上海工程技术大学答案——概率论与数理统计复习1

1、复习题简答：第一章1、 设A、B、C表示三个随机事件，试将以下事件用A、B、C表示出来：1B,C都发生，而A不发生；2A,B,C中至少有一个发生；3A,B,C中恰有一个发生；4A,B,C中恰有两个发生；5A,B,C中不多于一个发生；6A,B,C中不多于两个发生。解:1234562、 把1，2，3，4，5诸数各写在一张纸片上任取其中三个排成自左而右的次序。问：（1） 所得三位数是偶数的概率是多少？（2） 所得三位数不小于200的概率是多少？解：1 2 3、 甲乙丙三人去住三间房子。求：（1） 每间恰有一个的概率；（2） 空一间的概率。解: 12 4、 设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校

2、正。一射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3. 今假定从8支枪中任取一支进行射击，求：（1） 中靶的概率；（2） 假设已知中靶，求所用这支枪是已校正过的概率。解: A：中靶。B：已知中靶，所用这支枪是已校正过的。5、 设有甲乙两盒，其中甲盒内有2只白球1只黑球，乙盒内有1只白球5只黑球。求从甲盒任取一球投入乙盒内，然后随机地从乙盒取出一球而得白球的概率。解: A：从乙盒取出一球得白球。B：从甲盒中任取一白球放入乙盒。6、 设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的45%，35%，20%。如果各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现在

3、待出厂产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率。解： A：任取一个产品是次品。B：产品由甲车间生产。7、 对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病治愈率为0.8，现10个患此病的病人都服用此药，求其中至少有6人治愈的概率。解:X：治愈的人数， 第二章8、 某产品5件，其中有2件次品。现从其中任取2件，求取出的2件产品中的次品数X的概率分布律及分布函数。解：次品数X可能的取值为0，1，2分布律为： 分布函数为： 9、 设连续型随机变量X的分布函数为,试确常数A,B，并求，及概率密度。解：由F(x)的性质，得A=1, B= -1 ，所以 10、已知连续型随机变量X有概率密度，求：1

4、系数k；2分布函数F(x)；（3） P1.5<X<2.5。解：由f(x)的性质，得k= -1/2.11、某元件寿命按小时计X服从参数为的指数分布，三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？解：Y：损坏的个数，12、设，计算：1PX<-4，2P|X|>2。解：13、设随机变量X在-1，1上服从均匀分布，求的概率密度。解：的概率密度为14、设的分布律为X-2-1/2024p1/81/41/81/61/3求1, 2，3的分布律。X+203/2246p1/81/41/81/61/3-X+103/21-1-3p1/81/41/81/61/341/4016p7/24

5、1/41/81/3第三章15、一整数X随机地在1，2，3，4四个整数中取一个值，另一个整数Y随机地在1到X中取一个值，试求X,Y的分布律。解： 16、设(X,Y)的概率密度为，试求：1系数C；2(X,Y)落在D:确定的区域内的概率。解: 根据解出17、设(X,Y)的概率分布律为X Y11.21.40.811/51/5001.51/51.31/51.21/5求1(X,Y)的边缘分布律；2PX>Y。解:X11.51.31.2p2/51/51/51/5Y11.21.40.8p2/51/51/51/52PX>Y=3/518、设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为求(X,Y)的边缘概率密

6、度，并判断X,Y是否相互独立。解: X,Y不相互独立19、假设X,Y独立且都服从同一概率密度，求1(X,Y)的联合概率密度；2P0<X<1,Y>2。解: (X,Y)的联合概率密度函数为第四章20、一个有n把钥匙的人要开他的门，他随机而又独立地用钥匙试开。如果除去试开不成功的钥匙，求试开次数的数学期望。解:设X为试开次数，则X的可能取值为1，2，n，且 P(X=k)=1/n，k=1,2,，n 21、对球的直径作近似测量，设其值均匀地分布在区间内，求球体积的均值。解: 22、设X为随机变量，试证：。证明：23、设(X,Y)服从上的均匀分布，试求X,Y的相关系数，并说明X与Y是否不

7、相关。解: 不是不相关。24、对于随机变量X,Y,Z，已知求1；2。解: 25、在n重贝努里试验中，假设每次试验A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不等式求出n，使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.9。解: 事件A出现的次数 第五章26、已知一批产品批量很大的次品率，现从这批产品中随机地抽取1000件进行检查，求次品数在90至110之间的概率。解: 次品数27、设某 交换台每秒种平均被呼叫2次 交换台每秒被呼叫次数服从泊松分布，试求在100秒钟内被呼叫次数在180至220次之间的概率。解: 第i秒呼叫次数，100秒内呼叫次数为X，则 第六章28、设来自总体的简单随机样本，已

8、知，试求。解: 29、设来自总体为标准正态分布的简单随机样本，试确定常数，使得服从分布。解: 所以，30、设有N个产品，其中有M个次品，进行放回抽样。定义如下，求样本的联合分布律。解: 总体X的分布律为： ，则样本的联合分布律为31、设一批灯泡的寿命X服从参数为的指数分布，求来自总体样本的联合概率密度。解: 总体的概率密度： 则样本的联合分布律为32、在总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值落在(5.6,9.6)内的概率不小于0.95，则至少为多少？解: 33、设是来自正态分布的一个样本，分别是样本均值和样本方差。求使得。解: 第七章34、设总体分布律为，求的极大似然估计。解: 似然函数：两

9、边取对数，两边求导数，并令其为0， 解出的极大似然估计量为35、设总体密度函数函数为求的矩估计。解: 用替代，得为矩估计量。36、设是取自某总体的容量为3的样本，试证以下统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？1；2；3。解: 验证无偏估计略。第三个估计的有效性最差。37、设是来自正态总体的一个样本，对考虑如下三个估计，哪一个是的无偏估计？解: 第一个是的无偏估计。38、包糖某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量单位：0.05Kg为：10.1，10.3，10.4，10.5，10.2，9.7，9.8，10.1，10.0，9.9，9.8，10.3假定重量服从正态分布，

10、试由此数据对该机器所包糖的平均重量及方差，求置信水平为95%的置信区间。解: ， 平均重量置信水平为95%的置信区间为方差置信水平为95%的置信区间为，39、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为单位：cm：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设钉长的分布为正态分布，分别对以下两种情况求出总体均值的90%置信度的置信区间。1已知；2未知。解: 已知未知40、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布，现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55？解：设原假设，检验统计量 拒绝域 ， 因为，故接受.可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55.41、设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为，样本标准差，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm？解：设原假设，检验统计量 拒绝域 ， 因为，接受，不能认为