征 ,观察图形得形状 ,分析数与式得结构 ,引起联想 ,适时将它们相互转换 ,化抽象为直观并提示隐含得数量关系。三、数形结合得思想方法得应用（ 一） 解析几何中得数形结合解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络得交汇处命题 ,备受出题者得

5、青睐 ,求解中常常通过数形结合得思想从动态得角度把抽象得数学语言与直观得几何图形结合起来,达到研究、解决问题得目得.1. 与斜率有关得问题 ?【例 1】已知:有向线段得起点 P与终点 Q 坐标分别为 （1,1）,（,2）、 若直线 l x y+m 0与有向线段 P延长相交 ,求实数 m得取值范围。 ? ? 解:直线 l 得方程 x my+m= 可化为点斜式 :y 1= （x 0）,易知直线 l 过定点 （0, ）,且斜率为。 l 与 PQ 得延长线相交 ,由数形结合可得 :当过 M 且与 PQ 平行时 ,直线得斜率趋近于最小 ; 当过 点 M、Q时,直线 l 得斜率趋近于最大。 ?【点评】含有

6、一个变量得直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点得直线系方程、本题就是 化为点斜式方程后 ,可瞧出交点 M（0, ）与斜率 .此类题目一般结合图形可判断出斜率得取值范围。 ? 2. 与距离有关得问题【例】 求:y （co c +3）2+（sin s n ）2得最大 （小）值、?【分析】 可瞧成求两动点 P（ s,s n）与 Q（c s ,in +2之） 间距离得最值问题、 ? 解:两动点得轨迹方程为 :x2 2=1 与 （x+3） 2+（ 2）2=1,转化为求两曲线上两点之间距离得最值问题、如图:3、与截距有关得问题 ?【例】若直线 x+与曲线 x= 恰有一个公共点 ,求得取值范围。 解:曲

7、线 x就是单位圆 x2+y2=1 得右半圆 （x 0）,k就是直线 y=xk 在 y 轴上得截距 .? 由数形结合知 :直线与曲线相切时 ,k-,由图形:可得k=,或-<1。? 4。 与定义有关得问 题【例 4】求抛物线 2=4上到焦点 F得距离与到点 A（3,2）得距离之与为最小得点 P得坐标 ,并求这个 最小值、【分析】要求 PA+PF得最小值 ,可利用抛物线得定义 ,把PF转化为点到准线得距离 ,化曲为直从而借 助数形结合解决相关问题、解:P 就是抛物线 y=上得任意一点 ,过P作抛物线得准线 l得垂线 ,垂足为 D,连P（F为抛物线 得焦点）,由抛物线得定义可知 :? 、? 过

8、A 作准线 l得垂线,交抛物线于 P,垂足为 ,显然,直线 Q之 长小于折线 AP之长,因而所求得点 P即为 AQ 与抛物线交点、 ? 直线平行于 x轴,且过 A（3, ）,所以方程为 y= ,代入 2=4得 =1.? P（,）与F、A 得距离之与最小 ,最小距离为 4。 【点评】 （1） 化曲线为直线就是求距离之与最有效得方法,在椭圆 ,双曲线中也有类似问题、 ? （2）若点A 在抛物线外 ,则点 P 即为 AF 与抛物线交点 （内分 A ）。（二）数形结合在函数中得应用1、 利用数形结合解决与方程得根有关得问题?方程得解得问题可以转化为曲线得交点问题,从而把代数与几何有机地结合起来 ,使问

9、题得解决得到简化 .【例 5】已知方程 x2 x+=m 有个根 ,则实数 m 得取值范围 。【分析】此题并不涉及方程根得具体值,只求根得个数 ,而求方程得根得个数问题可以转化为求两条曲线得交点得个数问题来解决、解:方程 x24x+3m根得个数问题就就是函数 =x24x+与函数 y=m 图象得交点得个数、 ? 作出抛 物线 y=x -4x+3 （x ） 1得图象,将轴下方得图象沿 x轴翻折上去 ,得到 yx2-4+3得图象,再作直线 y m,如图所示 :由图象可以瞧出 ,当 0<m时 ,两函数图象有交点 ,故 m 得取值范围就是 （0, ）、 数形结合可用于解决方程得解得问题 ,准确合理地

