数理方程与特殊函数12格林函数ppt课件

1、1/14第六章2、4付里叶变换回想付里叶变换回想泊松方程的根本解泊松方程的根本解高斯公式与格林公式高斯公式与格林公式积分表达式与格林函数积分表达式与格林函数2/14正变换正变换: defxfxi )(21)(dxexffxi )()(逆变换逆变换: 核函数核函数:xjexk ),(1核函数核函数:xjexk 21),(2 1 j其中其中:付里叶变换公式付里叶变换公式3/14付里叶变换的常规习题分类付里叶变换的常规习题分类第第I类：利用公式证明付里叶变换性质；类：利用公式证明付里叶变换性质；第第II类：直接积分求象或原象；类：直接积分求象或原象；第第III类：利用特殊积分求象或原象类：利用特殊积

2、分求象或原象 cdxecx/2 一个常用积分公式一个常用积分公式 c 0 dxeIcx2证证 令令 dyeIcy2 020)(2222drreddxdyeIcryxc cceccr 21221202cI/ 4/14习题习题5.1第第3题题(2) 求求 的付氏变换的付氏变换)exp()(2xxf 解解:利用定义利用定义 dxedxeexfFxixxix)(22)( 对二次多项式配方对二次多项式配方2222224)2()2()2( ixiixxix所以所以 dxeexfFix22)2(4)( 4422/ ee5/14例例3 3 用付氏变换求解用付氏变换求解0 yxy由由 得得)()( fixfF

3、dxexffixi )()( dxexfixfiddxi )()()()()()( fffddxfxF 对方程对方程 作付里叶变换作付里叶变换, , 得得0 yxy0)(2 yyyi 2211 eCy deeCyxi221112yy)1(2 6/14二维泊松问题根本解二维泊松问题根本解:),(yxu 2221)(1 urrurrru 在极坐标系下在极坐标系下思索对称情况思索对称情况 有有0 u),()(1yxrurrr 在半径为在半径为 r 的圆域内对两端积分的圆域内对两端积分1)(020 rdud 12 rur rru 21 ru1ln21 7/14三维泊松问题根本解三维泊松问题根本解:),

4、(zyxu ururrurrru222222sin1)(sinsin1)(1),()(122zyxrurrr 在半径为在半径为 r 的球域内对两端积分的球域内对两端积分思索球对称情况思索球对称情况 有有0 u0 u1)(sin02020 rdudd 142 rur 241rru ru141 8/14 SVzyxRdxdyQdzdxPdydzdxdydzRQP)(高斯公式高斯公式RkQjPiA 记记kzjyix dSAAdxdydzV取取vuA vuvuvuA )(第一格林公式第一格林公式 dSvuvdxdydzuvdxdydzuVV取取uvA dSuvvdxdydzuudxdydzvVV9/1

5、4第二格林公式第二格林公式 dSuvvudxdydzuvvuV)()(dsuuudSuzyx)coscoscos( dsnu dsnuvnvudxdydzuvvuV)()(取取202020)()()(110zzyyxxrvMM 0 v当当0MM 时时, 有有10/14第三格林公式第三格林公式 VMMMMMMudxdydzrdsrnunurMu000141)1(141)(0 当当fu 得积分表达式得积分表达式 VMMMMMMfdxdydzrdsrnunurMu000141)1(141)(0 ( I )11/14重新思索第二格林公式重新思索第二格林公式0 vfu 假设假设 dsnuvnvudxdy

6、dzuvvuV)()(0)( Vvfdxdydzdsnvunuv VMMMMMMfdxdydzvrdsvrnunuvrMu)41()41()41()(0000 结合积分表达式结合积分表达式(I)，得，得12/14vrMMGMM 041),(0 记记0 v假设假设在边境上在边境上0),(0 SMMG那么有新的积分表达式那么有新的积分表达式vrMMGMM 041),(0 称称为格林函数为格林函数 VfdxdydzMMGdsMMGnuMu),(),()(000( II )( 泊松方程狄里克雷问题的格林函数泊松方程狄里克雷问题的格林函数 )13/14当当M在区域边境上取值时在区域边境上取值时, 格林函

7、数为零格林函数为零;当当M在区域内变化在区域内变化(MM0)时时, 格林函数满足拉普拉格林函数满足拉普拉斯方程斯方程;格林函数是两个函数的和格林函数是两个函数的和,第一个是根本解第一个是根本解,第二个第二个是调和函数是调和函数(对特殊区域可利用几何方法求得对特殊区域可利用几何方法求得).特殊区域的格林函数要用到泊松方程根本解特殊区域的格林函数要用到泊松方程根本解,二维二维根本解和三维根本解不同：根本解和三维根本解不同：二维二维:三维三维:r1ln21 22|yxMOr r141 222|zyxMOr 格林函数格林函数G(M, M0)的特点的特点:14/14思索题思索题1. 泊松方程的第一积分表达式与第二积分表达式有泊松方程的第一积分表达式与第二积分表达式有何区别；何区别；2. 泊松方程的根本解有哪