数字滤波器原理

1、第四章第四章数字滤波器原理和设计方法数字滤波器原理和设计方法（Digital Filter)第一节第一节 引引 言言一、什么是数字滤波器一、什么是数字滤波器n顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用；即DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。n它的功能：把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。二、数字滤波器的工作原理( )()( )()jwjwx nX ey nY e设是系统的输入，是其傅氏变换。是系统的输出，是其傅氏变换。则：h(n)x(n)y(n)作原理。这就是数字滤波器的工符合我们的要求，使滤波器输出选取表示）后变成其系统性能用经过

2、滤波器看出：输入序列的频谱)()(),()()()()()()()()()(1jwjwjwjwjwjwjwjwjwmeHeXeHeHeXeHeXeHeXFmxmnhny则LTI系统的输出为：三、数字滤波器表示方法n有两 种表示方法：方框图表示法；流程图（简称流图）表示法.n数字滤波器中,信号只有延时延时，乘以常数乘以常数和相加相加三种运算。n所以DF结构中有三个基本运算单元：加法器，单位延时，乘常数的乘法器。1、方框图、流图表示法、方框图、流图表示法Z-1单位延时系数乘相加Z-1a方框图表示法：方框图表示法：信号流图表示法：信号流图表示法：a把上述三个基本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构

3、，也有方框图表示法和流图表示法。2.例子)() 2() 1()(021nxbnyanyany例：二阶数字滤波器：其方框图及流图结构如下：Z-1Z-1x(n)y(n)b0a1a2x(n)y(n)b0a1a2Z-1Z-1看出：可通过流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。以后我们用流图来分析数字滤波器结构。DF网络结构或DF运算结构二个术语有微小的差别，但大抵一样，可以混用。四、数字滤波器的分类n滤波器的种类很多，分类方法也不同。n1.从功能上分；低通、带通、高通、带阻。n2.从实现方法上分:FIR、IIRn3.从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）

4、n4.从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器n等等。1、经典滤波器n假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频带。当x(n）经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效地去除。但如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。 |X(ejw)|wwc有用无用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc2.现代滤波器 它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。 现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算

5、法，然后用硬件或软件予以实现。 现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。本课程主要讲经典滤波器3.模拟滤波器和数字滤波器n经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（LPAF/LPDF):Low pass analog filter带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filtern即它们每一种又可分为：数字(Digita

6、l)和模拟(Analog)滤波器。4.模拟滤波器的理想幅频特性cc)( jHcc)( jHcc)( jH)( jH1c2c1c2cLPAFHPAFBPAFBSAF5.数字滤波器的理想幅频特性LPDFHPDFBPDFBSDF2c)(jweH.23.2.2)(jweH)(jweH)(jweH五、研究DF实现结构意义1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模

7、块化实现，便于时分复用。六、本章介绍主要的内容1.分别介绍FIR、IIR滤波器实现的基本结构。2.介绍一种特殊的滤波器结构实现形式：格型滤波器结构.第二节 IIR DF的基本结构一、IIR DF特点1.单位冲激响应h(n)是无限长的n2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0|Z|0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)n(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反馈。但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。二、FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：100010)( )( )0,1( )( ) ()NnnMiiiiNiiiNkH zh

8、 n ZbzH zaa zy nh k x nk（它实际上为一般中即无反馈情况其差分方程为：三、FIR滤波器实现基本结构n（1）FIR的横截型结构（直接型）n（2） FIR的级联型结构n（3）FIR的线性型 结构n（4）FIR的频率抽样型结构n（5）FIR的轨迹卷积型结构1.FIR直接型结构（卷积型、横截型）(1)流图h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)（2）框图Z-1Z-1Z-1Z-1.x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.级联型结构（1）流图n当

9、需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的形成：212211010)()()NiiiiNnnzzZnhzH（即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)11Z-1Z-12112Z-1Z-1221N/2Z-1Z-12N/2y(n).01020N/21（2）级联型结构特点n由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。n由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。3.快速卷积结构（1）原理n设FIR DF的单位冲激响应h(n)的非零值长度为M，输入x(n)的非零值长度为N。则输出y(n)=x(n)*h(n)

