第18讲函数y=Asin(ωx+φ)图象及其应用

1、例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8 【例 1】(1)把函数 ycos2x1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( ) (2)(13 浙江高考) 函数 f(x)sinxcos x32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A，1 B，2 C2，1 D2，2 【测量目标】 (1)三角函数图象的变换(2)两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法 【解题指南】 (1)把函数 ycos2x1 的图象上所有点

2、的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得：y1cosx1， 向左平移 1 个单位长度得： y2cos(x1)1， 再向下平移 1 个单位长度得： y3cos(x1) 令x0，得：y30；x21，得：y30；观察即得答案，故选 A.(2) f(x) sinxcosx32cos2x12sin2x32cos2xsin(2x3)，所以最小正周期为 T22，振幅为 A1.故选 A. 反思提炼： 在三角函数图象变换时要牢记其转换规律，上加下减，左加右减，横坐标扩大则周期扩大，横坐标缩小，则周期变小的原则熟记三角函数两角和与差公式，二倍角公式了解振幅，角频率，初相，相位的含义 例1 变式1 举一反三1

3、例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8变式训练 1.将函数 ysinx 的图象向左平移 (02)个单位后，得到函数 ysin(x6)的图象，则 等于 ( ) A.6 B.56 C.76 D.116 【测量目标】 三角函数图象的变换 【记录空间】 D 【分析】由题意，得 sin(x)sin(x6)，又 02，故 116. 举一反三 1.将函数 ycos 2x 的图象向右平移4个单位， 得到函数 yf(x)sin x 的图象， 则 f(x)的表达式可以是 ( ) Af(x)2cos x Bf(x)2cos x Cf(x)22sin 2x Df(x)22 (s

4、in 2xcos 2x) 【测量目标】 三角函数图象的变换 【记录空间】 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【分析】 平移后的函数解析式是 ycos 2(x4)sin 2x2sin xcos x，故函数 f(x)的表达式可以是 f(x)2cos x. B 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【例 2】设函数 f(x)cos(x)(0，20)的最小正周期为，且 f(4)32. (1)求 和 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图象 【测量目

5、标】 三角函数的性质及其图象 【解题指南】 (1)周期 T2， 2， f(4)cos(24)cos(2)sin 32，20，3.(2)f(x)cos(2x3)，列表如下： 2x3 3 0 2 32 53 x 0 6 512 23 1112 f(x) 12 1 0 1 0 12 图象如图： 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8 反思提炼： 在画三角函数的图象时要学会应用五点画图法，要知道三角函数的最高点，最低点坐标，还有三角函数值等于零的 x 轴坐标，计算要正确，在给定定义域的三角函数，画图象时还要考虑定义域，所画出来的图象不能

6、超出定义域的范围 变式训练 2已知函数 yAsin(x)(A0，0)在同一周期内，当 x9时，取最大值12；当 x49时，取最小值12，则该函数的解析式为 ( ) Ay2sin(x36) By12sin(3x6) Cy12sin(x36) Dy2cos(3x6) 【测量目标】 求三角函数的解析式 【记录空间】 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【分析】由三角函数的图象性质易得出本题答案 B 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【例 3】已知函数 f(x)2

7、3sinx4cosx4sin(2x) (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若将函数 f(x)的图象向左平移4个单位， 得到函数 g(x)的图象， 试画出 g(x)在区间0， 上的图象 【测量目标】 三角函数单调性，以及三角函数的平移 【解题指南】 (1)f(x) 3sin(2x2)sin2xsin2x 3cos2x2sin(2x3)，由22k2x32k2，kZ，得 k12xk512，kZ.故 f(x)的单调递增区间为k12，k512，kZ.(2)g(x)f(x4)2sin2(x4)32sin(2x6)列表作 g(x)在区间0，上的图象如下： x 0 6 512 23 1112 2x6 6

8、 2 32 2 136 2sin(2x6) 1 2 0 2 0 1 变式训练 3.函数 f(x)3sin(2x3)的图象为 C，则下列说法正确的个数为 ( ) 图象 C 关于直线 x1112对称； 函数 f(x)在区间(12，512)内是增函数； 由 y3sin2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C. A0 B. 1 C .2 D3 【测量目标】 三角函数单调性、对称性，三角函数图象的平移 【记录空间】 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【分析】经分析正确，应该是将 y3sin2x 向右平移6个单位故错误，则正确的

9、个数为 2个，故选 C. C 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【解】(1)f(x) 3sinx2sinx 3cosxsinx212sinx32cosx2sinx3.所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)将 f(x)的图象向右平移6个单位， 得到函数 g(x)的图象， g(x)fx62sinx632sinx6.x0，时，x66，76，当 x62，即 x3时，sinx61，g(x)取得最大值是2.当 x676，即 x时，sinx612，g(x)取得最小值1. 变式训练 4.已知函数 f(x)2 3sin(x24)cos(x2

