八年级数学反比例函数华东师大版知识精讲

1、用心爱心专心初二数学反比例函数华东师大版【同步教育信息】本周教学内容： 反比例函数教学目标1. 理解反比例函数的意义，会画出反比例函数的图像;2. 能根据图像和关系式探索并理解反比例函数的性质;3. 能用反比例函数解决某些简单的实际问题。教学重点反比例函数图像及性质应用教学内容 一、知识梳理：1. 反比例关系的概念两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个 数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。比如，甲、乙 两地的距离是 100 千米，则汽车从甲地到乙地所用的时间t 与行驶的速度 v 之间的关系是vt = 100。2. 反比例函数的概

2、念k(1)定义：一般地，如果两个变量 X, y 之间的关系可以表示成y( k 为常数，kx工 0)的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。(2)自变量 x 的取值范围是 x丰0，函数 y 的取值范围是 yz0。3. 反比例函数的几种等价形式ky 是 x 的反比例函数=y(kz0)：=y = kx (k 工 0) = xy = k(kz0)=变量 yx与 x 成反比例(比例系数为 k)。4. 反比例关系解析式的确定k由于反比例函数的解析式y中只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了反xk比例函数，因而一般只需给出一组x, y 的对应值，然后代入 y =k中即可求出 k 的值。从x而可

3、确定反比例函数的解析式。5. “反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系我们在小学里学过反比例关系：如果xy = k ( k 为常数，且 kz0),则 x 与 y 这两个量成反比例关系。这里的 x, y 既可代表单独的字母，也可表示其他代数式。比如y+3 与 xk-11 成反比例，则y 3二，但不能说是反比例函数。又如， y 与 x2成反比例，则x 11ky二号，但同样不能说 y 是 x 的反比例函数。成反比例的关系式，不一定是反比例函数，x但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系。用心爱心专心6. 反比例函数图像的画法用心爱心专心反比例函数的画法与一次函数类似，步骤为列表、描点、连线。列表时

4、，因为反比例函数的自变量的取值范围是x 工 0，故在画反比例函数的图像时,为了使描出的点具有代表性，x 应该取一部分正数，取一部分负数，一般是正数、负数各取一半，并且互为相反数。这样既可简化运算，又便于描点。描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线。连线时，所连的线必须 是“光滑的曲线”。比如，画反比例函数y 二 E 的图像。x列表:x-6-543211234566 y = 一x-11.21.52366321.51.21描点，连线:7. 反比例函数的性质：k亠4反比例函数：y (kH0)(或 y = kx , xy = k) x图像：双曲线性质：(1) k 0 时,【典型例题】y

5、随 x 的增大而减小。y 随 x 的增大而增大。用心爱心专心y = (a -2)xa，当x 0时，y 随 x 的增大而增大，求函数关系式。例 1.已知反比例函数用心爱心专心分析：根据反比例函数的定义性质来解此题。解： y =(a _2)x(是反比例函数，厂2a 6 = 1,-*a -2 工 0当x - 0时，即在第一或第四象限内，y随x的增大而增大；- 6 = -1a = 5厂所以a -2：0，二二二 a=-：；5 a 一 2 ；：0Ja :2即当a = -、.5时，y随x的增大而增大。k方法点拨：函数y=kxm是反比例函数，则m=-1, kH 0 ；若 ym是反比例函数,x则m = 1, k

6、H 0。k例 2.反比例函数y (k 0)在第一象限内的图像如图所示，xPQ 垂直于 x 轴， 垂足为 0。 设厶 POQ 的面积为 S,那么 S 的值与 有关系，请写出 S 与 k 之间的关系式；若没有关系，请说明理由。P 为该图像上任意一点,k 的值是否存在关系？若用心爱心专心5分析：点 P 在双曲线上，贝 U P 点坐标适合函数y, P、Q 关于原点 0 对称，所以x0P= 0Q，且 0A 是厶 PBQ 的中位线。5解：设 P 点坐标为（a, b）,贝 U b =aab = 5,即：OA AP = 5又 P、Q 关于原点 O 对称 OP= OQ又 BQ / x 轴，所以 OA 是厶 BP

7、Q 的中位线又因为 P 点在第一象限，所以x 0, y 0,1k因此可以得到SPOQxy，而由y可2xS 与 k 的关系式。1解：S 与 k 之间的关系式为S k2设 P 点的坐标为 P (x, y),贝UOQ =|x|, PQ =|y|点 P 在第一象限内，x 0, y 0 OQ = x, PQ= y11- SPOQ OQ PQ xy221又 xy = k,. SA POQ= ? k以得到 xy = k，于是可以确定例 3.如图，过原点 O 作一直线与双曲线5y交于 P、Q,过 P、Q 分别做 x 轴，y 轴的x垂线，交于 B 点，求三角形 PQB 的面积。分析：因为SPOQ用心爱心专心 B