10、作出满足题意得图象就是解决这类问题得前提。2、利用数形结合解决函数得单调性问题? 函数得单调性就是函数得一条重要性质,也就是高考中得热点问题之一。在解决有关问题时 ,我们常需要先确定函数得单调性及单调区间,数形结合就是确定函数单调性常用得数学思想 ,函数得单调区间形象直观地反映在函数得图象中.?【例】确定函数 = 得单调区间。画出函数得草图,由图象可知 ,函数得单调递增区间为(,0,1, )函, 数得单调递减区间为 ,1.3. 利用数形结合解决比较数值大小得问题【例 7】已知定义在 R上得函数 y (x)满足下列三个条件 :对任意得 xR都有 (x+4)=f(x); 对任意得0x1<x

11、2 2都, 有 f(x1)<f(x); f(x+2)得图象关于 y轴对称.则 (4。5),f(6 、5),f(7)得大小关系就是。? 解:由:=4;由:f(x)在,2上就是增函数 ;由 :f( x2)=f( ),所以 f(x)得图象关于直线 x=对 称。由此 ,画出示意图便可比较大小、 ?显然,f(4.5) (7)f(.5)。4、利用数形结合解决抽象函数问题 ? 抽象函数问题就是近几年高考中经常出现得问题,就是高考中得难点、利用数形结合常能使我们找到解决此类问题得捷径。?【例 8】 设 (x),g( )分别就是定义在 R上得奇函数与偶函数 ,在区间 ,b(a<b )上, ()g(x

12、) f(x) g(x)> ,且 () · ( )有最小值 、则函数y=f(x) g·(x) 在区间 b, 上 ( )。? A 、 就是增函数且有最小值 5 ? B、 就是减函数且有最 小值 -5、 就是增函数且有最大值D、 就是减函数且有最大值 ? 【解析】 f (x)g(x)+ (x)g () (x) g·( ) >。0? y=f( ) ·g(x) 在区间 a,(<b< )上就是增函数 ,又 f(x),g(x) 分别就是定义在 R 上得奇函数与偶函数。 ? y=f(x) g·(x)就是奇函数、 因此它得图象关于原点对称

13、 ,作出示意图 ,易知函数 y=(x) g·(x)在区间 , a上就是增函数且有最大 值 ,因此选 C.(三) 运用数形结合思想解不等式1。 求参数得取值范围【例 9】若不等式 >ax 得解集就是 x|0 x4,则实数得取值范围就是 ( )。? 。 ,)。( ,? . (-,)D. (,解:令f(x)=,g(x)= ,则f(x)=得图象就是以 (2,0)为圆心,以 2为半径得圆得上半部分 ,包括点 (,0),不包括点 (,0);g(x)= x得图象就是通过原点、斜率为得直线,由已知 ax得解集就是 x0<x,即要求半圆在直线得上方 ,由图可知 a 0,所以选。【点评】 本

14、题很好得体现了数形结合思想在解题中得妙用 .例 10】 若 x(1,)时,不等式 (x 1)2logax恒成立 ,则a得取值范围就是 ( )、D 、 1,2A。 (0,1) 、 (,2)? C. (,2解 :设 y1 (x 1)2( x<2),y=l gax、 由图可知若 y<y(<x< ),则 a>。1(x-1) 过( ,1)点,当 2=logax 也过(2,1)点,即 a=2 时,恰有 y1<2(1x<2) 1<a 2时(x 1)2 oga在 (1,2)上成立 ,故选、点评】 例 1、例 2 两题得求解实际上综合运用了函数与方程以及数形结合得

15、思想方法。、 解不等式【例 11】已知 ()就是 R 上得偶函数 ,且在0,)上就是减函数 , (a) (a0),那么不等式 f(x)< 得解集就是 ( )。? A、 x 0<x aB。 x a<x< 0或 x>a? C。 x- a D. xx<a或<x<a?解:依题意得 f(x)就是上得偶函数 ,且在 0,)上就是减函数 ,f(a)=0(a>0),可得到 f(x)图象,又由已知 xf(x)<0, 可知 x与 (x)异号,从图象可知 ,当x(-a,0)(a,+ 时)满足题意 ,故选 B、?【例 12】 设函数 f(x) 2,求使 f(

