弹塑性力学11塑性极限分析

1、一基本假定一基本假定v平截面假设：在变形过程中，平截面假设：在变形过程中，变形前为平面的横截面，变形变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且与变形后后仍保持为平面，且与变形后梁的轴线垂直。梁的轴线垂直。bhzyPxl/2l/2Pl/4s sxs sx zx 0),( zxyzxyzyxzx s ss ss s221d wdxv 纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。横截面上只有正应力。v 小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺

2、寸进行计算。小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。二弹性阶段vMises：屈服条件：屈服条件：IMzEzExx s s123bhI 2max6bhMx s ssxs ss s maxsebhMs s62 弹性极限弯矩弹性极限弯矩hEhEIMksseee s s 221 seelbhlMPs s3242 弹性极限载荷弹性极限载荷 Pxl/2l/2ss sss sbhzyss ss ss 三弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）esMM 塑性区扩展塑性区扩展ss sss sss seh2/hz 2/022hhshxseezdzbzdzbMs ss s 2/022hhshesseezdzbzdzhzbMs ss

3、 s 224312esshhbM s ssebhMs s62 22432hhMMeesPxl/2l/2zo弹塑性区交界线：弹塑性区交界线： xlPMx22eeMxlPhh2)2(321 Pxl/2l/2zo弹塑性区交界线：弹塑性区交界线： 22lPMeeeMxlPhh2)2(321 x2hhe x2hhe 0 xeeMPlhh232 xPl/4eM四全塑性阶段Pxl/2l/2zo0 x0 eh6lx 224312esshhbM s s23epMM sPbhMs s42 塑性极限弯矩塑性极限弯矩sPPlbhlMPs s24 塑性极限载荷塑性极限载荷 ss sss sss s2/hz422lPMl

4、PMeeP 6l 确定塑性区位置确定塑性区位置 v塑性铰：在全塑性阶段，跨中塑性铰：在全塑性阶段，跨中截面的上下两塑性区相连，使截面的上下两塑性区相连，使跨中左右两截面产生像结构跨中左右两截面产生像结构（机械）铰链一样的相对转动（机械）铰链一样的相对转动塑性铰。塑性铰。v 特点：特点：塑性铰的存在是由于该截面上的塑性铰的存在是由于该截面上的弯矩等于塑性极限弯矩；故不能弯矩等于塑性极限弯矩；故不能传递大于塑性极限弯矩的弯矩。传递大于塑性极限弯矩的弯矩。塑性铰是单向铰，梁截面的转动塑性铰是单向铰，梁截面的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致。方向与塑性极限弯矩的方向一致。否则将使塑性铰消失。否则将使塑

5、性铰消失。Pxl/2l/2zo6lx Pxl/2l/2zPlM max 例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑性极限载荷、弹塑性分界线。性极限载荷、弹塑性分界线。Pxlzo解：解：spbhMs s42 maxMlMPmax sebhMs s62 bhzyselbhPs s62 splbhPs s42 lPMlPMeep 3l PxlzopMss sss sss s2/hz 22432hhMMeeslPxlPhhee)(2321 PePPP eM xpsMM 32 pePP（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性）分析三个状态：弹性

6、状态、弹塑性状态、塑性状态。状态。（2）了解整个加载过程。）了解整个加载过程。（3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。 理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。塑性极限状态对应的载荷。塑性极限状态对应的载荷。（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。（2）变形是微小的。）变

7、形是微小的。（3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）（1）平衡条件：）平衡条件：平衡平衡微分方程和微分方程和静力静力边界条件。边界条件。（2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（的条件（屈服屈服条件。）条件。）（3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重合合几何几何方程，且被外界约束

8、的物体表面上满足方程，且被外界约束的物体表面上满足位移位移和速度边界条件。）和速度边界条件。）满足平衡条件极限条件破坏机构条件的解。满足平衡条件极限条件破坏机构条件的解。v虚功原理：虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变能）。能）。VSTFiSuui VijijSiiViidVdSuFdVufT* s s虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。证明：证明：

9、VijijSiiViidVdSuFdVufT* s s平衡方程：平衡方程：0 ijijfxs s边界条件：边界条件：ijijFl s sGreen 公式：公式： SjVjdSfldVxf TSijijViidSuldVufs s TSiiViidSuFdVuf VjiijViidVxudVuf)(s s VjiijViijijdVxudVufxs ss s VijijdV s sjiijxjjiijxuxus ss s 21 xjjijiijijijxuxus ss s s s21体力为零时：体力为零时： VijijSiidVdSuFT* s sv 虚功率原理：虚功率原理：在外力作用下处于平衡