8、Q = 2OA = 2a,同理可求 PB = 2b11PBQ PB BQ 2a 2b 二 2ab 二 1022例 4.已知反比例函数y与一次函数y二kx b的图像都经过点（一 2, 1）,且在xx= 3 时两函数值相等，求这两个函数的解析式。分析：确定反比例函数解析式，只需知道一个点坐标，而确定一次函数解析式，则需 两点坐标。解：由题意知点（一 2, 1）在反比例函数y =m图像上x则m=（-2）X（-1） =2所以反比例函数解析式为y =2x2 2又因为在 x= 3 时，y函数值为一x3根据 x = 3 时，两函数值相等2可知 x = 3 时，y满足一次函数y = kx b3并且点（一 2,

9、 1）在一次函数y = kx b图像上2_ =3k +b则丫3厂1 = 2k +b用心爱心专心k3b = 1.312例 5. (2003 海南)如图所示，已知反比例函数y的图像与一次函数y = kx4的x(1)求这个一次函数的解析式;(2)求厶 POQ 的面积12分析：由已知条件 P 点的纵坐标是 6，而点 P 在反比例函数y上，可以求得 P 点x的横坐标为 x = 2，即 P 点坐标为(2, 6)。又 P 点也在一次函数y = kx 4上，把点(2, 6)代入即可求出一次函数的解析式。 POQ 的面积可以分成厶 PON 与厶 QON 两部分，这两部分的面积能通过 P、Q 两点的坐标 得到。1

10、2解：(1 点 P 在反比例函数y的图像上，且其纵坐标为 6,x126x解得x = 2二 P ( 2, 6) 又点 P 在函数y = kx 4的图像上，6 = 2k 4解得 k = 1.所求一次函数的解析式为 y= x + 4y =x+4(2)解方程组12，得|y =L x点 Q 的坐标为(一 6, - 2)令y = 0，代入y = x 4，解得x = -4函数y=x 4的图像与 x 轴的交点是 N解得:所以，一次函数解析式为1 1 y x -33Xt_ -6iy12，(-4, 0)边上的高分别为 PA = 6, QB = 2,图像相交于 P、Q 两点，并且用心爱心专心 PON 和厶 QON

11、的公共边 ON = 4, ON用心爱心专心=SPONSA QON二1X4X6- X4X2 = 162 2（1）禾U用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2） 根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围。分析：要求反比例解析式，须知它图像上一点的坐标即可。而要求一次函数的图像，须知道一次函数图像上的两点即可。点A、B 在一次函数图像上，点 B 点 A 又都在反比例图像上，故可先求出 m、n 的值，得 A、B 点坐标。由图像可看出，在第二象限内，当X：-2时，一次函数的图像在反比例函数上方，即 一次函数的值大于反比例函数的值。当-2：x : 0时，一次函数的值小于反比例函

12、数的值。同理可讨论第四象限内的情况。解：（1）由图像可知，点 A 在反比例函数的图像上。八、m /口m把A（-2, 1）代入 y ，得 1 ，二 m = -2x-2反比例函数的解析式为y - -2。x又点 B （1, n）在反比例函数的图像上，2/口把点 B （1, n）代入y，得 n - -2x点 B 的坐标为（1，- 2）把点 A （- 2，1 ），B （1，- 2）代入一次函数y = kx b，得-2k b =1 k - -1 0, a 0; B. av0, b 0； C.排除；D. av0, bv0 选 B4m如图所示，在同一坐标系中，正比例函数y = (m-1)x与反比例函数y的图像

13、x4m e乩分析：观察y图像。xA、B 中 m0而(m 1)不明确是大于 0 还是小于 0排除 A、BC、D 中，mv0,贝Um- 1v0,选 C。k2函数y =kiX-ki(ki: 0)与 y2(k2：0)在同一坐标系中的图像大致是(又 ki 0应选 D用心爱心专心例 8.已知y =3y1-2y2，且 y1与 x2成正比例, =2 时，y= 2。求当 x= 3 时 y 的值。分析：因为y1与 x2成正比例，V2与 x 成反比例，可设y k1x2, y2二聖，所以xy =3kjx2- 坐，然后将 x 与 y 的对应值代入即可求得 ki, k?的值，从而得 y 与 x 的函x数表达式。利用所求的

14、函数表达式进而可求出当x=3 时对应的 y 值。2k?解：设yi= kiX,y?-,x y=3yi_2y2，22k2y = 3k1xx分别将 x, y 的对应值代入函数式中得：1 =3ki-2k2J2 = 12 匕 k2k1解这个方程组得:324函数 y 与 x 的关系式为：y x7 7x当 x = 3 时，y = ?x32-=8577X321说明：（1）用待定系数法求函数关系式是常用的重要方法，一定要掌握好；（2 ）本题 yi与 x2之间的正比例系数和 y 与 x 之间的反比例系数不一定相等，应分别设为ki, k?,2k若只用一个比例系数 k，把函数关系式设为y =3kx2一空，那是错误的，