16、x) 2得取值范围。 ?【解法 1】 由 f( )2得 22= .? 易求出 g()与 h(x)得图象得交点立时 ,x 得取值范围为 ,)。? 【解法 3】 由得几何意义可 设 F(,),(,),M(,y),则,可知 M 得轨迹就是以 F1、F2为焦点得双曲线得右支 ,其中右顶点 为(,0), 由双曲线得图象与 +1x-知 x。【点评】 本题得三种解法都就是从不同角度构造函数或不等式得几何意义,让不等式得解集直观地表现出来 ,体现出数形结合得思想 ,给我们以 “柳暗花明 ”得解题情境、(四) 运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年得高考试题 ,巧妙地运用数形结合得思想方法来解决一些问题,可以简

17、化计算 ,节省时间 ,提高考试效率 ,起到事半功倍得效果。 ?【例 13】函数 f(x)= inx+2 inx,x 0,得图象与直线 y=k 有且仅有 2 个不同得交点 ,则得取值范围就是、? 【分析】本题根据函数解析式 ,画出图象 ,可以直观而简明地得出答案 ,在有时间限制得高考中就能大大地节约时间,提高考试得效率。解:函数 f(x) 由图象可知 :1<k3。?【例 14】当 x<时,函数 f(x)= 得最小值为 ( )、 2 。 2 C. 、 4? 解:y=则 y为点 A(0,5)与点 (sin2x,3c x)两点连线得 斜率,又点 B得轨迹方程 (0<),即x2+(x0

18、),如图,当过点 A得直线 ly=kx+ 与椭圆 x2 1( < 0)相切时 ,k 有最小值 ,故选 C.? 【例 15】若 sin +cos =tan<(< ),则 ( )、? ? 解:令 f(x)=si +co x= in(x )(0 ), (x)=ta x,画出图象 ,从图象上瞧出交点 P得横从标 x>。再令 =则, sin+c s=1、366,an=1、 72>1、367,由图象知 xP应小于.故选 C。? 【点评】 本题首先构造函数 f(x),g(x),再利用两个函数 得图象得交点位置确定 >,淘汰了、 B两选项 ,然后又用特殊值估算 ,结合图象确

19、定选项 C,起到了出 奇制胜得效果。 ?【例 16】 已知函数 (x)就是定义在 ( ,3)上得奇函数 ,当0x3时 f(x)图象如下 图所示 ,那么不等式 f(x)cosx 得解集就是 ( )。解:函数 f()定义在 (-,3)上,且就是奇函数 ,根据奇函数图象性质可知 ,f(x) 在( ,0)上得图象如图所示,若使 (x)cosx<0,只需 f(x)与cosx异号,即图象须分别分布在 x轴上下侧 ,由图可知 ,有三部分区间符合条件要求 ,即 （ , ） （0,1） （,3）,故选 B 。【点评】已知函数得一部分图象 ,根据函数得性质可得到函数得另一部分图象,利用数形结合得思想 ,可以

20、先画出完整得函数图象 ,再研究有关问题。【例 17】 AB 中 ,A=,B 3,则 ABC 得周长为 （ ）.? 解 :本题就是我们常用三角恒等变形与正弦定理通过一定量得计算来完成得,但就是应用数形结合,可以很快解决问题。为此 ,延长 CA 到D,使DA,则 CD=AB AC,C=B,=,由正 弦定理即B+A sin（+）,故选、 ?（五）运用数形结合思想解复数题 ?【例 18】设|z|= ,| | 2, |z- ,求得值、【分析】 利用复数模、四则运算得几何意义, 将复数问题用几何图形帮助求解、【解】 如图, 设 z、z后 , 则=、=如图所示 由图可知 ,|=, A D BO,由余弦定理得

21、 os AO = =（ ± i）=2 ± i 【另解】设 z=、如图所示、则 | =, 且 cos AO =,s nAOD=± , 所以 （ ± ） 2± , 即=2± i 。【注】本题运用“数形结合法” , 把共轭复数得性质与复平面 上得向量表示、 代数运算得几何意义等都表达得淋漓尽致 , 体现 数形结合得生动活泼、 一般地 , 复数问题可以利用复数得几何意 义而将问题变成几何问题 , 也可利用复数得代数形式、三角形式、复数性质求解、本题设三角形式后转化为三角问题得求解过程就是 :设 z 5（c s ）,z= sin ）, 则z-|

