恒成立与存在性问题的解题策略

1、恒成立问题与存在性问题的根本解题策略一、 恒成立问题'与存在性问题'的根本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的根本类型1、 恒成立问题的转化：a f x恒成立a f2、 能成立问题的转化：a f x能成立a f3、恰成立问题的转化：a f x在X max ； af x恒成立af x minx:afx能成立af xmin，maxM 上恰成立afx的解集为aMaf x在M上恒成立 f x在CrM上恒成立另一转化方法：假设x D, f (x) A在D上恰成立，等价于f (x)在D上的最小值fmin (x) A，假设 x D, f(x)B在D上恰成立，那么等价于f (x)在D上的最大值f

2、max(X)B .4、设函数f x、g x，对任意的X1a , b，存在X2c , d，使得 f X1g X2，那么fmin xgmin x5、设函数f x、g x，对任意的 X1a , b，存在X2c, d，使得 f X1g X2，那么fmax xgmax x6、设函数f x、g x，存在X1a , b，存在X2c , d，使得 f X1g X2，那么f max Xg min x7、设函数 f x、g x，存在X1a , b，存在X2c , d，使得 f X1g X2，那么f min Xg max x&设函数f X、g x，对任意的x1a , b，存在X2c, d，使得 f X1g

3、X2，设 f(x)在区间a,b上的值域为A，g(x)在区间c,d上的值域为B,那么A B.9、 假设不等式f X g x在区间D上恒成立，那么等价于在区间D上函数y f x和图象 在函数y g x图象上方；10、 假设不等式f x g x在区间D上恒成立，那么等价于在区间D上函数y f x和图象在函数y g x图象下方；恒成立问题的根本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立；某函数的定义域为全体实数 R;某不等式的解为一切实数；某表达式的值恒大于 a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、

4、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量别离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直 接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的根本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立 问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问 题的。一两个根本思想解决 恒成立问题思路1、mf(x)在x D上恒成立m f(x)max思路 2、mf (

5、x)在x D上恒成立m f(x)min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有 效的方法进展求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函 数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f x的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比拟广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。二、赋值型一一利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得例1.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 对称，那

6、么a=8A.1B.-1C . 2D. -2略解：取x=0及x= ，那么f(0)=f(),即a=-1，应选B.44此法表达了数学中从一般到特殊的转化思想例备用.由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1) 4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b 4 定义映射 f:(a1,a2,a3,a4) b1+b2+b3+b4,那么 f: (4,3,2,1) 宀()A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0，那么 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以 b1+b2+b3+b4 =0，应选 D三分清根本类型，运用相关根本知识，把握根本的解题策略1、一次函数型

7、：假设原题可化为一次函数型，那么由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a丰0假设y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象直 线可得上述结论等价于一 f(m) 0-f(n) 0同理，假设在m,n内恒有f(x)<0，f (m)0f(n) 0例2 对于满足|a| 2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，那么上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不

8、等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a| 2时恒成立， 设 f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,那么 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有：f ( 2)0刚x24x 30 x3或x1''即 °解得：亠f (2)0x210x1 或x 1 x<-1 或 x>3.即 x (a, 1) U (3,+ a)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方或下方即可.2、二次函数型 涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方 法，在今后的解题中自觉运用。1假设二

9、次函数 y=ax2+bx+c(a丰大于0恒成立，那么有 a0且02假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求 解。类型1：设 f (x)ax：2 bxc(a0)在R上恒成立，(1) f (x)0在 xR上恒成立a0且0 ；2 f (x)0在xR上恒成立a0且0。类型2：设f(x)2 axbxc(a0)在区间,上恒成立bbb(1 )当 a0时，f(x)0在x,上恒成立2a或2a 或 2af( ) 00f( ) 0f(x)0在 x,上恒成立f ( ) 0f ( ) 0(2)当 a0时，f (x) 0在 x,上恒成立f() f()00bbbf(x)0在x ,上恒成立2

10、a或2a或 2af( ) 00f( ) 0类型3：设 f (x)ax2 bxc(a0)在区间(-g ,上恒成立。f(x)>0a>0且<0 或-b/2a>且f()>0f(x)<0a<0且<0 或-b/2a>且f()<0类型4：设 f (x)ax2 bxc(a0)在区间，+ g上恒成立。a>0, <0 或-b/2a< 且 f( )>0f(x)>0f(x)<0a<0, <0 或-b/2a< 且 f( )<0假设函数f (x),(1)x (a1)x21的定义域为R，求实数a的取值范分

