2019秋浙教版八年级上册数学同步测试试题：对点专题提升1——有关全等三角形的开放题与探究题

1、对点专题提升1 有关全等三角形的开放题与探究题教材母题（教材P35探究活动）如图，在4ABC和4DEF中，B, E, C, F在同一条直线上.下面给出四个论断： AB = DE;AC=DF;/ABC=/DEF;BE=CF.任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分 别给出证明.（教材母题图）解：（1）为条件, 为结论;v BE=CF,BE+CE = CF + CE,即 BC=EF,在 ABC和 DEF中, | AB=DE,</ABC= / DEF, Ibc=ef,.ABCADEF(SAS),-，- AC= DF.故本命题为真命题；(2)为条件，为结论；.

2、 BE=CF, . BE+CE=CF+CE,即 BC=EF,'AB=DE,在 AABC 和 ADEF 中，AC=DF, 【BC=EF,.ABCADEF(SSS,丁. / ABC= / DEF.故本命题为真命题；(3)为条件，为结论；无法证明ABCzXDEF,故本命题不是真命题.(4)为条件，为结论；无法证明ABCzXDEF,故本命题不是真命题.综上所述，可得到4个命题，其中真命题有2个.【思想方法】 判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA、AAS HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与， 若有两边一角对应相等时，角必

3、须是两边的夹角.变形条件探索型问题1 .余姚期中如图，下列条件中，不能证明 ABD04ACD的是（D ）A. BD=DC, AB=ACB. /ADB=/ADC, BD = DCC. /B=/C, Z BAD =Z CADD. / B=/C, BD = DC【解析】 全等三角形的判定定理有 SAS, ASA, AAS, SSS根据全等三角形的判定定 理逐个判断即可.2 .台州校级期中如图，在4ABC和4DEF中，/B=/DEF, AB=DE,添加下列一个条件后，仍然不能证明 ABC04DEF,这个条件是（D ）A. /A=/DB. BC=EFC. / ACB=/ FD. AC = DF【解析】.

4、 /B=/DEF, AB=DE,添加/A=/D,利用 ASA可得ABCDEF;添力口 BC=EF,禾I用 SAS可得ABCDEF;添力口/ACB=/F,利用 AAS可得ABCDEF.故选D.3 .杭州临安区期末如图，/C=/D = 90°,添加一个条件：AC=AD 等（答案不唯一）_（写出一个条件即可），可使RtABC与RtABD全等.（第3题图）（第4题图）4 .金华校级期中已知：如图，D, E是4ABC中BC边上的两点，AD = AE,要证明 ABEAACD,应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明.解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：EC=BD或AB = AC或

5、BE=CD或/B=/C或/BAD=/CAE或/BAE= / CAD 等.证明：AD = AE, . ADE=/AED, . EC=BD, .CD = BD, .ABEAACD(SAS).变形结论探索型问题5.杭州上城区期末如图，在 ABC中，/ C = 90°, AC=BC, AD平分/ CAB交BC 于点D, DELAB于点E,有下列说法：CD = BE;/ ADB= 112.5 °AC+CD = AB;若 DEB的面积为1,点P是边AB上的中点，则a ADP的面积为2 +e.其中 正确的是（A ）B.A.C.D.【解析】:ABC为等腰直角三角形，/B=45°,

6、DE=BE,.CD=DE, ；CD = BE,故正确. 1_。. AD 平分/CAB, ./ DAB = /CAB=22.5 ,又./B = 45； .在 4ADB 中，/ ADB= 180 = / DAB/B= 112.5 .故正确.,. ACDAAED(AAS), .ac = ae.又CD = BE,.AC+CD = AE+BE = AB.故正确.DEB为等腰直角三角形， . DE=BE=V2, BD = 2, .BC=V2 + 2, AB = 2 + 272,P 为 AB 中点，.AP=1AB=1 + V2. Saadp=/P DE=；x(1 +也)乂/=1+冬，故错误.（第5题图）（第

7、6题图）6.台州校级期中如图，在RtAABC中，/ B = 45°, AB = AC,点D为BC中点，直角ZMDN绕点D旋转，DM, DN分别与边AB, AC交于E, F两点，下列结论：4DEF 是等腰直角三角形；AE=CF;BE+CF = EF; ®ABDEAADF,其中正确结论是 （C ）A.B.C.D.【解析】. /B = 45°, AB = AC, . ABC是等腰直角三角形, 点D为BC中点， .AD=CD=BD, ADXBC, /CAD = 45°, ./ CAD= /B, / MDN是直角， ./ADF+ /ADE = 90°,B

