实数知识点及对应测验

1、实数【无理数】1定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2常见无理数的几种类型：（1） 特殊意义的数，如：圆周率 二以及含有二的一些数，如：2-二，3二等；（2） 特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依 次多1个0）等。（3） 无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-二是无理数（4） 无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2二，（5） 开方开不尽的数，如2, 5, 3 9等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 9等；无理数也不一定带根号，如：二）3.有理数与无理数的

2、区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2） 所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1 ）下列各数：3.141、0.33333、5 -7、n、二.225、一-、30.3030003000003（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有;是无理数的有。（填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001，-二,4,3 2其中无理数有（） 个【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x的平方等于a,即X2二a ,那么，这个正数x就叫做 a的算术平方根，记为：“柘”，读作，“根

3、号a”，其中，a称为被开方数。 例如32=9，那么9的算术平方根是3,即.3。特别规地，0的算术平方根是0,即、.0=0，负数没有算术平方根2. 算术平方根具有双重非负性：（1）若a有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。3. 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它 只表示为：.a ;而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：- a。例：（1）下列说法正确的是A.1的立方根是1；B.J4=2 ；(C)、J81的平方根是土 3 ；(D)、0没有平方根；(2) 下列各式正确的是()A、

4、=B、314-兀| -3.14 C J万=-93D、晶矗=4(3) J(一3)的算术平方根是 。(4)若J X +寸二有意义，则I X+1 =。(5) 已知 abc的三边分别是a，b，c，且a,b满足、.a _ 3 (b - 4)= 0，求c的取值范围。(6) (提高题)如果x、y分别是4 3的整数部分和小数部分。求 x - y的值. 平方根：1. 定义：如果一个数x的平方等于a,即x2 = a，那么这个数x就叫做a的 平方根；，我们称x是a的平方(也叫二次方根)，记做：x = _. a(a 一 0)2. 性质：(1) 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；(2) 0只有一个平方根，它是0本

5、身；(3)负数没有平方根例(1)若iX的平方根是土 2,则x=;16的平方根是(2)当x 时，.3-2x有意义。(3) 一个正数的平方根分别是 m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3. C.a)2(a_0)与.a2的性质(1) ( a) $ = a(a 丄 0)如：7)2 =7 (2)a =| a | 中, a可以取任意实数。如52 T 51=5 (-3)2 二卜3卜 3例：1.求下列各式的值(1)72(2) (-7) 2(3) ( I 49) 22.已知 (a -1)2 =a -1，那么a的取值范围是。3.已知2 x 3,化简(2- x)2| x -3| =【立方根】1. 定义：一般

6、地，如果以个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫 做a的立方根(也叫做三次方根)记为3 a，读作，3次根号a。如23=8，则2 是8的立方根，0的立方根是0。2. 性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方 根是它本身的数有0,1，-1.例：(1 ) 64的立方根是(2)若 a - 2.89 b则a-b 0.方法三：乘方法.如比较2.、6与3 3的大小。例：比较下列两数的大小（1）10-3与 1（2）5、_2与3,52 2【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最 小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1 O（

7、2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a ;实数a的倒数是1 （a0）；实数a的绝对a值囘=0），它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。a（a c0）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两 个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。 对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一样实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一

8、一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 1和2之间的无理数只有 2 ； D 、不带根号的数都是有理数。（2） a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是 （）a . a -b b 、 ab c 、 、a b d 、.、ba(3)比较大小(填“ ”或“ v”).3、10 ,- .33 20 ,7 - 6(4)数-7, -23的大小关系是()A. -. 7 ： ；-2B.3 .7 :：-2C.2-审3 D.3 27(5)将下列各数：2,匸8

9、, J3,_1 _J5，用“v”连接起来；(6)若 a =3,寸b=2，且 ab 0，则：a b =【二次根式】 定义：形如,a(a _0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数注意：(1)从形式上看二次根式必须有二次根号 “ , 一 ”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。(2)被开方数a可以是数，也可以是代数式。若 a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式(1)戶(2)(3) J7a(4)，三 -3二次根式的性质：性质1：. ab - ab(a _ 0,b _ 0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简性质2:b.(a _ 0, b0)商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， 这样的二次根式，叫做最简二次根式例：1.化简：(1) ,12 15(2) .27a4b2(b0)(3)2.计算:3. 已知：X _7 2 =121, y 1 3 二-0.0