11、析：该题就转化为被开方数2 2(a 1)x(a1)x20在R上恒成立问题，并且注a 1意对二次项系数的讨论解：依题意，当x R时,2 2(a 1)x (a0恒成立,所以，当a210,即当100,时,1,此时2 2(a 1)x(a 1)x1 0,1.当0时,即当(aa211)24(a2 1)0,20时,a 110a10,9,综上所述，f(x)的定义域为R时，a 1,9例4函数f(x) x2 ax 3 a，在r上f (x) 0恒成立，求a的取值范围分析：y f(x)的函数图像都在 X轴及其上方，如右图所示：略解：a2 4 3 aa2 4a 12 06 a 2变式1：假设x 2,2时，f (x)0恒

12、成立，求a的取值范围解析一 零点分布策略此题可以考虑f(x)的零点分布情况进0展分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即a 22f( 2) 0f(2)00a 2或 2 ，即a的取值范围为-7, 2.f( 2) 0f(2) 0解法二分析：运用二次函数极值点的分布分类讨论要使x 2,2时，f (x)0恒成略解:分类讨论f(x)2 2 aax24当a22即a 4时,g(a) f( 2)a不存在.当2a22,即4a 4 时，g(a)4 a44 a2当z a22即a4 时，g(a)7a4综上所述，7a2.f (2)7 a 0 a 7 又、;a 4立，只需f (x)的最小值g(a

13、) 0即可.a 3，令f (x)在 2,2上的最小值为g(a).7 3a 0 a -又 a 43aa2f( )a 306 a 2 又24解法一：分析：题目中要证明 f (x) 2在 2,2上恒成立，假设把2移到等号的左边，那么把原题转化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0的问题f (x) x2 ax 3 a，假设 x 2,2, f (x)0恒成立，求a的取值范围略解：f(x)x2 ax 3 a 2 0，即 f(x)2x ax 1 a 0在 2,2上成立.2 a4 1 a02 a4(1 a)0f(2)0f( 2)0a 2或a2222 222 2综上所述，5 a 22 2.解法二：运用二次函数

14、极值点的分布当-22即a 4时,g(a) f ( 2)7 3a 2a534,存在当2a2，即4a 4时，g(a)aa2f() a32 ,2242 22 a2 2 24 a 2 22当-22，即a 4时，g(a) f(2)7a 2 ,a55a 4综上所述 5 a 2 22.此题属于含参数二次函数,求最值时，对于轴变区间定的情形,对轴与区间的位置进展分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样对于二次函数在 R上恒成立问题往往采用判别式法如例4、例5，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量别离型 假设在等式或不等式中出现两个变量， 其中一个变量的范围，

15、另一个变量的范围为所求， 且 容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边， 那么可将恒成立问题转化成函数的 最值问题求解。 运用不等式的相关知识不难推出如下结论： 假设对于 x 取值范围内的任何一个数 都有f(x)>g(a)恒成立，那么g(a)<f(x) min;假设对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，那么g(a)>f(x) max.(其中f(x) max和f(x) min分别为f(x)的最大值和最小值)例5三个不等式x2 4x 3 0，x2 6x 8 0，2x2 9x m 0 .要使同时 满足的所有x的值满足，求 m的取值范围.略解：

16、由得2<x<3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式 2x2 9x m 0在 x (2,3)上恒成立，即m2x2 9x在x (2,3)上恒成立，又2x2 9x在x (2,3)上大于9,所以 m 9例6.函数f (x)是奇函数，且在1,1上单调递增，又f ( 1)1，假设f(x) t2 2at 1对所有的 a 1,1 都成立,求 t 的取值范围 .解： 据奇函数关于原点对称， f(1)1,又f(X)在 1,1上单调递增 f (x) max f(1) 12f(x) t22at 1对所有的 a 1,1都成立.2因此，只需t 2at 1大于或等于f(x)在1,1上的最大值1,t 2 2a

17、t 1 1 t 2 2at 0又对所有a 1,1都成立，即关于a的一次函数在-1，1上大于或等于0恒成立，t2 2t 0t2 2t 0 t 2或 t 0或 t2即: t (, 202,)利用变量别离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例.f(x) x|x a| b,x R 假设b 0,且对任何x 0,1不等式f(x) 0恒成立, 求实数a的取值范围.解：当x 0时，a取任意实数，不等式 f(x) 0恒成立，故只需考虑x0,1 ,此时原不等式变为|x a |xbb即xax xx故(x )max/b、门鼻a(X ) min , x0,1xx又函数g(x)Kx -在0,1上单调递增，所

