Navier-Stokes方程局部压力梯度投影两重网格稳定化方法

1、四川大学硕士学位论文题目方程局部压力梯度投影两重网格稳定化方法作者卓凡完成日期年月日培养单位指导教师专业四川大学数学学院冯民富教授计算数学微分方程数值解年研究方向授与学位日期旦方程局部压力梯度投影两重网格稳定化方法计算数学专业研究生卓凡指导教师冯民富压力梯度投影有限元方法是年由和首先提出（见）年，和把此方法推广到了方程（见【）年，和提出和分析了方程基于局部投影的压力梯度稳定化有限元方法但是这些文章只对速度和压力在连续空间的情况进行了讨论本文的主要目的是把这种方法推广到方程，特别是当压力在非连续空间的情况同时本文还引入了两重网格有限元算法，此算法在不改变计算精度和收敛性的前提下提高了局部压力梯度

2、投影稳定化方法的计算效率本文内容主要分为两部分，第一部分提出了求解方程的局部压力梯度投影稳定化有限元方法与文中所提出的最小二乘有限元方法相比本文优点在于采用的是基于非残差的稳定化方法，从而在绕开了条件限制的同时避免了计算二阶导数。本文利用不动点定理，证明了局部压力梯度投影稳定化有限元方法解的存在，唯一性并分别在日和铲空间中给出了速度与压力的最优误差估计本文的第二部分提出了求解方程的局部压力梯度投影两重网格稳定化有限元算法局部压力梯度投影两重网格稳定化有限元算法是首先在粗的网格上求解非线性问题然后在细的网格上求解线性问题的算法，本文证明了这种算法与只在细网格上求解非线性问题的算法相比有相同的计算

3、精度且具有计算速度快的优点关键词：方程；压力梯度投影稳定化方法；不动点定理；两重网格有限元算法，出（】），（【】），日，【，：；声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。导礴必尊中二零零七年四月二十日第一章绪言对于黏性不可压缩流动（）方程其

4、混合有限元法研究是上世纪后二十年研究的热点问题但是由于其理论框架要求有限元空间的组合满足条件】这一条件的限制排除了工程实际应用的低阶有限元空间的使用。为了去掉这个束缚，上世纪九十年代以来，多种稳定化方法被相继提出，如流线扩散法（，【】【】【】），迎风有限元法（，最、乘法（，）这些方法都从不同角度绕开了条件的限制。另一方面，由于稳定化项的引入，我们需要求解一个复杂的非线性问题，这样计算量和计算的复杂程度都相应的增加。为了在不改变计算精度和收敛性的前提下提高计算效率，一些研究者提出了两重网格有限元算法（见），这为求解方程稳定化有限元方法提出了一种新的计算方法与基于残差的最乘有限元方法相对应，一类基

5、于非残差的压力梯度投影稳定化方法最近也引起了研究者的兴趣压力梯度投影有限元方法是年由和首先提出（见）。年，和把此方法推广到了方程（见）年，和提出和分析了方程基于局部投影的压力梯度稳定化有限元方法但是这些文章只对速度和压力在日连续空间的情况进行了讨论因此本文把这种方法推广到压力在非连续空间的非线性定常方程，提出了求解方程的局部压力梯度投影稳定化有限元方法与文中所提出的最、乘有限元方法相比本文优点在于采用的是基于非残差的稳定化方法，从而在绕开了条件限制的同时避免了计算二阶导数本文利用不动点定理，证明了局部压力投影稳定化有限元方法解的存在，唯一性并分别在和空间中给出了速度与压力的最优误差估计同时，本

6、文提出了求解方程的局部压力梯度投影两重网格稳定化有限元算法局部压力梯度投影两重网格稳定化有限元算法是首先在粗的四川大学硕士学位论文第页网格上求解非线性问题然后在细的网格上求解线性问题的算法，本文证明了这种算法与只在细网格上求解非线性问题的算法相比有相同的计算精度且具有计算速度快的优点本文考虑对于不可压缩流的经典定常方程设为孵中的有界，多边形的开区域，是的边界本文就是考虑求解速度和压力（这里表示为压力除以黏性系数），使得满足；（）一，札，讯，（）其中是黏性系数的倒数，是力向量为了分析方便，本文假设方程满足边界条件第二章方程局部压力梯度投影稳定化方法§基本记号为了方便以后的讨论，本段集中