15、这一点要特别引x起注意。k例 9. （2000 年北京市西城区）已知：反比例函数y和一次函数 y= mx + n 的图像的x一个交点为 A （- 3, 4），且一次函数的图像与 x 轴的交点到原点的距离为 5，分别确定反 比例函数与一次函数的解析式。分析：理解一次函数的图像与 x 轴交点到原点的距离为 5,可知此点坐标为（5, 0）或k（-5, 0），又因为反比例函数y与一次函数y = mx n相交，可判断 A 点坐标的确x切值。k解：由y的图像过（一 3, 4）y2与 x 成反比例，若x = 1时，y= 1; x用心爱心专心x/口k得4,k =-12-312所以y =x用心爱心专心所以一次函

16、数解析式为y二-丄x2 2例 10.已知一次函数y = kx b的图像经过点 A (0, 1)和点 B (a, 3a), av0,且3点 B 在反比例函数y的图像上。x(1) 求 a 的值；(2) 求一次函数的解析式；(3)利用函数的图像，求当这个一次函数y 的值在-1岂y 3范围内，相应的 x 值的 取值范围；(4)如果P(m, yj ,Q(m 1, y?)是这个一次函数图像上的两点，试比较y1与 y?的 大小。3r r c32解：(1)因为点 B ( a, 3a)在y上，贝V-3a, a = 1,a = 1。xa又 av0,所以 a= 1;(2) 因为直线 y = kx + b 过点(0,

17、 1 )和(一 1, 3)f b = 1k - 2所以解得-k +b = 3 b =1故 y = 2x + 1;(3) 因为 y = 2x + 1 是减函数，当 y = 1 时，x = 1，当 y = 3 时，x = 1 所以相应的 x值为1一x一-1;(4) 因为m：m 1,所以 y1y2。8例 11. (2003 年四川省)如图所示，已知一次函数 y = kx b 的图像与反比例函数 y =-x的图像交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是一 2。求：(1)一次函数的解析式;(2) AOB 的面积。4 =-3m n0 = 5m n用心爱心专心解：(1)因为 A 点横坐标

18、为2，则纵坐标为 4, B 点纵坐标为2，则横坐标为 4。所以 A ( 2, 4), B (4, 2)故一次函数解析式为：y - - x 2；(2)设直线y二-x 2交 x 轴于 C,交 y 轴于 D。 则 C (2, 0), D ( 0, 2)所以SAAOB =SAAOCSACODSABOD111X2X2丄x2X2- x2x2222=6故厶 AOB 的面积为 6。例 12.已知：如图所示，正方形 OABC 的面积为 9,点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，kk点 C 在 y 轴上，点 B 在函数y (k 0, x 0)的图像上，点 P (m, n)是函数y上xx的任意一点，过 P 作

19、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F,并设矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合的部分面积为SO(1)求 B 点的坐标和 k 的值；9(2)当S时，求点 P 的坐标；2(3)写出 S 关于 m 的函数关系式解：(1)依题意：设 B 点坐标为(X。,y。),所以S正方形OABC=xy0=9,冷二y。=3即B(3, 3)，所以 x0y0=k, k = 9;9(2) P (m, n)在y上，xS矩形OERF-mn-9，所以S矩形OAGF-3n4 - -2k b-2 =4k b1 k= 1解得b=2用心爱心专心9由已知可得S = 9 - 3n =233解得n , m=6，所以 R(6, -)2

20、23如图(a)所示，同理可求得P2(3 ,6)用心爱心专心（3）如图（b）所示，当0：m：3时， 因为点 P 坐标为（m, n）所以S矩形OEGC=3mS = S矩形OEPF一S矩形OEGC1线 PA 交双曲线y二丄于点 A，连结 0A。（1） 如图，当点 P 在 x 轴的正方向上运动时，Rt AOP 的面积大小是否变化？若不 变，请求出 Rt AOP 的面积；若改变，试说明理由。（2） 如图，在 x 轴的点 P 的右侧有一点 D，过点 D 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B， 连结BO 交 AP 于点 6 设厶 AOP 的面积是 S1,梯形 BCPD 的面积为 S?，贝 U S1与 S?的大

21、小关系是 S1S2（填 “”“v”或“=”）。1（3） 如图，AO 的延长线与双曲线y的另一个交点为 F, FH 垂直于 x 轴，垂足x为点 H，连结 AH、PF，试证明四边形 APFH 的面积为一个常数。分析：由图形观察，点 A 的横坐标等于 OP 的长，纵坐标等于 AP 的长，而(bl所以如图所以S = 9一3m（0：m 3）（c）所示，当m_3时，因为 P 点坐标为（m, n）9S矩形OAGP=3n，mn=9, n所以S=93 n-927m例 13.（2003 年泰州市）如图所示，点P 是 x 轴正半轴的一个动点，过点P 作 x 轴的垂c0用心爱心专心111SAOP= OP AP= x