18、以(x)maxg(1)1 b ；xx对于函数h(x)x b, x 0,1K当b 1时，在0,1上h(x)单调递减，(x -)min h(1) 1 b，又1 b 1 b ,x所以，此时a的取值范围是(1b,1 b) 当 1 b 0 ,在 0,1 上，h(x) x 2 一 b ,x当x F 时，(x b)min 2JT，此时要使a存在，x必须有1 b “ b 即1 b 2 23，此时a的取值范围是(1 b,2.在)1 b 0综上，当b1时，a的取值范围是(1 b,1 b)；当1 b 2 2 3时，a的取值范围是当2.23 b 0时，a的取值范围是4、根据函数的奇偶性、周期性等性质假设函数f(x)是

19、奇(偶)函数，那么对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；假设函数y=f(x)的周期为T,那么对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断假设把等式或不等式进展合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象， 那么可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例7对任意实数x,不等式x 1|x 2a恒成立，求实数a的取值范围分析：设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数X,不等式x 1 x 2a恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围.3 x

20、1 解：令 y |x 1 x 2 2x 11 x3x 2由图象可看出，只需a 3.在直角坐标系中画出图象如下图，对任意实数X，不等式x 1 x 2 a恒成立，故实数a的取值范围是(，3).注：此题中假设将 对任意实数x，不等式x 1 x 2a恒成立，求实数a改为 对任意实数X，不等式x 1| x 2 a恒成立，求实数a，同样由图象可得a>3; 对任意实数X，不等式x 1 x 2a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围例8.设常数a R

21、,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.假设函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点， 那么a的取值范围为。解：1a<=0x<=a/2<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0 时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a ，最小值为-a<=2那么与g(x)有父点，即：-2<=a<=0。2a>0x<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2 时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+a

22、x>=a/2 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2综上所述，-2<=a<=2 时 f(x)=3|x|+|2x-a| 与 g(x)=2-x 有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些根本的解题 策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练根本方法。一换元引参，显露问题实质1对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。解：因为的值随着参数a的变化而变化，假设设那么上述问题实质是当t为何值时，不等式恒成立"。易得这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的

23、不等式组:。解得，即有2、设点Px, y是圆x2 (y 1)2 4上任意一点,假设不等式x+y+c 0恒成立，求实数c的取值范围。二别离参数，化归为求值域问题3、假设对于任意角总有成立，求m的范围。解：此式是可别离变量型，由原不等式得根据边界原理知,，那么原不等式等价变形为恒成立。必须小于 f ()coscos 2的最小值，这样问题化归为怎样求2的最小值。因为f( )-cos一cos 2由原方程知，得又，即解之得或。时，有最小值为0,故三变更主元，简化解题过程4、假设对于，方程都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，

24、假设以m为主元，那么25、当a 1时，假设不等式x (a 6)x 9 3a 0恒成立，求x的取值范围。四图象解题，形象直观6、设x (0,4，假设不等式.x(4 x)ax恒成立，求a的取值范y围。yi解：假设设yi. x(4 x)，那么为上04x半圆。设，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为7、当x (1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。 解：设yi=(x-1) 2,y2=logaX,那么yi的图象为右图所示的抛物线要使对一切x yi的函数值。故 loga2>1,(1,2),yi

25、<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于1<a 2.&关于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数 a的取值范围。分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到假设将等号两边看成是二次函数 y x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，那么只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令 yi=x2+4x= x+22-4,y2=2x-6a-4,yi的图象为一个定抛物线y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使yi和y2在x轴上方有唯一交

26、点，那么直线必须位于h和|2之间。包括11但不包括12当直线为li时，直线过点-4，0，此时纵截距为-8-6a-4=0,a= 2 ；2 2当直线为12时，直线过点0, 0，纵截距为-6a-4=0 , a=/ a的范围为2,)33五合理联想，运用平几性质9、不管k为何实数，直线与曲线恒有交点，求a的范围。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比拟困难的。假设考虑到直线过定点A0, 1，而曲线为圆,圆心Ca, 0，要使直线恒与圆有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解：，Ca, 0，当时，联想到直线与圆的位置关系，那么有点A 0，1必在圆上或圆内，