8、DE+ /ADE=/ADB = 90°, ./ADF= /BDE,ABDEffiAADF 中,/CAD=/B, AD = BD, /ADF = /BDE,.BDEAADF(ASA),故正确; .DE=DF, BE=AF,.DEF是等腰直角三角形，故 正确；. AE=ABBE, CF = AC AF,；AE=CF,故正确； v BE+CF = AF + AE,.BE+CF>EF,故错误.故选C.7.绍兴柯桥区校级期中如图所示，在4ABC中，AB=AC, AD是4ABC的角平分线， DEXAB, DFXAC,垂足分别是 E, F.则下面结论中：DA平分/EDF;AE=AF, DE

9、= DF;AD上的点到B, C两点的距离相等；图中共有 3对全等三角形，正确的 有一一.（第7题图）【解析】 已知DELAB, DFXAC, AD平分/BAC,丁./ EDA= / FDA,正确;可证ADEzXADF,故有AE = AF, DE = DF,正确；AD是4ABC的平分线，AB = AC,根据“三线合一”可知AD是BC的垂直平分线，.AD上的点到B, C两点距离相等，正确；根据图形的对称性可知，图中共有 3对全等三角形，正确.8.台州校级期中如图，4ABC是等边三角形，D, E分别为BC, AC的中点，P是AD 上一动点，当EP+PC最短时，PE, PC满足的数量关系是 PC =

10、2PE .ZJ D第8题答图（第8题图）【解析】:ABC是等边三角形，D为BC的中点,ADXBC, BD=CD,B, C关于直线AD对称， .如答图,连结BE,交AD于点P ；则此时EP+PC最短，.E为AC的中点,BEXAC, / ABE=/CBE=30°, ./PCB = 30°, a Z PCE=30°, . P'C=2P'E.9 .宁波校级期中如图，已知点P为/AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上.爱 动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边 OB上取一点E,使得PE=PD, 这时他发现/ OEP与/ ODP之间有一定的数量关系，

11、请你写出/ OEP与/ ODP所有可 能的数量关系.（第9题图）第9题答图解：数量关系是/OEP=/ODP或/OEP+/ODP=180°.理由：如答图，以。为圆心，以OD为半径作弧，交 OB于E2,连结PE2,根据SAS证£20P0/XDOP,推出E2P=PD,得出此时点E2符合条件，此时/0E2P=/0DP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交0B于另一点Ei,连结PEi,根据等腰三角形性质推出 / PE2Ei= / PE1E2,求出/ OEiP+ /ODP = 180 :10 .乐清校级期中如图，在 ABC中，AB=AC, /A=100°,沿BD对折恰使点A落 在

12、BC边上的E点，EC上有一点F,且DF = CF.求证：DF = AD;(2)猜想：BC与BD + AD的关系，并说明理由.(第10题图)解：(1):/A=100°,AB = AC, a Z C = 40°,又DF = CF, ./ DFE = 80°,BED= /A=100°, ./ DEF=80°, .DE=DF, .DE = AD, .DF=AD.(2)BC= BD+AD.理由：./ DEF= /DFE = 80 ; ./EDF = 20°, ./BDF = 80°, .BD=BF, .CF=DF=AD,BC=BF+F

13、C = BD + AD.11.金华校级期中如图，AD是4ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于F,且有DC = FD, AC=BF.(1)证明： BFDAACD;(2)若 AB = Ji0,求 AD 的长；(3)请猜想BF和AC的位置关系并说明理由.(第11题图)解：(1)证明：:AD是4ABC的高线，.ACD与4BFD都是直角三角形，. DC=FD, AC=BF, RtABFDRtAACD.(2) /RtAACDRtABFD, .AD = BD.在 RtABD 中，AD2+BD2 = AB2,2AD2=AB2,.AD =或；(3)BF，AC.理由:,. ADCABDF, . / EBC=

14、 / DAC.又 vZ DAC + / ACD = 90 ； e / EBC + / ACD = 90 ; ./BEC=90°, .BFIAC.12.台州校级期中(1)阅读理解：如图1,在四边形ABCD中，AB/DC, E是BC的中 点，若AE是/BAD的平分线，试判断AB, AD, DC之间的等量关系.解决此问题可 以用如下方法：延长 AE交DC的延长线于点F,易证AEB04FEC,得到AB=FC, 从而把AB, AD, DC转化到 ADF中即可判断.请将上述方法补充完整；问题探究：如图2,在四边形 ABCD中，AB/DC, AF与DC的延长线交于点F, E 是BC的中点，若AE是