22、y=，所以它的大小是一定值。在（2）中由于222SAOPBOD，S梯BCPD : SBOD，所以S1S2。在图（3）中易知四边形 APFH 是一平行四边形，故可知其面积为SAAOP的 4 倍，为一常数。1一1解答：（1）SRAOPOPAP,设 A 点坐标为（X, y），贝yy, xy = 1,2x11所以SAOPxy。故当 P 在 x 轴的正方向上运动时，Rt AOP 的面积不变，总等于221-。2（2）由（）知SAOP二SABOD，而SBCPD；：SA BOD，所以S1-S2（3）因为 A、F 关于 O 中心对称，FH 丄 x 轴，易知 AOPFOH，得 OP= OH，所 以四边形 APFH

23、 是平行四边形，其面积为SAAOP的 4 倍，即为 2，故四边形 APFH 的面积为 一常数。【模拟试题】一、填空：1. 已知 y 与（2x+1）成正比例，且当 x = 1 时，y = 2,那么当 x = 0 时，y=_3k _ 62. 已知函数y在每个象限内，y 随 x 的减小而减小，则 k 的取值范围是xk3. 已知正比例函数y =kx（k 0）,y 随 x 的增大而减小，那么反比例函数y，当x 0 x时，y 随 x 的增大而_24. 若反比例函数y=（2m-1）xm的图像在第一、三象限，则函数的解析式为 _5. 已知 2y 与（3x+1）成反比例，且当 x= 1 时，y= 8，那么当 x

24、= 5 时，y=_6. 写出一个反比例函数，使它的图像在第一、三象限，这个函数解析式是_k7. 反比例函数y=图像经过点（a, -2a），那么 k_ 0。xk28. 反比例函数y在 x= 2 处自变量增加 1，函数值相应地减少了，则 k =_x39. 已知反比例函数y=kx1_2k，当XAO时，y 随 x 增大而_2k2k d10.已知函数 y =（k -1）x，当 k =_ 时，它的图像是双曲线。二、选择题：1. 下列说法中：k1反比例函数y的图像是轴对称图形，且有两条对称轴；xk用心爱心专心2反比例函数y，当k：0时，y 随 x 的增大而增大；x3若 y 与 z 成反比例，z 与 x 成反

25、比例，则 y 与 x 也成反比例；4已知xy =1，贝 U y 是 x 的反比例函数。正确的个数有（)A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2.反比例函数y二k2（kH0）的图像的两个分支分别位于（x)用心爱心专心A.第一、二象限C.第二、四象限B.第一、三象限D.第一、四象限y =m（x 0）:y - -mx 1:y = mx:xy=（m，1）x中，y 随 x 的增大而增大的函数有（A. 1 个C. 3 个3若m：-1，则下列函数B. 2 个D. 4 个4.如果正比例函数y二kx的图像经过第二、四象限, 那么对于反比例函数=-，下x列说法正确的是（ 它的图像在第二、四象限，且在每一

26、个象限内， 它的图像在第二、四象限，且在每一个象限内， 它的图像在第一、三象限，且在每一个象限内， 它的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，kA.B.C.D.y 随 x 的增大而增大 y随 x 的增大而减小 y随 x 的增大而增大 y随 x 的增大而减小5.如图 1 所示，P 是反比例函数y的图像上的一点，过 P 点分别向 x 轴、y 轴作垂x6，则这个反比例函数的解析式为（线，所得到的图中阴影部分的面积为6A.y 二x3C. y 二xB.D.图 16 y 一x4y 二一x16.如图 2 所示，正比例函数y=kx（k - 0）与反比例函数y的图像相交于xS（A. S = 1C. S = 3过

27、 A 作 x 轴的垂线交7.在函数y2-aD.不能确定（a 为常数）的图像上有三点（-3,y1） , （-1,y2）,则函数值y y2,A. y2:y3 :xy3的大小关系是（）yiB.wy2 : yi用心爱心专心用心爱心专心C.力：y2: y3D.y3：yi：y2k8.已知函数y的图像经过点（一 2, 3），那么下列各点在函数x上的是（）A. A （4, 1）B. B (2,-1 )3C.C( ,-11)2D.D(-3,-21)9已知一次函数y二kx-2中，y 随 x 的增大而减小，那么反比例函数A.当x 0时，y 0B. 图像在第一、三象限C. 图像在第二、四象限D.在每个象限内 y 随 x 的增大而减小k10.已知反比例函数y （kM0）中，当x 0时 y 随 x 的增大而增大，那么一次函数xy = kx - k的图像经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限