27、即点A 0，1到圆心距离不大于半径，那么有，得六分类讨论，防止重复遗漏10、当时，不等式恒成立，求x的范围。解：使用的条件，必须将 m别离出来，此时应对进展讨论。当时，要使不等式恒成立，只要，解得当时，要使不等式恒成立，只要时，要使恒成立，只有综上得解法2:可设，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的方法，将m视为主变元,即将元不等式化为:m(x21)(2x 1)0，；令f(m) m(x21)(2x1)，那么2 m 2时，f (m)0恒成立，所以只需 "2)f(2)o°即2(x21)2(x21)(2x1)0(2x1 -7 1 J3的范围是x (,)。此类题本质上是

28、利用了2 2一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方或下方即11、3时,不等式x22ax 60恒成立，求实数 a的取值范围。解:6，当i6 时等号成立。故实数a的取值范围七构造函数，表达函数思想12、 1990年全国高考题设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果时有意义，求a的取值范围。解：此题即为对于，有恒成立。这里有三种元素交织在一起，构造复杂，难以下手,假设考虑到求a的范围，可先将a别离出来，得，对于恒成立。构造函数那么问题转化为求函数上的值域。由于函数那么 在在上是单调增函数,上为单调增函数。于是有的最大值为:，从而可得八利用集合与集合间的关系在

29、给出的不等式中，假设能解出取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,n f a ,g a ，那么fa m且g a n,不等式的解即为实数 a的取值范围。1例13、当x -,3时，logax 1恒成立，求实数a的取值范围。3(1)(2)1当a 1时，一x a，那么问题转化为1a13c1a,0 a-a133aa1 1当0 a 1时，a x ；，那么问题转化为3,31综上所得：0 a -或a 33四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、函数 f (x) x2 2ax 1， g(x)-，其中 a 0， x 0.x对任意1,2, X22,4，都有f(xj

30、 g(X2)恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数f(x)和g(x)分别求最值，即只需满足fmin(x) gma(x)即可.简解：令 n(a)=gmax(x)=a/2 ;令 m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a) 2+1-a2,故对称轴 x=a<1，即或 0<a<1 时，m(a)= f min(x)=f(1)=2-2a， 的范围从而得a的范围：0<a<4/5;由m(a)>n(a)解得a<4/5,注意到a解得a<10/9,注意到a的范围从 对称轴 x=a 1,2时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a

31、 ,由117m(a)>n(a)解得 a或4综合12、两函数1一7，注意到a的范围从而得 a的范围1 a42 3知实数a的取值范围是：(0, 4/5) U 1,2X1m,对任意X12f (x) x2, g(x)0,2 ,存在x21,2，使得f (Xi) g X2 ,那么实数m的取值范围为解析：对任意x10,2 ,存在x2 1,2 ,使得f(xjg X2等价于g(x)1,2上1 2的最小值4 m不大于f(x) X在0,2上的最小值10，既 4 m0 , mW 1 已知函数/x拓)-寸/ + 12”若存在G 1 使不眷式7X吒),求实数 柄 的取值+ Irur ( x> o ) C =

32、* +i v yg ao得萌数m柱区间小为墳函数，则当事左巧时巧U 哙-1故喪使存在电匸| 僮不等式fU占"血立貝即可.已知隔数#5= h护鼻的定义城为3x + 3题型二、主参换位法(某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、别离参数法欲求某个参数的范围，就把这个参数别离出来 题型四、数形结合恒成立问题与二次函数联系零点、根的分布法 五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法假设在区间D上存在实数x使不等式fA成立，那么等价于在区间 D上fmax假设在区间1、存在实数解：设f X 又x 3 xD上存在实数X使不等式fX，使得不等式X 3 |x 1X 3| |x 1，由 f4B

33、成立，那么等价于在区间D上的3a有解，那么实数a的取值范围为 a2 3a f xX2af 3a 有解，-“ 八 min ,a23a 4，解得 a 4或 a 1。X minB.(2)对称轴 x=a>2 时，m(a)= f min(x)=f(2)=5-4a，由 m(a)>n(a) 而得a无解：；1、求使关于p的不等式x2 px 1 解：即关于p的不等式(X 1)p x2p 2x在p -2,2有解的x的取值范围。2x 1 0有解，设 f p x 1 p x2 2x 1，那么f p在-2,2上的最小值小于0。(1)当 x>1 时，f(p)关于 p 单调增加，故 fmin(p)=f(-