22、 （5cos 2co ） （ n 2si ）=, 所以 cos（ ）=,sin（ + ） ± , = cos（ ）+i i（ ） （ ± ）=2 ±。本题还可以直接利用复数性质求解 ,其过程就是 :由 z- 得 : （z）（ z） z+z z- 25+ -zz =13, 所以 zz 16,再同除以得 =4,设=,解得 z± i 、几种解法 ,各有特点 ,由于各人得立足点与思维方式不同 ,所以选择得方法也有别。 一般地 ,复数问题可以 应用于求解得几种方法就是 :直接运用复数得性质求解 ;设复数得三角形式转化为三角问题求解;设复数得代数形式转化为代数问题求

23、解 ;利用复数得几何意义转化为几何问题求解、 四、运用数形结合思想分析与解决问题时 , 要注意如下几点在解题时 ,有时把数转化为形 ,以形直观地表达数来解决 ,往往使复杂问题简单化、 抽象问题具体化 .但就 是 ,依赖图象直观解题 ,也要注意如下几个问题。1、注意图象延伸趋势 ?【例 19】 判断命题 : “当 a1 时 ,关于得方程 ax=logax 无实解、 ”正确与否。 ? 错 解:在同一坐标系中分别作出函数 =ax及ylogax得图象 （1）（如图 ）,可见它们没有公共点 ,所以方程无 实解 ,命题正确。【评析】 实际上对不同得实数 a, =ax 与 y= ogax 得图象得延伸趋势不

24、同 .例如当 a=2 时,方程无实数 解;而当 a=时 ,x=2 就是方程得解、说明两图象向上延伸时,一定相交 ,交点在直线 y=上。2、注意图象伸展 “速度 ”【例 2】比较 2n与n得大小,其中 n,且 nN+、? 错解:在同一坐标系中分别作出函数 =x及y=x2 得图象 （如图 2）、? 由图可知 ,两图象有一个公共点。 ? 当=2 时,2x=2;当 x>2 时,2x x。 当 n=2 时,2=n;? 当 n>2,且 n N时, 2、【评析】 事实上 ,当 n=4 时,2n与 2也相等 ;当 =时,2n>2、错因就是没有充分注意到两个图象在2时得递增 “速度 ”！要比较

25、两个图象得递增速度 ,确实很难由图象直观而得。 本题可以先猜想 ,后用数学归纳法 证明.本题得正确答案就是当 n2、时 ,2n=n;? 当 n=时 ,2n<n2;当 n时, +时,2nn、证明略 .3?、注意数形等价转化【例 21】已知方程 x22kx-3k0有两个实数在 -1与3之间,求 k得取值范围。 ? ? 错解:令f（x）=x 22kx 3k, 结合题意画出图象 3中得 （1）,再由图象列出不等? 解略、【评析】 事实上 ,不等式组 （ ）并不与题意等价 ,图象中得 （2）也满足不等式组 （ ）,但两实根均大于 3,还可 以举出两实根均小于 1得反例。若不等式组 （）与图 3中得

26、（1）等价,需加上条件 1、因此 ,数形 转化要注意等价性。4、注意仔细观察图象 【例 22】已知关于、 y 得方程组（ab0）有四组实数解 ,求、 b、m 应满足得关系。错解 :已知方程组中得两个方程分别就是椭圆与抛物线得方程,原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个不同得公共点。由图 4知,m<-b,且< ,即-a2<-b。? 【评析】 观察图象过于草率 !事实上 , 图 5 也就是一种可能得情形 ,即当 a 时,仍有可能为四组解、例如当a= ,b1,=4 时 ,可得解集为:（2,0）,（ ,0）,（,）,（-） 、? 现用数形结合求解 :? 考虑一元二次方程 ? a

