三角形的内切圆

1、 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。ABC思考思考如何确定一个与三角形三边都相如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？切的圆的圆心位置与半径的长？ CABABCM已知：已知： ABC（如图）如图）求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆作法：作法：1. 作作ABC、 ACB的平分线的平分线BM和和CN，交点为交点为I.N ID例例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切作圆，使它和已知三角形的各边都相切2. 过点过点I作作IDBC，垂足为垂足为D.3. 以以I为圆

2、心，为圆心，ID为半径作为半径作 I. I就是所求的圆就是所求的圆.1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的三角形的内切圆内切圆，内切圆的圆心叫做三，内切圆的圆心叫做三角形的角形的内心内心，内心是三角形三条角平内心是三角形三条角平分线的交点分线的交点.这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的外切外切三角形三角形。2、性质、性质: 内心到三角形三边的内心到三角形三边的距离相距离相等等；内心与顶点连线；内心与顶点连线平分内角平分内角。O图图2AB C名称名称确定方法确定方法图形图形性质性质外心：外心：三角形三角形外接圆外接圆的圆心的圆心内心：内心：三角形三角形内切

3、圆内切圆的圆心的圆心三角形三边垂直三角形三边垂直平分线的交点平分线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三外心不一定在三角形的内部角形的内部三角形三条角平分线三角形三条角平分线的交点的交点1.到三边的距离到三边的距离相等；相等；2.OA、OB、OC分别平分分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内内心在三角形内部部oABCOABC 1.如图如图1，ABC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圆，圆， 点点O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。外接外接内接内接外心外心三边垂直平分线三边垂直平分线2.如图如图2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是

4、是DEF的的 圆，圆， 点点I是是 DEF的的 心，心， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。ABCO图图1IDEF图2外切外切内切内切内内三个角的平分线三个角的平分线DEFG.O3. 如上图，四边形如上图，四边形DEFG是是 O的的 四四边形，边形， O是四边形是四边形DEFG的的 圆圆.内切内切外切外切例例2 2 已知：如图已知：如图, , ABCABC的内切圆的内切圆O O与与BC BC 、CACA、 AB AB 分别相交于点分别相交于点D D 、 E E 、 F F ，且，且ABAB9 9厘米，厘米，BC BC 1414厘米厘米,CA ,CA 1313厘米厘米, ,求求AFAF、BD

5、BD、CECE的长的长。AECDBFO（2 2）若）若A=80 A=80 ，则则BOC = BOC = 度。度。（3 3）若）若BOC=100 BOC=100 ，则则A = A = 度。度。解解:13020（1）点点O是是ABC的内心，的内心， BOC=180 (1 3)= 180 (25 35 )练习练习1. 如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心， （1）若）若ABC=50， ACB=70，求求BOC的度数的度数ABCO=120 )1(32)4(同理同理 3= 4= ACB= 70 =35 2121 1= 2= ABC= 50= 252121理由：理由： 点点O是是ABC的内心

6、，的内心， 1 3 = （ABC+ ACB）21 1= ABC， 3= ACB2121= 180 （ 90 A ）21= （180 A ）21= 90 + A21= 90 A21答：答： BOC =90 + A21（4）试探索：）试探索： A与与BOC之间存之间存在怎样的数量关系？请说明理由。在怎样的数量关系？请说明理由。ABCO)1(32)4(在在OBC中，中，BOC =180 （ 1 3 ）练习练习2：ABCABC 的内切圆的半径为的内切圆的半径为r，ABCABC 周长为周长为L，求求ABCABC 的面积的面积S。COBADEFrLS21= =r 练习练习3. 如图，如图，ABC中，中，O是内心，是内心，A的平分线的平分线和和ABC的外接圆相交于点的外接圆相交于点D.