λ模糊测度及其变换

1、第 卷 第 期 山 东 大 学 学 报 (理 学 版) 年 月Vol. No. JOURNAL OF SHANDONG UNIVERSITY Month Year文章编号:模糊测度及其MÖbius变换和关联系数间关系的推导章玲,周德群(南京航空航天大学 经济与管理学院,江苏 南京210016)摘要:模糊测度常用于基于关联的多属性决策(Multiple Attribute Decision Making, MADM)问题中的属性和属性集重要程度建模,为了能充分地利用决策者可能提供的各类信息辅助多属性决策分析行为,本文在Grabisch给出的一般有限离散集上模糊测度与其MÖbi

2、us变换和关联系数间相互转换关系的基础上,定义了模糊测度的MÖbius变换和关联系数并研究了三者间的相互转换关系,最后给出算例解释模糊测度及其MÖbius变换和关联系数间转换关系在实际MADM问题中的应用.关键词:多属性决策分析；模糊测度；MÖbius变换；关联系数中图分类号:N945.25 文献标识码:A Research of the Relationships among the Fuzzy Measures, MÖbius Representation and Interaction RepresentationZHANG Ling, ZHOU

3、De-qun (College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)Abstract: fuzzy measures are often utilized to model the importance of the attributes and their coalitions for the multi-attribute decision making (MADM) problems with interaction.

4、In order to make full use of the information provided by the decision maker to assist the decision making, the concepts of the MÖbius representation and interaction representation of the fuzzy measures are given and the relationships among the fuzzy measures, their MÖbius representation an

5、d interaction representation are deduced based on the research of Grabisch, and at last an example is proposed to illustrate the application of the transforms of the fuzzy measures and their MÖbius representation and interaction representation in the practice problems of MADM.Keywords: Multiple

6、 attributes decision making; fuzzy measures; MÖbius transform; Interaction representation0 引 言模糊测度和积分1是由日本学者Sugeno首次提出的,旨在用较弱的单调性和连续性来代替可加性的集函数.模糊测度概念和相关理论的提出既有理论背景也有其现实意义:一方面,模糊测度和积分理论的建立是构建模糊数学完备体系结构的必要工作；另一方面,模糊测度和积分理论可解决基于关联的多属性决策分析(Multiple Attribute Decision Making, MADM)问题1-3.基于关联的MADM是现

7、实中普遍存在的一类决策问题.例如,依据应用统计学、概率论基础和线性代数三门课的成绩对学生进行考核时,通常应收稿日期:2006-10-10 基金项目:国家自然科学基金资助项目(90510010)；教育部博士点基金资助项目(20050287026)；国家软科学研究计划资助项目(2006GXQ3B184) 作者简介:章玲(1979),女,安徽肥东,博士研究生,从事复杂系统评价与决策的研究；导师周德群(1963),男,江苏建湖,博士,南京航空航天大学特聘教授,博士生导师,从事复杂系统评价与决策的研究.用统计学的好的学生,其概率论基础也不会学的很差,若对这三门课程按照加权平均(Weighted Aver

8、age, WA)方法计算学生的综合评价值则会高估学生.依据价格、性能和售后服务三个属性对设备进行选择时,就会出现这样的情形:性能好的设备其价格也会高,若按照WA方法计算设备方案的综合评价值则会因为价格和性能两个属性的关联而抵消这两个属性各自的独立贡献.再如某煤炭企业的决策者在寻找接替资源时,主要考虑接替资源的储量、煤质、交通运输条件、电力和投资额等方面的属性,并且希望选择储量大、煤质好、交通条件优、电力有保障、投资低的资源接替方案.但实际中往往是,交通条件好的地方通常电力资源也比较丰沛；煤质好、储量大的地区,通常交通不便,基础设施薄弱,由此形成的资源开发投资相对较高,可见这些决策属性并不是完全

9、独立的,无法用概率测度对其属性和属性集的重要程度建模.利用模糊测度解决基于关联的MADM问题需要决策者确定的参数较多(例如对于含有n个属性的MADM问题,决策者需要确定2n2个参数),可操作性较差4, 5.为此,Sugeno定义了模糊测度1, 6,目前模糊测度已被成功应用到很多领域中7-9.现有模糊测度和积分理论的文献通常假设决策者仅提供参考方案的评价值信息和属性的权重信息10-12,而在实际决策问题中,决策者和专家还可能提供属性间的关联程度等信息.为了能更好地利用决策者所提供的各类信息辅助基于关联的决策分析行为,增强模糊测度解决基于关联的MADM问题的可行性,本文在Grabisch给出的一般

