平安夜故事——排列组合解题策略

1、执教者执教者：王嘉伟王嘉伟 “苹果”是平平安安的谐音，象征着平安、祥和之意，所以说平安夜吃苹果能保一年平安。 人物：寝室所有成员，包括英亚、竹萍、陈燕、刘佳、徐红、周甜、龚佳、钱丽共八人。时间：时间：13年年12月月24日晚。日晚。地点：地点：XX职校女生公寓楼职校女生公寓楼302室。室。 在这个特别的夜晚，刘佳提议，准时在十二点吃苹果，可大家发现没有准备苹果。 陈燕说：“我这里有些苹果。”她拿出一袋苹果。大家一看，只有大小不一的五个。 竹萍说：“我柜子里面还有几个梨。”竹萍拿出来一清，有四个形状各异的梨。 大家说：“没办法了，拿三个梨来凑吧。”出招：从四个形状各异的梨中拿出三个，有出招：从四

2、个形状各异的梨中拿出三个，有多少种方法？多少种方法？接招接招: 竹萍从中拿出了三个最好看的梨。竹萍从中拿出了三个最好看的梨。 徐红说：徐红说：“我不喜欢吃梨，我只喜欢我不喜欢吃梨，我只喜欢吃苹果，所以我一定要吃苹果。吃苹果，所以我一定要吃苹果。” 英亚说：英亚说：“好吧。我来负责分派。好吧。我来负责分派。”出招：要保证徐红一定吃到苹果，有多少种分派出招：要保证徐红一定吃到苹果，有多少种分派方法？方法？接招：接招： 周甜说：周甜说：“我也要吃苹果！平安夜当我也要吃苹果！平安夜当然吃苹果。然吃苹果。”出招：，徐红和周甜两人都吃到苹果，有出招：，徐红和周甜两人都吃到苹果，有多少种分派方法？多少种分派

3、方法？接招：接招： 竹萍说，你们俩只能有一个人吃苹果。竹萍说，你们俩只能有一个人吃苹果。徐红说：徐红说：“那让周甜吃苹果吧，我吃那让周甜吃苹果吧，我吃梨好了。梨好了。”出招出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨分给八个人，每人一个，其中周甜吃苹的梨分给八个人，每人一个，其中周甜吃苹果，徐红吃梨，果，徐红吃梨，有多少种分派方法？有多少种分派方法？接招: 钱丽说：钱丽说：“这样吧，我们把八个水果这样吧，我们把八个水果放在桌上排成一排，然后关灯，每人放在桌上排成一排，然后关灯，每人摸一个。摸一个。”出招：八个不同的水果排成一排，有多少种出招：八个不同的水果排成一

4、排，有多少种排方法？排方法？接招: 刘佳说：刘佳说：“平安夜，第一个一定要放平安夜，第一个一定要放苹果以示平安。苹果以示平安。”出招：出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，第一个一定要放苹果，的梨排成一排，第一个一定要放苹果，有多有多少种排法？少种排法？接招: 陈燕说：陈燕说：“第一个放不放苹果不要紧，第一个放不放苹果不要紧，大家只要尽量把苹果和梨分开就好，就大家只要尽量把苹果和梨分开就好，就是不要让任何两个梨挨在一起。是不要让任何两个梨挨在一起。” 出招：出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，的梨排成

5、一排，其中梨不能挨在一起，有其中梨不能挨在一起，有多少种排方法？多少种排方法？接招: 徐红说：徐红说：“这样不好，分梨分离。我这样不好，分梨分离。我们寝室每个人都应该团结，心不能分们寝室每个人都应该团结，心不能分离。所以，应该把这些梨全放在一离。所以，应该把这些梨全放在一起。起。”出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，其中梨必须放在一起有多少种排梨排成一排，其中梨必须放在一起有多少种排方法？方法？接招: 正在大家讨论得正热烈的时间，响起正在大家讨论得正热烈的时间，响起了熄灯铃声。了熄灯铃声。 “唉啊，快。唉啊，快。”英亚低声叫道：英亚低声叫