10、,且长度L=N+M-1n若将x(n)补零加长至L，补L-N个零点，将h(n)补零加长至L，补L-M个零点。n这样进行L点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线卷积。其中：n而由圆卷积可用DFT和IDFT来计算，即可得到FIR的快速卷积结构。)()()()()(nxnhnxnhnyLnNNnnxnx010)()(LnMMnnhnh00)()(（2）快速 卷积结构框图L点DFTL点DFTL点IDFTX(k)H(k)Y(k)x(n)h(n)()()()()(nxnhnxnhny1202)()1)(NnknLjekHkXLny（此时，当N，M中够大时，比直接计算线性卷积快多了。4.线性相位FIR型结构（

11、1）定义n所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。（2）线性相位FIR DF具有特性nh(n)是因果的，为实数，且满足对称性。即满足约束条件：nh(n)=h(N-1-n)其中:h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n);下面我们针对h(n)奇、偶对称进行讨论。（3）h(n)为偶对称，N=偶数时(a)FIR的线性相位的特性120)1120)1(120012) 1(1201212010)()1()() 1()()()()()NnnNnNnnNNnnNnnNNnnNNnnNnnNnnzznhznNhznhznNhznhznhz

12、nhznhzH（令n=N-1-n代入用n=n再用n=n,并应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)(b)h(n)为偶对称，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0) h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1).h(N-1)其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)(c)h(n)为偶对称，N=偶数时,线性相位FIR的频率响应 /2 11011/2 12102111/2 1222012()jNjNnjj nnNjNnj nNjNjnNNNNjjnjnnNjzeH eh neeeeh neeeh n

13、eee 令 /2 1012cos2NnNh nn幅度响应和相位响应分别为 1/221/212,1,2,221cos2:1cos2:-1 /2NNjjnNjnNNa nhnnH eea nnH ea nnN 令幅度响应相位响应（4）h(n)为偶对称，N=奇数时(a)FIR的线性相位的特性当N=奇数时，有一中间项h(N-1)/2)无法合并，需提出：10312()1)20)( )1()( )2NnnNNnNnnH zh n zNhzh nzz （(b)h(n)为偶对称，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2),h(N-3)/2)=h(N-1)/2Z-1Z

14、-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0) h(1)h(2)h(3).h(N-1)21(Nh)23(Nh共有（N-3）/2项(c)h(n)为偶对称，N=奇数时,线性相位FIR的频率响应 1 /2 1112013 /22011 /2201()2112cos22-1222coscjNNjjNnjj nnNNjnNNjjnzeNH eheh neeNNehh nnNb nhnh nH eeb nnHb n 令用化简1 /201os2NnNn （5）总结：h(n)为偶对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性n同理，当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可求出:312()1)2

15、01)()( )2NNnNnnNH zhzh nzz （120)1)()NnnNnzznhzHN（偶数时，N=奇数时，（6）h(n)为奇对称，N=奇、偶数时FIR的线性相位的特性n同理，当h(n)=奇对称时，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:312()1)201)()( )2NNnNnnNH zhzh nzz （120)1)()NnnNnzznhzHN（偶数时，N=奇数时，线性相位FIR零点分布特性n1、H（z）的零点既不在实轴上，也不在单位圆上，必为两组互为倒数的共轭对n2、零点在单位圆上时，以共轭对出现n3、如果在实轴上，互为倒数出现n4、如果既在单位圆上又在实轴上，则零点为1和-1

16、5、频率抽样型结构(1)频率抽样型结构的导入n若FIR DF 的冲激响应为有限长（N点）序列h(n),则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)(kHDFT取主值序列N等分抽样单位园上频响Z变换内插所以，对h(n)可以利用DFT得到H(k)，再利用内插公式：1011)(1)1 ()(NnkNNzWkHNzzH来表示系统函数。 （2）频率抽样型滤波器结构1011)(1)1 ()(NnkNNzWkHNzzH由：得到FIR滤波器提供另一种结构：频率抽样型结构。它是由两部分级联而成。10)(1)()(NnkczHNzHzH其中：级联中的第一部分为梳状滤波器：第二部分由N个谐振器组成的谐振柜。)1 ()