10、有限离散集模糊测度与其MÖbius变换和关联系数间相互转换关系13的基础上,定义模糊测度的MÖbius变换和关联系数,并研究三者间的相互转换关系.下面首先给出模糊测度及其MÖbius变换和关联系数的定义.1 模糊测度及其MÖbius变换和关联系数假设基于关联的MADM问题的属性集为X=(x1,xn),P(X)为X的幂集.定义11-3 设给定,g: P(X)0,1满足条件:(1)g(X)=1；(2)并且,则:；(3)g连续.则称g为定义在P(X)上的模糊测度.对,g(S)可以解释为属性集S的权重或者重要程度.=0,说明属性间相互独立；-1<<0

11、说明属性间存在冗余关联作用；>0说明属性间存在补充关联作用.用模糊测度对该决策问题中属性和属性集的重要程度建模,决策者需要确定n个参数.依据Rota定义的伪布尔函数14和Grabisch定义的一般有限离散集上模糊测度的MÖbius变换13, 15,下面定义模糊测度的MÖbius变换.定义2 集函数a:P(X)称为模糊测度g的MÖbius变换或者MÖbius表达式:,. (1)其中,分别表示集合S和T的势；下同.a(S)反映忽略任意xi()与xj()间的关联时,集合S中属性间的关联程度.对于基于关联的决策问题而言,属性xi()在决策过程中所起的作用不

12、能仅用g(xi)进行描述,必须综合考察所有属性集S()的重要程度.参考多人博弈中Shapley值16和一般有限离散集模糊测度的关联系数的概念13, 15,下面给出基于模糊测度的关联系数表达式.定义3 若g为定义在P(X)上的模糊测度,对,其关联系数I(S)定义为: (2)对,若=1,集合S退化为单个属性,此时I(S)也称为属性S的Shapley值,表示该属性的边际贡献；若>1,I(S)表示集合S内属性间的关联程度,或称之为综合考虑集合S中所有属性带来的额外收益.若集合X中所有属性相互独立,易证:.决策分析时,决策者所提供的参考信息可能是关于属性和属性集重要程度方面的,也可能是关于属性间的

13、关联程度方面的.为了能充分利用这些信息,下面分析模糊测度及其MÖbius表达式和关联系数间的相互转换关系.2 模糊测度的三种表达形式及其相互转换首先分析若属性的重要程度已知,如何计算任一属性集的MÖbius表达式；以及已知属性集的MÖbius表达式,如何计算属性的重要程度.2.1 模糊测度及其MÖbius变换间的相互转换若属性的重要程度已知,可通过下面的定理得到属性集的MÖbius变换.定理1 若g为定义在P(X)上的模糊测度.对,其MÖbius变换为a(S),则下式成立:,. (3)证明:对,有:；依据定义2得:；依据定义1得:对,

14、有；假设:,则:因此有以下结论成立:对,等式成立；对,等式成立,以此类推.已知属性和属性集的MÖbius表达式,利用Zeta变换13可以得到属性和属性集的重要程度:, (4)证略.2.2 模糊测度和关联系数间的相互转换关系在给出模糊测度和关联系数间相互转换关系之前,先介绍文献13中有关MÖbius表达式和关联系数间相互转换的结论.对,其关联系数为I(T),MÖbius表达式为a(T),式(5)和(6)分别体现了MÖbius表达式向关联系数的转换和关联系数向MÖbius表达式的转换. (5) (6)其中,.基于式(5)和(6),下面分析若属性的重

15、要程度已知如何求出属性集的关联系数.定理2 若g为定义在P(X)上的模糊测度.对,其关联系数为I(T),有下式成立: (7)证明:由式(5)得:；由定义1和定理1得:对,有；则:.若属性集的关联系数已知,则属性和属性集的重要程度可由定理3得到.定理3 若g为定义在P(X)上的模糊测度；并且对,其关联系数I(S)已知；对,其模糊测度g(T),有下式成立: (8)其中,.证明:由式(6)得:,；其中 ,.由定义2易知:,；则:；又由定义(1)得:,则:.3 应 用为了进一步扩大生产规模,某企业决定再购买一批新设备.考察的决策属性有设备的价格(f1),售后服务(f2)和性能(f3).候选方案为国内五

16、个厂家生产的同一型号设备,记为U1,U5.设该MADM问题的规范化决策矩阵如表1所示.表1 规范化决策矩阵Tab.1 The normalization decision matrixf1f2f3E(X)U10.600.700.800.74U20.500.600.90U30.800.500.800.76U40.700.800.60U50.700.600.80设决策者可以提供的信息有:f1较f2重要；不考虑属性f3时,f1和f2间的关联程度为-0.01；总体而言,f1和f2间的关联较f1和f3间的关联要强；方案U1的综合评价值E(U1)为0.74；方案U3的综合评价值E(U3)为0.76.依据上

17、述信息,以方案U1和方案U3的综合评价值误差平方和最小构建目标函数并建立以下优化模型求解属性和属性集的重要程度: (9)其中,(i=1,5)通过Choquet积分(Choquet积分的定义和计算公式详见文献8)进行计算.利用公式(3)可将上述模型中的约束(2)转换为； (10)利用公式(7)可将约束(3)转换为即. (11)将式(10)和(11)代入模型(9)中,并利用MATLAB编程对上述模型进行求解,得到值、属性和属性集的模糊测度见表2.表2 值和各属性的模糊测度值Tab.2 The value of and the fuzzy measures of the attributes and