7、给出一些常用的记号设为具有逐片光滑边界的维有界区域（），为整数，记：矿，（）：。：（。）。，”。（）：。”。：相应的范数为：兰。，“。：叩）（。”加训，。：训”，。（。）川。训，。当时，简记日”（）：“，（），相应的范数记为，当时，记（）：（），（）：”（），相应的范数分别为”，”，当时，记卵（）为铲在¨，范数下的闭包，恒用（，。）表示上的内积一般地，若，在不会引起歧义的情况下，略去记号设（，）。是上的一个向量函数，定义旧遁嵋：（圳叩；。地。四川大学硕士学位论文第页蹇¨；（上善善（差）塞叩。；。洲釉则设为空间，记：（，；）：（。；）：（¨咖（，）。（，）：咖。（。

8、，）：（，）。）当（，）（，即时，常简记（）（，丁；），”（）。（，；）§有限元格式的建立设。是在中由三角形分片组成的拟一致剖分（见【），每一个分片又被分成三个单元，且是由三角形集合死组成的（见【）这样的剖分保证了每一个分片上至少有一个内点且所有的分片能够覆盖整个区域，：这里先引进关于迹的某些记号表示三角形单元巩的边界女和一为剖分的两个相邻两个单元，设和一分别为其的相应外法线方向；设是孤船一上的任意点设是在单元内光滑的函数，）表示均值，删表示跳跃对于定义为：）：扫），由空间设嘲：一：，（嘲（）：；）问题（）等价于以下的变分问题：求（“，）×满足（钰，口）口（；，口）（，）（

9、）（）四川大学硕士学位论文（，）其中第页（）即）上加拥（。，。）：。即埘一”州刚，咖塞小差抑其中“，而（，。（；”，”）互面（钍；，”）一（“；”，”）：削（日（）：只（），耳（）这里似）表示所有在上次数最多为次的多项式集合，且定义不连续函数空间：仇么：（工（）：一（彳）用可丽表示压力梯度在么上的投影，定义为；（面，）（，妒）在每一个单元中等价于新的稳定项可以表示为（）（，吼）（一，一）【这里定义）（一，（，）【嘲】【】如四川大学硕士学位论文第页本文中，。是任意正常数当。一且吼（），稳定项的表达形式与中相同。由新的稳定项，可以得到方程新的稳定化有限元方法：求（，）×吼，满足（

10、8;，）（；，）（，）（）（）一（，）（，）也可以表示为求（“，）×，满足（；，；，）（）（，）×（）（；让，；）（，）（；，）（，）一（，帆）九，鼽）引理【】当，定义在（）”）上且连续存在一个常数，使得（；，叫）定义（）。）。，濮，赢葡旒，。，”瓮“同样定义。，“觥黼蒜，”。，容易证明。定理【如果（日一），那么问题以，解的存在且唯一的条件为口：。（）暇川大学硕士学位论文第页§解的存在唯一性首先引入如下范数：（，）“；协印一可历其中圳。曙：，酬：引理】存在一个插值算子：满足以下的正交性（一，妒），砂，以及对所有的“有（）（一”）现在考虑如下的线性问题，设矗，且川川

11、存在似，）×饥，使得；，；？，）（）（，）×吼（）可以发现（）是问题（）的线性化闯题。因此，先要考察问题（，）解的存在唯性问题引理设，口和§是与无关的正常数，矗，矗）对扣，）×，存在一个，满足；（矗；，；，）：一岛（；隆一审历：），（）四川大学硕士学位论文第页一口口¨：巾。（，）一侥。：一呈。（靠口，）一：一，）一矗）【】靠（矗，一瓦）一慨）】四川大学硕士学位论文可得第页（矗，）一可面¨，仇羟（兰（一丽仨）因为（，）一正，所以九一（，）：一一兰（口一可面一：。通过适当选择忙）釜，可得（靠；，；，）：一（；：丽）由于“”“因此满足引理对