17、(NczzH11)()(zWkHzHkNk(3)梳状滤波器(a)零、极点特性n它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位园上有N个等分的零点、无极点。)1 ()(NczzH由看出：20101,1()012012:NjjNjNjkNkkzzrerreeWkzekNNN令：单位园代入零点。即而等间隔角度之间为N2(b)幅频特性及流图22()11cossin()(1cos)sin2(1cos)2 sin2jjNcjcHeeNjNHeNNNN频率响应为：w|H(ejw)|N20.幅频曲线：1x(n)y(n)-Z-N梳状滤波器信号流图：（4）谐振器n谐振器：是一个阶网络。11)()(zWkHzH

18、kNkZ-1W-kH(k)Hk(z)谐振器的零极点：此为一阶网络，有一极点：2(1)2( )jkkjNNkzWererkHzN单位园一阶网络频率在处响应为无穷大，此时(5)谐振网络(谐振柜)n谐振柜：它是由N个谐振器并联而成的。101101)()(NkkNNkkzWkHzH这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵消，从而使这个频率（w=2k/N)上的频率响应等于H(k).将两部分级联起来，得到频率抽样结构。)()()()()()(22kHezkHezzHzHNkjkNkjkkc（6）频率抽样型结构流图Z-1W-kH(0)Z-1W-kH(1)Z-1W-kH(2)Z-1W-kH(N

19、-1)N1-Z-Nx(n)y(n)(7)频率抽样型结构特点n(1)它的系数H(k)直接就是滤波器在 处的频率响应。因此，控制滤波器的频率响应是很直接的。n(2)结构有两个主要缺点：结构有两个主要缺点：n(a)所有的相乘系数及H(k)都是复数，应将它们先化成二阶的实数，这样乘起来较复杂，增加乘法次数，存储量。n(b)所有谐振器的极点都是在单位园上,由 决定考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。（零点由延时单元决定，不受量化的影响）系统就不稳定了。2kWkNkNW6、修正的频率抽结构（1）产生的原因n为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结

20、构做一点修正。即将所有零极点都移到单位园内某一靠近单位园、半径为r(r1)的园上，同时梳状滤波器的零点也移到r园上。（即将频率采样由单位园移到修正半径r的园上）(2)修正的频率抽样结构的系统函数11021( )( )(1)1( )1,( )( )( )( )( )( ),0,1,2,1kkNNNNNknNrrrzrWz WjkNkH kH zrzNrWzHkrHkH kHkH zH zH kH zzrekN为新抽样点上的抽样值，但是由于因此有（即则谐振器的各个根的极点为 为了使系数是实数，可将共 轭根合并，这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴成对称分布。(3)修正的频率抽样结构的系统 极点分布0

21、0N2|z|=r2N12N12N1N10kRezzj Imzj ImRez0kN=8N=5*kkNzz(4)修正频率结构的复根部分：第k和第N-k个谐振器合并为一个实系数的二阶网络n因为h(n)是实数，它的DFT也是圆周共轭对称的。因此，可以将第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络。1, 3 , 2 , 1)()*NkkNHkH（ *1()11*11011*2*212201( )()( )( )( )1111( )2112 cos()2Re)cos ( )2,2 Re)coskkN kkkNNNNkkkkkkNNkkkNH kH NkH kH kHzrWzrWzrWzrWzzH kkzWWrr W Wzzrr zNH kkkrH k WrkN其中：（(5)有限Q的谐振器n第k和第N-k个谐振器合并为一个二阶网络的极点在单位园内，而不是在单位园上，因而从频率响应的几何解释可知，它相当于一个有限Q的谐振器。其谐振频率为： 012cos ( )2coskkkWkNkkrkN)2cos(2Nkr2r1z1zk0k1(6)修正频率抽样结构的谐振器的实根部分除了共轭复根外，还有实根。当N=偶数时，有一对实根，它们分别为 两点。2,0Nkk101)0()(rzHzH121)2()(rzNHzHN当N=奇数