导数与函数最大值与最小值

1、函数的最大值函数的最大值 与最小值与最小值陈灼星陈灼星一、复习与引入一、复习与引入1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方值的方 法是法是: 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极大值是极大值; 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极小值是极小值.0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点极值只能在函数不可导的点或

2、导数为零的点 取到取到.3.在某些问题中在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.二、新课二、新课函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一观察右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象

3、的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 设函数设函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,则求则求f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：上的最大值与最小值的步骤如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)作比较作比较,其中其中最大的一个为最大值最大的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值. 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注

4、意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概是一个局部概 念念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值

5、则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且并且 极大值极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除端点但除端点 外在区间内部的最大值外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则一定是极大值则一定是极大值 (或极小值或极小值).(4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函数的最则在确定函数的最 值时值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中在解决实际

6、应用问题中,如果函数在区间内只有一个如果函数在区间内只有一个 极值点极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的不必再与端点的 函数值进行比较函数值进行比较.三、例题选讲三、例题选讲例例1:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大值与最小上的最大值与最小 值值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2)

7、2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.例例2:求函数求函数 在区间在区间-1,3上的最大值与上的最大值与 最小值最小值.165)(22 xxxxf解解:.)1()12(5)(222 xxxxf令令 ,得得0)( xf.3 , 1,21,212121 xxxx且且相应的函数值为相应的函数值为:.2257)21 (,2257)21 ( ff又又f(x)在区间端点的函数值为在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0比较得比较得, f(x)在点在点 处取得最大值处取得最大值在点在点 处取得最小值处取得最小值211 x;

8、2257 212 x.2257 延伸延伸1:设设 ,函数函数 的最的最 大值为大值为1,最小值为最小值为 ,求常数求常数a,b. 132 a)11(23)(23 xbaxxxf26 解解:令令 得得x=0或或a.033)(2 axxxf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf x-1(-1,0) 0 (0,a) a(a,1) 1f(x) +0 - 0 +f(x) -1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知由表知,当当x=0时时,f(x)取得极大值取得极大值b,而而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较故需比较f(

9、1)与与f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以所以f(x)的最大值为的最大值为f(0)=b,故故b=1.又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0 x1,求函数求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域的值域.说明说明:由于由于f(x)在在0,1上连续可导上连续可导,必有最大值与最小值必有最大值与最小值, 因此求函数因此求函数f(x)的值域的值域,可转化为求最值可转化为求最值.解解:.)1()1()(1111 ppppxxpxppxxf令令 ,则得则得xp-1=(1-x)p-1,即即x=1-x,x=1/2.0)( xf而而 f(0)=f(1)=1,因为因为

10、p1,故故11/2p-1.,21)21(1 pf所以所以f(x)的最小值为的最小值为 ,最大值为最大值为1.121 p从而函数从而函数f(x)的值域为的值域为.1 ,211 p练习练习2:求函数求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数是正数)在在0,1上的最上的最 大值大值.解解:.)2(2)1()(12xpxxpxfp 令令 ,解得解得.22, 1, 00)(321pxxxxf 在在0,1上上,有有f(0)=0,f(1)=0,)2( 4)22(2 ppppf 故所求最大值是故所求最大值是.)2(42ppp 练习练习1:求函数求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间在区间-3,

11、4上的最上的最 大值和最小值大值和最小值.答案答案:最大值为最大值为f(4)=142,最小值为最小值为f(1)=7.四、应用四、应用1.实际问题中的应用实际问题中的应用. 在日常生活、生产和科研中在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的常常会遇到求函数的最大最大(小小)值的问题值的问题.建立目标函数建立目标函数,然后利用导数的方法然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个有时会遇到函数在区间内只有一

12、个点使点使 的情形的情形,如果函数在这个点有极大如果函数在这个点有极大(小小)值值,那么不与端点值比较那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大也可以知道这就是最大(小小)值值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间这里所说的也适用于开区间或无穷区间.0)( xf满足上述情况的函数我们称之为满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数单峰函数”.例例1:在边长为在边长为60cm的正的正 方形铁皮的四角切去相等方形铁皮的四角切去相等的正方形的正方形,再把它的边沿虚再把它的边沿虚线折起线折起(如图如图),做成一个无做成一个无盖的方底箱子盖的方底箱子,箱底边长为箱底边长为多少时多少时,箱子的容积最大箱子的容积最

13、大?最大容积是多少最大容积是多少?解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.类题类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底

14、半径它的高与底半径 应怎样选取应怎样选取,才能使所用的材料最省才能使所用的材料最省?解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,则则2rVh .2222)(222rrVrrVrrS 令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.042)(2 rrVrS 32 Vr 232)2( VVrVh 33224 VV 由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底半径相等时当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省所用的材料最省.例例2:如图如图,铁路线上铁路线上AB段长段长 100km,工厂工

15、厂C到铁路的到铁路的 距离距离CA=20km.现在要现在要 在在AB上某一处上某一处D,向向C修修 一条公路一条公路.已知铁路每吨已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料为了使原料 从供应站从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省的运费最省,D应修在何处应修在何处?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千则公路上每吨千米的运费为米的运费为5t元元.这样这样,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂

16、运到工厂C的总运费为的总运费为).1000()100(34005352 xxtxtBDtCDty令令 ,在在 的范围内有的范围内有唯一解唯一解x=15.0) 34005(2 xxty1000 x所以所以,当当x=15(km),即即D点选在距点选在距A点点15千米时千米时,总运总运费最省费最省.注注:可以进一步讨论可以进一步讨论,当当AB的距离大于的距离大于15千米时千米时,要找的要找的 最优点总在距最优点总在距A点点15千米的千米的D点处点处;当当AB之间的距离之间的距离 不超过不超过15千米时千米时,所选所选D点与点与B点重合点重合.练习练习:已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为R,高为

17、高为H,求内接于这个圆求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答答:设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为r,可得可得r=R(H-h)/H.易得当易得当h=H/3 时时, 圆柱体的体积最大圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用与数学中其它分支的结合与应用.xy例例1: 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2), 则则 A(x, 4x-x2).从而从而|AB|= 4x-x2,

18、|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)( xf而而0 x1时时, ,所以所以x=1是是f(x)的的极小值点极小值点.0)( xf0)( xf所以当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时时,f(x)1恒成立恒成立,即即: 成立成立.2)1(211ln xxx3)1(321x 五、小结五、小结1.求在求在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的上的 最值的步骤最值的步骤: (1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值; (2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个其中最大的一个 是最大值是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.2.求函数的最值