6、道：“睡睡觉时间到了！快去床上！觉时间到了！快去床上！” 英亚连忙关掉灯。黑暗中谁低声叫了英亚连忙关掉灯。黑暗中谁低声叫了一句：一句：“快拿水果！快拿水果！”大家连忙从桌大家连忙从桌上各自摸起一个水果，快速钻入被窝。上各自摸起一个水果，快速钻入被窝。寝室迅速安静下来。寝室迅速安静下来。 渐渐地，八个同学都在安静中睡着了。渐渐地，八个同学都在安静中睡着了。当然，最终她们没有破坏寝室的纪律，当然，最终她们没有破坏寝室的纪律，没有在半夜起来吃苹果。没有在半夜起来吃苹果。 从上面的故事中找出我们所运用到的从上面的故事中找出我们所运用到的排列组合这一章所学的知识和方法。排列组合这一章所学的知识和方法。

7、故事新编故事新编:(课下思考）课下思考）对平安夜的故事进行重新编对平安夜的故事进行重新编排，要求在故事里穿插至少三个有关排，要求在故事里穿插至少三个有关排列，组合，或基本计数原理的问题。排列，组合，或基本计数原理的问题。 知识目标：知识目标：1.掌握加法原理和乘法原掌握加法原理和乘法原理，并能用这两个计数原理解决简单理，并能用这两个计数原理解决简单问题。问题。 2.掌握排列、组合问题应用掌握排列、组合问题应用的几种常见方法。的几种常见方法。 能力目标：掌握有限制条件的排列组能力目标：掌握有限制条件的排列组合的应用题的常用分析方法。合的应用题的常用分析方法。 情感目标：解决较复杂的排列组合问情感

8、目标：解决较复杂的排列组合问题的思想与解题策略。题的思想与解题策略。学习目标学习目标从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.2.组合的定义组合的定义: :从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.1.1.排列的定义排列的定义: :排列与组合的区别与联系排列与组合的区别与联系: :与顺序与顺序有关的为排列问题有关的为排列问题, ,与顺序无关的与顺序无关的为组合问题为组合问题. .复习回顾：复习回顾：例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有可以组成多少个没有重复数字的五位奇数重复

9、数字的五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得由分步计数原理得=28813C14C34A 7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？25451440A A练习题练习题例例2.

10、72. 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法55A22A22A=480解：解：练习题练习题5个男生个男生3个女生排成一排个女生排成一排,3个女生个女生要排在一起要排在一起,有多少种不同的排法有多少种不同的排法? 3366AA共有 =4320种不同的排法.55A第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有 种不同的方法，种不同的方法， 4

11、6A由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种55A46A相相相相独独独独独独某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）30练习题练习题四四. .定序问题定序问题; ;插入插入; ;空位空位; ;倍缩策略倍缩策略例例4.74.7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少种不同的排法少种不同的排法解:（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置

12、甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 47A147A思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ?（插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7练习题期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? 9921A( (倍缩法倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列, ,然后用总排

13、列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是： 7733AA定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入模型处理入模型处理五五. .重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7把第二名实习生分把第二名实习生分配配 到车间也有到车间也有7 7种分法，

14、种分法， 依此类推依此类推, ,由分步由分步计计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法67 一般地一般地n不同的元素没有限制地安排在不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法（ ）87练习题练习题例例6.6.有有5 5个不同的小球个不同的小球, ,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内, , 每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法. .解解: :第一步从第一步

15、从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元素共个组成复合元素共 有有_种方法种方法. .再把再把5 5个元素个元素( (包含一个复合包含一个复合 元素元素) )装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法. .25C44A根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_25C44A练习题练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_

16、_ 种种192192七七. .平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出但这里出现重复计数的现象现重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法 , 而这些分法仅是而这些分法仅

17、是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为均为均分的组数分的组数)避免重复计数。避免重复计数。nnA1. 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？544138422C C CA2.2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级

18、的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 2226422290ACC A练习题练习题八. 合理分类与分步策略例例8 8. .在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 够唱歌够唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出一个现要演出一个2 2人唱人唱 歌歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人

19、员为标准进行研选上唱歌人员为标准进行研究究只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_ _ 种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。2233CC112534CCC2255C C2233CC112534CCC2255C C+ + +解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ _ 练习题练习题 1.(2014年广西）有年广西）有6名男医生，名男医生，5名女医生