15、/BAF的平分线，试探究AB, AF, CF之间的等量关系，并证明你的结论.(第12题图)解：(1) v AB/ DC, . . ZBAF=ZF, : E是BC的中点，；CE = BE, AAEBffiAFEC 中，./BAF=/F, /AEB=/FEC, BE = CE, .AEBAFEC, .AB=FC,: AE是/BAD的平分线， ./DAF=/BAF, ./DAF = /F,DF = AD, . AD=DC+CF=DC + AB;(2)AB=AF+CF.证明：如答图，延长 AE交DF的延长线于点G,第12题答图: E是BC的中点，；CE = BE,. AB/DC, ./BAE=/G,在

16、AAEB和AGEC中，/BAE=/G, /AEB=/GEC, BE = CE,.AEBAGEC, . AB=GC,AE是/BAF的平分线, ./ BAG= / FAG, ./FAG=/G, .FA=FG, . AB=CG = AF+CF.13.杭州上城区校级期中如图，在 ABC中，BELAC于E,且/ABE=/CBE.(1)求证：AB=CB;(2)若 / ABC = 45°, CD，AB于D, F 为 BC 中点，BE 与 DF, DC 分别交于点 G, H;判断线段BH与AC相等吗？请说明理由；求证：BG2 GE2=EA2(第13题图)第13题答图解：(1)证明：在4ABE与4CB

17、E中,/ABE=/CBE,B BE=BE, l/BEA=/BEC,.ABEACBE(SAS), .AB=CB.(2) BH = AC.理由：./BDC=/BEC=/CDA = 90 °, /ABC = 45 ； ./BCD=/ABC = 45°, /A+/DCA=90°, /A+/ABE=90°, .DB=DC, /ABE=/DCA,在DBH与ADCA中，/DBH = /DCA,B BD = CD,/BDH = /CDA,.DBHADCA(ASA),BH = AC.证明：如答图，连结CG, AG,. AB=BC, BEXAC, .BE垂直平分 AC, .

18、AG = CG,.F点是BC的中点,DB = DC, DF垂直平分BC, .BG=CG, .AG=BG,在 RtAEG 中，AG2GE2=EA2,BG2 GE2=EA2.14.金华校级期中如图，等腰直角三角形ABC中，/ABC=90°,点P在AC上，将4ABP 绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到 CBQ.（第14题图）求/PCQ的度数；当AB = 4, AP ： CP=1 ： 3时，求PQ的长；当点P在线段AC上运动时（P不与A, C重合），请写出一个反映PA2, PC2, PB2之 间关系的等式，并加以证明.解：由题意知，ABP04CBQ, / A= / ACB= /

19、BCQ = 45°, ./ PCQ= /ACB+/BCQ = 90°(2)当 AB = 4, AP： PC=1 ： 3 时，有 AC=4V2, AP=V2, PC = 372, . PQ= PC2+CQ2 =2a/5;(3)存在 2PB2=PA2+PC2易证ABPa是等腰直角三角形，. pq=/2pb,AP= CQ,PQ2= PC2+ CQ2= PA2+ pc2,故有 2PB2=PA2+PC2变形3 条件、结论都探索的问题15.绍兴柯桥区校级期中学完”等腰三角形” 一章后，老师布置了一道思考题：如图1,点M, N分别在正三角形 ABC的BC, CA边上，且BM=CN, AM

20、, BN交于点Q. 求证：/ BQM = 60°.(1)请你完成这道思考题；(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：若将题中 “BM=CN”与"/ BQM = 60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？如图2,若将题中的点M, N分别移动到BC, CA的延长线上，是否仍能得到/ BQM = 60°?图I(第15题图)请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否"： 是 ;上.选择一个给出证明.解：(1)证明：:ABC为等边三角形, .AB=BC, /ABC=/C = 60°,'AB=BC,在AAB

21、M 和ABCN 中，/ABM=/C,LBM = CN,.ABMABCN(SAS), ./ BAM =/CBN,丁. / BQM = / BAM + / ABQ= / CBN+ / ABQ= / ABM = 60°(2)是，证明如下： . /BQM = 60°,BQM=/ABM, ./ BAM+/ABQ=/CBN+/ABQ, ./ BAM =/CBN,、BAM=/CBN,在AABM 和ABCN 中，AB=BC,/ABM=/C,.ABMABCN(ASA),BM=CN;是，证明方法同(1).16 .海宁校级期末探究题：(1)如图1, 4ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P