10、的变形体，若给物在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应力的虚功率。力的虚功率。 VijSiiViidVdSuFdVufijT*0* s s体力为零时：体力为零时： VijSiidVdSuFijT*0* s s:*0iijuij s s满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场）满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场）虚应变率场（机动允许的）虚应变率场（机动允许的）虚速度场（机动允许的）虚速度场（机动允许的）1. 下限定理：下限定理：静力允许的内力场：满足平衡条件（平衡微分方程和静力允许的内力场

11、：满足平衡条件（平衡微分方程和面力边界条件），不违背屈服条件的内力场。面力边界条件），不违背屈服条件的内力场。 sPi s : 静力允许载荷系数静力允许载荷系数 放松破坏机构条件（几何方程、位移和速度边界条放松破坏机构条件（几何方程、位移和速度边界条件）件）真实内力场：满足静力平衡条件、屈服条件、破坏机真实内力场：满足静力平衡条件、屈服条件、破坏机构条件的内力场。构条件的内力场。真实内力场一定是静力允许的内力场。真实内力场一定是静力允许的内力场。 塑性极限载荷系数：塑性极限载荷系数： l = s 下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限

12、载荷的下限。是极限载荷的下限。 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限：静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l 证明：证明： s l极限状态下：极限状态下：liliijijPu s s,静力允许的内力场：静力允许的内力场：sisPij s s,0ij 0ijs sijs s0ijijs ss s q qv 虚功率原理：虚功率原理： VijSiidVdSuFijT*0* s s VijijSiisldVdSuPijT s ss s 0v 由由Druker 公设：极限曲面是外凸的。公设：极限曲面是外凸的。 00 ijijij s ss s0 TSiidSuP Pi 在真实位移速度上的功率为正

13、在真实位移速度上的功率为正 s l2. 上限定理：上限定理：机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移（速度）场。（速度）场。 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上做功为正做功为正上限定理：上限定理：任何一个机动允许的位移（速度）场所对任何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。应的载荷是极限载荷的上限。 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限：机动允许载荷系数是极限载荷系数

14、的上限： k l 破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。 k P k ：机动允许载荷系数：机动允许载荷系数 破坏机构所对应的内力场不一定满足极限条件，一般情况下：破坏机构所对应的内力场不一定满足极限条件，一般情况下： k l 破坏机构是极限状态下的机构，对应的内力场是静力允许的：破坏机构是极限状态下的机构，对应的内力场是静力允许的： l = k 证明：证明： k l设机动允许的位移（速度）场设机动允许的位移（速度）场*iu 破坏载荷：破坏载荷：ikP *ij ijs s*ijs sijijs ss s *q qv 虚功率原理：虚功率原理： VijSii

15、kdVdSuPijT* s s VijijSiilkdVdSuPijT* s ss s v 由由Druker 公设：极限曲面是外凸的。公设：极限曲面是外凸的。 0* VijijdVij s ss s0* TSiidSuP Pi 在真实位移速度上的功率为正在真实位移速度上的功率为正应力场：应力场：*ijs s VijSiildVdSuPijT* s s k l下限定理：下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷任何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限。是极限载荷的下限。 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限：静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l 上限定理：上限定理：任何

16、一个机动允许的位移（速度）场所对任何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。应的载荷是极限载荷的上限。 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限：机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l s l k s l k ：同时满足三个条件，同时满足三个条件， l 为完全解。为完全解。 s l ： 下限解静力法。下限解静力法。 l k ：上限解机动法。上限解机动法。1. 静力法静力法（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力）场。（建立静力允许的应力场）力（内力）场。（建立静力允许的应力场）（2）由静力允许的应力（内力

17、）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷，且）场确定所对应的载荷，且为极限载荷的下限：为极限载荷的下限：Pl- = sP（3）在多个极限荷的下限解中取：）在多个极限荷的下限解中取： Plmax- （4）检查：若结构成为破坏机构，存在一个对应的机动允）检查：若结构成为破坏机构，存在一个对应的机动允许的位移场，则：许的位移场，则：Plmax- =Pl 。否则：。否则： Plmax- 为为Pl 的一个的一个下限解（近似解）下限解（近似解） 2. 机动法机动法（1）选择一个破坏机构（几何上允许的、外力做功为正），）选择一个破坏机构（几何上允许的、外力做功为正），建立机动允许的位移场。建立机动允许