10、4)sin(x) (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位，得到 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间0，上的最大值和最小值 【测量目标】 三角函数的周期与最值，三角函数图象的平移 【记录空间】 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【例 4】(13 浙江模拟)函数 yAsin(x)(A0，0，|2)的一段图象如图所示 (1)求函数 yf(x)的解析式； (2)将函数 yf(x)的图象向右平移4个单位，得到 yg(x)的图象，求函数 g(x)在(0，)内的单调递增区间 【测量目标】 根据图象

11、所给的条件求解析式及单调区间 【解题指南】 (1)由图知 A2，T，于是 2T2，将512，0 代入 y2sin(2x)，得 6 f(x)2sin2x6.或将 y2sin2x 的图象向左平移12， 得 y2sin(2x)的图象 于是 2126， f(x)2sin2x6.(2)依题意得 g(x)2sin2x462sin2x3 由 2k22x32k2， 得 k12xk512 又x(0，) 单调递增区间是：(0，512，1112，) 反思提炼： 在利用图象求三角函数解析式时，一般将图象中所给的纵轴为 0 或横轴为 0 的点代入求解，在计算单调区间要考虑定义域 变式训练 5已知函数 ysin(x)(0

12、，)的图象如图所示，则 _ 第 5 题图 【测量目标】 根据图象求解析式 【记录空间】 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【分析】由图象知 T52.则 w45，ysin45x.由图象知该函数过(34，1)，则35x2k2.则由可得 910. 910变式训练 6函数 f(x)Asin(x)(A， 为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则 f(0)的值是_ 第 6 题图 【测量目标】 根据图象所给的条件求函数的解析式及函数的值 【记录空间】 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5

13、 变式7 变式8【分析】 由图可知：A 2，T471234，所以 T，2T2，又函数图象经过点(3，0)，所以 23，则 3，故函数的解析式为 f(x) 2sin(2x3)，所以 f(0) 2sin362. 62例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【例 5】某港口的水深 y(米)是时间 t(0t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该

14、曲线可近似地看成正弦函数yAsin tb 的图象 (1)试根据以上数据，求出 yAsin tb 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于 4.5 米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(注：船在港口内是安全的，忽略进出港所用的时间)? 【测量目标】 将抽象的实际问题转化成数学问题，利用三角函数求解 【解题指南】(1)从拟合曲线可知：函数 yAsintb 在一个周期内从最大变到最小需 936(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为 12h，因此212，6

15、.又当 t0 时，y10；当 t3 时，ymax13.b10，A13103.所求函数表达式为 y3sin6t10.(2)由于船的吃水深度为 7m，船底与海底的距离不少于 4.5m，故在船舶航行时水深 y 应大于等于 74.511.5(m)由拟合曲线可知，一天24h，水深 y 变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3 点前进港，而从第二个周期中的下午 5 点前离港令 y3sin6x1011.5，可得 sin6x12.2k66x2k56例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8 (kZ)，12k1x12k5(kZ

16、)取 k0，则 1x5，取 k1，则 13x17；而取 k2 时，则 25x29(不合题意)从而可知船安全进港时间为 1 点到 5 点，13 点到 17 点；船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨 1 点(1 点到 5 点都可以)进港，而下午的 17 点(即 13 点到 17 点之间)前离港，在港内停留的时间最长为 16 小时 反思提炼： 在利用三角函数解决实际问题时，要清楚题意，建立合理的三角函数模型，在计算时，要计算准确，考虑全面 变式训练 7如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 yAsin(x)b. (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数

17、解析式 【测量目标】 将抽象的实际问题转化成数学问题，利用三角函数求解 【记录空间】 第 7 题图 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【解】(1)由图知，这段时间的最大温差是 301020()(2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 yAsin(x)b 的半个周期的图象122146，解得 8.由图知：A12(3010)10，b12(3010)20，这时 y10sin(8x)20，将 x6，y10 代入上式可取 34.综上所求的解析式为 y10sin(8x34)20，x6，14 例1 变式1 举一反三1 例2 变式2 例3

18、 变式3 变式4 例4 变式5 变式6 例5 变式7 变式8【解】(1)设该函数为 f(x)Asin(x)B(A0，0，0|)，根据条件，可知这个函数的周期是 12；由可知，f(2)最小，f(8)最大，且 f(8)f(2)400，故该函数的振幅为 200；由可知，f(x)在上单调递增，且 f(2)100，所以 f(8)500.根据上述分析可得，212，故 6，且AB100AB500解得A200B300根据分析可知，当 x2 时 f(x)最小，当 x8 时 f(x)最大，故 sin(26)1，且 sin(86)1.又因为 0|，故 56.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)200sin(6x56)300.(2)由条件可知，200sin(6x56)300400，化简得 sin(6x56)122k66x562k56，kZ，解得 12k6x12k10，kZ.因为 xN，且 1x12，故 x6，7，8，9，10.即只有 6，7，8，9，10 五个月份要准备 400 份以上的食物 变式训练 8为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些