27、2y22y（m+a2）=,令 = （即相切情形 ）,? 解得 m=-,结合图象 ,?注意到 m-b,则 a、b、m应满足得关系就是 -m-b。? 从以上瞧出 ,有些问题可以用图象解决 ,但要认 真分析 ,有些问题很难由图象直观而得 ,值得注意。5。数形结合也有简繁之分 数形结合得核心与灵魂就是 “结合 ”、解题时 ,由于观察与联想得视角不同 ,会出现不同得 “结合” ,结“ 合"得好就得到好得解题方法 ,“结合 ”得不好就使解题过程繁琐且易出错, “结合”得优劣反映出了我们得基础与能力 ,也反映出我们思维灵活性与创造性得水平,“结合 "得优化选择 ,应就是数形结合法研究得重

28、要一环、为便于说明 ,我们先瞧几例 :?【例 23】已知方程 mx=x+ 有两个相异实根 ,求实数得取值范围、视角一 :视方程 x=x+m 两边得代数式为两个函数 ,分别画出函数 y=mx,y x+m 得图象 （如图 ）,由于两个 函数中都含有 ,故需进一步对 m 进行分类讨论 ,情况复杂 .图 1 仅表示 m 0 时得示意图。 ? ? 视角二 :由 ,先将原方程变形 ,得 x =x,再视方程 x1=x 两边得代数式为两个函数 ,分别画出函数 y=1,yx 得图象 （如图 2）,由图易瞧出 :当 <1 或<< ,即 m< 1 或 m时 ,图象有两个不同交点 ,此时原方程

29、有两个相异实根 . 视角三 :用分离参数法 ,先将原方程化为 m。? 分别作出函数 =,y= 得图象 （如图 3）,由图易瞧出 ,当 m< 1,m> 1 时 ,两函数得图象有两个不同交点 ,此时原方程有两个相异实根 .? 视角四 :用分离参数法 ,先将原方程化为。 ? 当 x>时 ,得 1=,当 x时 ,得1 =.? 分别作出函 数 y ,y=得图象 （如图 ）,由图易 瞧出,当 0<<1 或-1 ,即当 m>1或< -1时,两函数得图象有两个不同交点 ,此时原方程有两个相异实根。可见,例 1 得各解虽同就是数形结合 ,但大有简繁之分 ,视角二优于视角

30、一 ,视角一中两函数中得都含有 m, 因而她们得图象也就是变化得 ,虽可以通过讨论而获得结论 ,但讨论时容易因考虑不周而产生漏解,视角三虽瞧图直观明了 ,但图象不易作出 ,而视角四既比视角三作图方便 ,又比视角二简单 ,不用讨论 ,这就是因为视角二还有一个函数中含有 m, 而视角四中已不含 m,所以这里以视角四为最理想。【例 24】已知函数 f(x)=ax 2+bx 且 2 f(1) 4(,1-1) f2求, f(-)得取值范围、这就是我们常出错得题 ,其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等,而众所周知得数形结合法就是线性规划法。这类问题可瞧作一个条件极值问题 ,即变量 a、在2 a

31、+b 4 2 ? 这两个约束条件下 ,求目标函数 y=4 2b得最大 (小)值问题。约束条件 2a b4,1 ab得2解集就是非空集 ,在坐标平面上表 示得区域就是由直线 :a b=4,a+b=2,a b=2, =所围成得封闭 图形(图 5中得阴影部分 )。y得大小又可以瞧作直线 b2y在 b轴上截距得大小 , 从图中易知当直线 b=2a-y 经过 A(,),C( ,1) 时 截 距 分 别 为 最 小 f( 2)=5 与 最 大 (2)=1 .? 所 以 5f( 2) 10.?其实还可有如下数形结合法 :要求 f(-2)得取值范围 ,只要确定 f(-2)得最大 (小)值,即找到 f(x) 得图象在 2 时得最高点 F与最低点得纵坐标 ,为此只要确定 f(x)经过 E、F时得 函数表达式 ,由于 (x)=ax 2bx 就是经过原点 (c=)得抛物线系 ,所以只要 再有两点就可确定 ,由已知 2f(1) 4,1(-)2知, f(x) 在 x=1 时得最高点 B(,4),最低点 A(,2),f(x) 在 x1 时得最高点 D(- ,2),最低点 C(-, ),(如图 ),由抛物线得图象特征易知经过F 点得图象就就是经过 O、B、D