18、的位移场。（2）由内功率等于外功率求破坏载荷，且为极限载荷的上限：）由内功率等于外功率求破坏载荷，且为极限载荷的上限：Pl+= kP（3）在多个破坏荷中取最小值：）在多个破坏荷中取最小值： Plmin+ （4）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件，则：）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件，则：Plmin+ =Pl 。否则：。否则： Plmin+ 为为Pl 的一个上限解（近似解）的一个上限解（近似解） 一一静定静定梁的极限分析梁的极限分析v 极限弯矩：梁弯曲时极限弯矩：梁弯曲时某截面某截面上的正应力值处处等于屈服极限（屈服上的正应力值处处等于屈服极限（屈服点），则该截面屈服，它

19、不能继续抵抗弯曲变形，对应的弯矩值称点），则该截面屈服，它不能继续抵抗弯曲变形，对应的弯矩值称为极限弯矩为极限弯矩Mp。v 塑性铰：凡弯矩值达到极限弯矩塑性铰：凡弯矩值达到极限弯矩Mp的截面，都将丧失继续抵抗弯曲的截面，都将丧失继续抵抗弯曲变形的能力，即在保持弯矩值为变形的能力，即在保持弯矩值为Mp的情况下，截面两侧可无限地顺的情况下，截面两侧可无限地顺着弯矩的转向相对转动，形成尖角，使挠曲线不光滑，曲率趋于无着弯矩的转向相对转动，形成尖角，使挠曲线不光滑，曲率趋于无穷大，这同该截面处两侧杆用铰连接相似，故称为塑性铰。穷大，这同该截面处两侧杆用铰连接相似，故称为塑性铰。（1）单向转动。）单向转

20、动。（2）在塑性铰处有弯矩作用。）在塑性铰处有弯矩作用。v 静定结构的基本特点：静定结构的基本特点：（1）无多余联系，内力可以由静力平衡方程唯一确定，内力与结构的）无多余联系，内力可以由静力平衡方程唯一确定，内力与结构的变形无关（小变形）。变形无关（小变形）。（2）在静定结构中，只要有一个（一部分）截面屈服，结构就变成机）在静定结构中，只要有一个（一部分）截面屈服，结构就变成机构（破坏机构），且最先屈服的截面总是内力最大的截面。构（破坏机构），且最先屈服的截面总是内力最大的截面。bhzyPxl/2l/2Pl/4v 静定梁的极限分析方法：静定梁的极限分析方法：1.作静定梁的弯矩图。作静定梁的弯矩

21、图。 2. 令最大弯矩等于塑料性极限令最大弯矩等于塑料性极限弯矩，求极限载荷。弯矩，求极限载荷。PMM maxPMPl 4lMPpl4 v 静定梁的内力是静力允许的，对应的机构又是机动允许的，得静定梁的内力是静力允许的，对应的机构又是机动允许的，得到的极限载荷是完全解。到的极限载荷是完全解。v 例：确定下列静定梁的极限载荷。例：确定下列静定梁的极限载荷。PMPlM maxlMPpl Pl（1）PlPMqlM 22max22lMqpl ql（2）ql2/2v 例：确定下列静定梁的极限载荷。例：确定下列静定梁的极限载荷。PMqlM322max 26lMqpl ql2/2ql/2（3）l/2ABCA

22、B：3MpBC：Mp解：解：ql2/8AB与与BC段截面不同，塑性段截面不同，塑性铰可能出现在铰可能出现在AB段也可能出段也可能出现在现在BC段段。作弯矩图。作弯矩图。塑性铰出现在塑性铰出现在AB段时：段时：塑性铰出现在塑性铰出现在BC段时：段时：PBMqlM 8228lMqpl 26 lMqpl v 超静定结构的基本特点：超静定结构的基本特点： （1）有多余联系，内力仅由静力平衡方程不能完全确定，）有多余联系，内力仅由静力平衡方程不能完全确定，内力与结构的变形有关，所以内力与梁的刚度有关。内力与结构的变形有关，所以内力与梁的刚度有关。 （2）在超静定梁中，当梁内截面屈服，即出现塑性铰时，）在