18、 their coalitionsg(f1)g(f2)g(f3)g(f1, f2)g(f1, f3)g(f2, f3)g(f1, f2, f3)-0.2200.2760.1650.6290.4310.8670.7711由表2不难看出属性集的重要程度不再等于属性的重要程度之和.依据属性和属性集的模糊测度和值以及公式(3)和公式(7)不难得出属性和属性集的MÖbius表达式和关联系数取值,分别见表3和表4.表3 属性和属性集的MÖbius表达式Tab.3 The MÖbius representation of the attributes and their coa

19、litions a(f1)a(f2)a(f3)a(f1, f2)a(f1, f3)a(f2, f3)a(f1, f2, f3)0.2760.1650.629-0.010-0.038-0.0230.001表4 属性和属性集的关联系数Tab.4 The interaction representation of the attributes and their coalitions I(f1)I(f2)I( f3)I(f1, f2)I(f1, f3)I(f2, f3)I(f1, f2, f3)0.2520.1490.599-0.009-0.038-0.0220.001依据表1、表2的数据以及Cho

20、quet积分不难计算设备U2、U4和U5的综合评价值分别为E(U2)0.77,E(U4)0.66,E(U5)0.75,则U4U1U5U3U2.可见选择设备2为最优.生产设备的选择直接影响到企业利润目标的实现.在该MADM问题中方案U4在性能(f3)下取值较小,而f3的权重(g(f3)=0.629)和关联系数(I( f3)=0.599)均较大,这导致该方案的综合评价值较低.方案U1U3和U5在f3下的取值较大,虽然它们在价格(f1)或售后服务(f2)下取值较U4低,但这两项属性的重要程度较低,所以这些方案的评价值较U4高. 另外,方案U1U3和U5在各决策属性下的取值相差不大,这致使这四个方案的

21、综合评价值较为接近.这从某种角度上验证了本文方法的正确性和合理性.4 结 论基于关联的MADM是现实中普遍存在的一类决策问题.由于模糊测度自身的优点,它常用于对基于关联的MADM问题中属性和属性集的重要程度建模.决策分析时,决策者提供的参考信息有些可能是关于属性和属性集的重要程度,有些可能是关于属性间的关联程度.本文定义了模糊测度的MÖbius变换和关联系数,并研究了三者间的等价转换,目的是充分利用决策者可能提供的各类信息辅助决策分析行为,提高模糊测度和积分理论解决基于关联的MADM问题的可行性.文章最后用算例验证了相关结论,解释了模糊测度与其MÖbius变换和关联系数间的

22、变换关系在求解实际MADM问题中的应用.参考文献:1 Sugeno M. Theory of Fuzzy Integral and its ApplicationsD, Ph.D. dissertation, Tokyo Institute of Technology, 1974.2 胡宝清, 模糊理论基础M. 武汉: 武汉大学出版社,2004.Hu B Q. The foundation of fuzzy theoryM. Wuhan University Press, Wuhan, 2004 (In Chinese).3 哈明虎, 吴从炘, 模糊测度与模糊积分理论M. 北京: 科学出版社,

23、1998.Ha M H, Wu C X. Theory of fuzzy measures and integralM. Science Press, Beijing, 1998 (In Chinese).4 Angilella S, Greco S, Lamantia F, et al. Assessing non-additive utility for multicriteria decision aidJ. European Journal of Operational Research, 2004, 158(3): 734-744.5 Kojadinovic I. Estimatio

24、n of the weights of interacting criteria from the set of profiles by means of information-theoretic functionalsJ. European Journal of Operational Research, 2004, 155(3): 741-751.6Tzeng G -H, Ou Yang Y -P, Lin C -T, et al. Hierarchical MADM with fuzzy integral for evaluating enterprise intranet web s

25、itesJ. Information Sciences, 2005, 169(3-4): 409-426.7Chen L -H, Chiou T -W. A fuzzy credit-rating approach for commercial loans: a Taiwan caseJ. Omega, 1999. 27(4): 407-419.8 Tseng F -M, Chiu Y -J. Hierarchical fuzzy integral stated preference method for Taiwan's broadband service marketJ. Omeg

26、a, 2005, 33(1): 55-64.9 Chiou H -K, Tzeng G -H, Cheng D -C. Evaluating sustainable fishing development strategies using fuzzy MCDM approachJ. Omega, 2005, 33(3): 223-234.10 Combarro E F, Miranda P. Identification of fuzzy measures from sample data with genetic algorithmsJ. Computers & Operations Research, 2006, 33(10): 3046-3066.11 Chen T -Y, Wang J -C. Identification of lambda-fuzzy measures using sampling design and genetic algorithmsJ. Fuzzy Set