12、，）（“，）一（矗，），”和，有对任意常数酌最终得到：譬面。一眯蠕铲紫眯臀蟒铲怅臀圳卜旷硎。懈）（）。引理如果（，）是问题（）的解，那么“。是与无关，与有关的的正常数四川大学硕士学位论文第页证明：设（）×，（，吼）×吼，（）（，）（札；，肌；，）月（，）（；，”）（，）一（，）（，）（，）（，）由此可得：一丽：，则曙赢：，：¨因此（）：。和一瓦瓦。矶是（）的解，由此（，）十（；，）（，）（）且点！：堡！竺：墨堕！兰！婢一蔓！二！生由（），可得（一丽）卜；。帆川。考虑到（），可证存在一个与无关的正常数使得定理是与无关的正常数，矗，川满足。溉仉翁珊胁），咐卯拈嘲）四川

13、大学硕士学位论文证明：这里要找到（，口），使得（矗；，口）（，）（，）定义，（是正常数），第页（矗；，）（，）（，）有（，）旨以及（）溉，）因此，由（）和（），可得（）（矗；，）（；【：一审历：）在（）中取（，）（，），由引理，得到（）；，；，）；一岛（：）因此，当（，）（，），可得（；，）卜旧（），（，¨，拶一审历适当选取，使得：；，）（，）由引理，）（）一丽”一丽“一可；磊，）因此；，）（，）（，）四川大学硕士学位论文第页定理设（“，），（）×，是与无关的正常数，且刈川，那么：（；，）¨（，）川（，）证明：由不等式，可得（）（，），（靠，），。，（，帆）且（，

14、）印一一丽记（，骱）×，讹川川，协，），则有以下列结因此，定理得证论：引理对任意的（矗，）×，使得（“，），那么偿圳有唯一解（“，）证明：实际上，由定理和定理，以上引理可证因此，对任意给定的（口，），（）定义了一个映射：（，）一（，）（，），使得（；“，）（）（，）×本文用不动点定理证明（）的离散解的存在性和唯一性定理如果，（工（）“，以及那么偿有唯一解（，）证明：利用不动点定理由引理，易得丁是到上的一个映射因此，只用证明是连续的。四川大学硕士学位论文第页对任意的（嗾，靠），有限元解（，）（，靠），），那么（，）（，靠）满足如下的方程：（，：；，）（叫）（叫，盯）

15、×（削；：，；训，盯）（叫）（，盯）×和（）（）“刈州，）阮）、（，）用（）减去（）得到（）（；“：，：；，）（；，菇；胁）它等价于月（：，：一）（：一”；：，：一；）（：一，：一）因此容易得到：一“：；：一”：，“：。“：一“：，最后得到：一；，口付：一由于，所以得到丁是到上的一个连续映射由不动点定理，丁至少有一个不动点，问题（）至少有一个解。接下来证明解的唯性设（，以）和（“，砖）是问题（）的两个解，因此和：满足（）的条件由此，得到以下的方程：（；峨，以；，）（）（，）×魏（“；：，；，）（）（，鼽）×用（）减去（），以及设；一：，；一唬得到（，）：

16、一：，：一：）一（；：，）（）（）因此有；引因为口，可得：一，且：，所以（）有唯一解四川大学硕士学位论文第页§误差分析这一部分将证明离散解的收敛性设矗（，）：（日（）×瑶）一×仉足一般的插值，且“一厶，本文有如下的误差分析定理设（，）（）硪（）（）剧是问题“纠的解，设（“，）×是混合稳定化问题俾，的解，那么；（一川川一弓面）证明：由（）可以得到，）（；，）（，）（）一（，“），）（，）（，）因为（）（）（、）（“；，）。，）（）一（，“）（，）（，）这样可以得到（）（）（；，；，）一（；，；，）（，）注意到；（，）×（）（“；，；，）（；，）（

17、；，钉）（；，；，）（；，；，）（一；，）因此得到误差方程：（）（）（让；一，；，），）（；，）（；，）（）利用三角不等式得到：¨一嘶一“，一（）四川大学硕士学位论文现在只研究离散误差，一，一由（），可以得到第页咖一嘶印旭一心一蝴邺曲蹴一一一柏饥胁董，弛由此可得（，；，；”），）（；，狮）口（正；钍，）一（；正一，；，）（）这样（，；，一，一；口，）一可面一嘶，十，（吼，（扎一¨）（，；一让，）一，吼）（，鼽）（）容易得到：（，）一“川（）由可得（，；，）。一叼川设”，一“，这样可得（），一（一日）一¨：（）一亏石雨：，一（）一石五雨。一，（）四川大学硕士学位论文