23、超静定梁中，当梁内截面屈服，即出现塑性铰时，由于梁的刚度发生变化，内力会重新分布，所以梁达到由于梁的刚度发生变化，内力会重新分布，所以梁达到塑性极限状态时塑性铰的位置无法预先知道，应按照逐塑性极限状态时塑性铰的位置无法预先知道，应按照逐渐加大载荷的方法逐步确定，但计算不便。渐加大载荷的方法逐步确定，但计算不便。 （3）工程中采用可直接计算极限载荷的机动法和静力法。）工程中采用可直接计算极限载荷的机动法和静力法。v 确定方法：确定方法：二二超静定超静定梁的极限分析梁的极限分析（1）机动法）机动法设定梁的破坏机构图设定梁的破坏机构图利用功能有关系计算破坏载荷利用功能有关系计算破坏载荷对于梁的所有可

24、能的破坏机构，计算相应破坏载荷对于梁的所有可能的破坏机构，计算相应破坏载荷Plmin+ =Pl（2）静力法）静力法根据梁的支承条件及载荷情况画弯矩分布图根据梁的支承条件及载荷情况画弯矩分布图使梁内各处弯矩值不超过极限弯矩，此时的载荷为下限值使梁内各处弯矩值不超过极限弯矩，此时的载荷为下限值找出梁的所有可能的静力允许的弯矩分布，计算相应载荷找出梁的所有可能的静力允许的弯矩分布，计算相应载荷Plmax- =PlPMM 1:令令lMPpl3 例题例题1：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，试求其塑性极限载荷，试求其塑性极限载荷Pl 。M1PllABC解：解：v静

25、力法静力法作作M 图图PM12Pl221MPl M1PMMPl 221q q PlPWe lMPWWplie3 例题例题1：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，试求其塑性极限载荷，试求其塑性极限载荷Pl 。PllABC 取取A、C 处为塑性铰，画破坏处为塑性铰，画破坏机构图（保证外力作正功）机构图（保证外力作正功）M1221MPl PABC2q2qq qq qq q2 PPiMMWq qPiMW3 lMPpl3 lMPpl3 解：解：v机动法机动法v讨论：讨论：v 设梁的超静定次数为设梁的超静定次数为 n ，形成塑性铰的数目为形成塑性铰的数目为 r ，一般

26、情况下当，一般情况下当：r = n+1 时，形成破坏机构。时，形成破坏机构。v 塑性铰的位置：弯矩为驻值的截面处（固定端、集中载荷处）。塑性铰的位置：弯矩为驻值的截面处（固定端、集中载荷处）。v 在确定静力允许的内力场时，若能同时考虑形成破坏机构所需的在确定静力允许的内力场时，若能同时考虑形成破坏机构所需的塑性铰数目，则得到的解答可接近或等于完全解。塑性铰数目，则得到的解答可接近或等于完全解。v 若确定的弯矩绝对值等于若确定的弯矩绝对值等于MP 的截面数目小于塑性铰数目，则还应的截面数目小于塑性铰数目，则还应检查其余弯矩为驻值的截面，其弯矩值应不超过检查其余弯矩为驻值的截面，其弯矩值应不超过M

27、P ，否则内力场，否则内力场是静力不允许的，求得的载荷也非下限解。是静力不允许的，求得的载荷也非下限解。PllABCM1221MPl P ABC2q2qq q)1(222 lMqWWplie例题例题2：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，用机动法试求其塑性极，用机动法试求其塑性极限载荷的上限值限载荷的上限值 。x解：解：v确定塑性铰位置确定塑性铰位置ll)1( q q qlABdxABqqq qD10 lv计算内力功计算内力功v计算外力功计算外力功v求极限载荷求极限载荷 lexqdxW q q0 llxxqd 0 x 22qlqq )( q qq q PP

28、iMMWpMq q 12220 lqC22min657.11)12(2lMlMqppl PCMlPR 2)(:令令lMPpl6 例题例题3：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为MP，试用静力法和机动法求其，试用静力法和机动法求其塑性极限载荷塑性极限载荷Pl 。解：解：v静力法静力法作作M 图图2PlPCMlRP 4)2(Pl/2ABCPl/2l/2l/2PPRC2lRC2)(lPRC 4)2(lRPC 4)2(lRPC lMPWWplie6 Pl/2ABCPl/2l/2l/22q2qq qv机动法机动法q q2lPWe q qq q2 PPiMMWABC（1）单跨破坏）单跨破坏（2）整体破坏）整体破坏AB