22、在边BC上，若这两点分 别从C, B点同时出发，以相同的速度由 C向A和由B向C运动，连结AP, BD交于 点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；如果把原题中：“动点D在边CA上，动点P在边BC上”改为“动点D, P在射线 CA和射线BC上运动”，其他条件不变，如图 2所示，两点运动过程中/ BQP的大小 保持不变.求证：/ BQP = 60°(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连结PD 交BC于E”，其他条件不变，如图3,则动点D, P在运动过程中，DE始终等于PE 吗？写出证明过程.图I图2图3(第16题图)解：(1)成立.证明

23、：: ABC是等边三角形,.C=/ABP = 60°, AB=BC,根据题意得CD = BP,.ABPABCD(SAS), . AP=BD;(2)证明：根据题意CP = AD, .CP+BC=AD + AC,即 BP=CD,.ABPABCD(SA9, ./APB= /BDC,APB+/PAC=/ACB=60°, /DAQ=/PAC, ./ BDC+ /DAQ=/BQP = 60°(3)DE=PE.证明：如答图，过点 D作DG/AB交BC于点G,第16题答图 ./CDG=/C=/CGD=60°, /GDE=/BPE, .DCG为等边三角形， .DG=CD

24、= BP, ./DEG=/PEB,.DGEPBE(AAS), .DE = PE.变形图形变化型问题17.杭州临安区期末在直线上顺次取 A, B, C三点，分别以AB, BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D, E.(1)如图1,连结CD, AE,求证：CD=AE;(2)如图2,若 AB=1, BC = 2,求 DE的长；(3)如图3,将图2中的正三角形BCE绕B点作适当的旋转，连结 AE,若有DE2+BE2 = AE2,试求/ DEB的度数.解：(1)证明：:ABD和4ECB都是等边三角形, .AD=AB=BD, BC=BE=EC,/ABD=/ EBC=60

25、76;, ./ABE= /DBC,'AB=DB, 在 AABE 和 ADBC 中，/ABE=/DBC,.BE=BC,.ABEADBC, .AE=DC;(2)如答图，取BE中点F,连结DF ,. BD=AB=1, BE=BC = 2,/ABD=/ EBC=60°, . BF=EF = 1 = BD, /DBF = 60°, .DBF是等边三角形， .DF=BF=EF, /DFB = 60°,./ BFD= ZFED+ZFDE, ./ FDE= /FED = 30°, ./EDB=180° DBE/DEB = 90°, DE =

26、bE2BD2 =722-12 = V3;第17题答图如答图，连结DC,: ABD和 ECB都是等边三角形， .AD=AB=BD, BC=BE=EC,/ABD=/ EBC=60°, ./ABE= /DBC,'AB=DB,在 AABE 和 ADBC 中，4/ABE=/DBC,BE=BC,.ABEADBC, .AE=DC.DE2+BE2=AE2, BE=CE, . DE2+CE2=CD2, ./DEC=90°, ./BEC=60°,丁. / DEB= / DEC / BEC = 30°.18.湖州校级期中已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与

27、A, B重合），分 别过A, B向直线CP作垂线，垂足分别为E, F, Q为斜边AB的中点.（1）如图1,当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE / BF, QE与QF的数量关系为 QE=QF （2）如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给 予证明；（提示：延长FQ与AE交于点D）（3）如图3,当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，止匕时（2）中的结论是否成立？请画出 图形并给予证明.（第18题图）解：（1）AE/BF, QE = QF.Q 为 AB 中点,. .AQ=BQ, v BFXCP, AEXCP, .BF/AE, / BFQ=/AEQ=9

28、0°,NBFQ=/AEQ, 在 ABFQ 和AAEQ 中，/BQF=/AQE, bq=aq,.BFQAAEQ(AAS), .QE = QF.(2)QE=QF.证明：如答图，延长FQ交AE于D, Q 为 AB 中点,. .AQ=BQ, BFXCP, AEXCP,BF/AE, ./ QAD=/FBQ,、FBQ=/DAQ, 在 AFBQ 和ADAQ 中，BQ = AQ,l/BQF=/AQD,.FBQADAQ(ASA), .QF=QD, VAEXCP,EQM RtADEF斜边上的中线， .QE=QF=QD,即 QE=QF.第18题答图(3)(2)中的结论仍然成立.证明：如答图，延长EQ, FB交于D, Q 为 AB 中点,. .AQ=BQ, v BFXCP, AEXCP, .BF/AE, . / 1 = /D,'/ 1 = / D,在 4AQE 和 ABaD 中，/2=/3,AQ=BQ,.AQEABQ