18、这里第页。一（一。）一，（）和一弓面（）一（）（）（）接着考虑所一由（），当，有，一（，一）一专石二石五，一。）”：（，一）”，（）用（）减去（）得到（，）（；，）一）（；，）（，），（钍一，）（，）（；，）一（正；，）一，）（，），（）这里考虑如下项：一一一舡“一嘶岫岫十咖柏肼一口蛆地掣。四川大学硕士学位论文第页怔鲨型型端半型、。¨，川，一。陋一，。川（）由（），可以证明船一孙（尹）一？（）厶慨一）：利用一不等式，有（一口一）“一）矗（船一）一弓：西两：（一，：瓦霹瓦；石一嘶石霹托（黑垃掣，（一）一弓函二万堵，一：）（）四川大学硕士学位论文由此可得第页（一一如）（一邱一）（一）一）

19、瓦砺！石一划；石：吲票丛坠节铲）一肌，（）当口，适当选择矗，）这样，存在正常数使得，一。（）一弓石雨（由（），（）和（），存在一个正常数使得一，一（一；一溉垃铲垃铲）”“）（）由（），（）和（），得到：旧一，一札（，一弓面）（）第三章方程局部压力梯度投影两重网格稳定化算法§构造两重网格有限元算法设靠，是对区域的两种划分，其中，（日）是网格划分的尺度设戈元方法：日，氟×仉如下我们提出问题（）的两重网格有限第一步：解站（“，阳）如，使得对所有的（，）岛：（：口）（；“，）（，）一（，）（，）（）（）第二步：解驴（“，“）赢，使得对所有的（口，口）又：（“，）（“；日，）（口，钉

20、）】扣，）一（，）（“，）（；¨日，口）（）（）§有限元解的存在唯一性对于问题（），我们有定理假设。，由定理，以及常数，有对任意（），问题砂有唯一解且满足以下的估计？日十；（，一）（）（铲，矿），君（口，）爻，我们定义：（“，剐）（；日，）（；“，口）（，“）一（，）“，）（）四川大学硕士学位论文第页引理设，是与和无关的正常数（日），且）、。对才（，）矗，存在一个面（，）贾，满足（西）：一：（；：一可丽），口（）证明：由连续的条件，存在一个（矾（）（）：训）满足：一惦，。由（）式的定义，设，可得：（，西）一（，“）（；“圩，丌“）（；丌）（，）设一，有（，”“）¨

21、训因此门（，”“）一，：一兰；同时可以得到。（。；。，。“）一一孚。；同样有：；。，”）一一兰”；相似，可以得到：，）；一口后一兰一可丽：所以与引理四川大学硕士学位论文第页选择适当的忙）竺。，有：（方，面）一（训懵忙面）且由于所以”“满足引理。定理是与和无关的正常数（），满足：红：黼冽（“，）（，排赢（）风（吼，）（，“）（，洲证明：要找到（，），使得设矿，“（是正常数），玩（氟，锄）（“，“）（，“）可得（，“）“；和（）（，“）：由的定义，可得；（）（“；“，矿）。；对口：，有（“；，让“）一“；因此可得：（霞，氟）【（一）：“曙一丽旧四川大学硕士学位论文设（口）（奶），由引理有：第页口（

22、稚，面）“：一（“矿：“一可五万：）所以，当（，）（札“，“），得到，（僦，）（）一“：“曙（）矿：）丽适当选择，可以得到；（矗，）（“，）由定理，有（，）（“，）所以玩（锄，艿）（，“）一（口，）因此，定理得证定理设锄（“，），方（口，）赢，是与和无关的正常数（）且，那么（矗，）（，）（，）川证明：由引理和逆不等式司得（“，）“川（；，）（；，勘）。乱“甜“口（“，）让“且（，）一丽一可丽。（诹，）（“，）（，）因此可得所以，由定理和定理，我们可以得到与离散问题（）相同的存在唯一陛结论四川大学硕士学位论文第页§误差估计定理设宙（，）（）硪（）×（）是问题以的解，存在一个常数。，对所有的（几），都有如下的误差估计一一矿（，一可万）（）