34、2)=x 2-4x+3<0,解得 1<x<3; 当 x<1 时，f(p)关于 p 单调减少，故 fmin(p)=f(2)=X 2-1<0,解得-1<x<1 ； 当 x=1 时，f(p)=0,故 fmin(p)=f(p)<0 不成立。综合123知实数x的取值范围是：(-1, 1)U (1,3)例、设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二个根，不等式|m2-5m-3| >恢2|对任意实数 a -1,1恒成 立；命题Q:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；假设命题P和命题Q都是真命题，求m的值范围。 解：(1)由 P

35、真得：|為x2 |. a28，注意到 a在区间-1,1, |x1x2 |max 3,由于|m2-5m-3| >i|xx21对任意实数a -1,1 恒成立，故有|m2 5m 3|区x? |max 3解得：mC-1 或 m>6 或 0w m<5(1)由 Q 真，不等式 |x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得|x-2m|-|x|max=2m>1,解得：m>1/2 由于1 2都是相公命题，故 m的值范围：1/2<mW5或m> 6.a 2x 20 对于 a (f(a)2x a (4x 2)，那么 f(a)在 a (,3上单调递减，那么问题等价于f

36、(3)0,举例1不等式4x a 2x2 0对于x 1,恒成立，求实数a的取值范围分析：1由 4x a2x220得：a 2x 2x对于x 1,恒成立，因2x1-，所2以2x22x22，当2x2时等号成立所以有a 2 2.2注意到4xa2x 20对于a (,3恒成立是关于a的一次不等式.不妨设2假设不等式4x,3恒成立，求实数x的取值范围所以4x 3 2x 202x 2或2x 1，那么x取值范围为(,0)(1,).小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切 不可混为一体。不等式f xM对x1时恒成立fmax (x) M?, x1。

37、即f X的上界小于或等于M -不等式f xM对x1时有解fmin (x) M?, x I。或f X的下界小于或等于M -不等式f xM对xI时恒成立fmin (x) M?, x1。即f X的下界大于或等于M -不等式f xM对x1时有解fmax (x)M , x I。或f X的上界大于或等于M -高中数学难点强化班第四讲140709课后练习答案:一填空选择题每题 6分，共60分1、对任意的实数x ,假设不等式x 1围。答案：|x+1|-|x-2|-|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数 a 的取值范围：2、不等式sin2x 4sin x 1 a 0有解，那么a的取值范围是 解：原不等式有解所

38、以a 2 。a sin2 x 4sin x 1 sin x3假设对任意xR,不等式|x| ax恒成立,(A) a 1(B)|a| 1(C)|a|解析：对x R,不等式|x |ax恒成立那么由一次函数性质及图像知答案：选B4当x (1,2)时，不等式x2mx解析：当x (1,2)时，由x2mxf (x)在(1,2)上是减函数，所以m 5.5不等式 ax2 3x (a 1) x2为分析：参数a的范围，要求自变量那么实数1，即|a| 1。a恒成立，那么实数aa V-3sinx 1有解，而a的取值范围是Dsin x的取值范min40恒成立，那么x24.令 f(x) xx24x 4，那么易知x1,2时

39、f(X)max f(1)5 ,a 1对任意a (0,x的范围，转换主参元那么(x24)min 5 -x)都成立，那么实数 x的取值范围x和a的位置，构造以a为自变量x作为参数的一次函数 g(a)，转换成a (0,) , g(a) 0恒成立再求解。解析：由题设知"ax2 3x (a 1) x2 x a 1对 a (0,)都成立，即a(x22) x22x 0 对a(0,)都成立。设 g(a) (x22)a x22x aR，那么g(a)是一个以a为自变量的一次函数。Tx2 2 0恒成立，那么对 x R, g(a)为R上的单调递增函数。 所以对a(0，)，g(a) 0恒成立的充分必要条件是

40、g(0)0，x2 2x 0，2 x 0，于是x的取值范围是x| 2x0。26函数f x 2mx 2 4 m x 1,g x mx，假设对于任一实数 x , f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，那么实数m的取值范围是)A. (0 , 2) B (0 , 8) C (2 , 8) D (汽 0)分析：f(x)与g(x)的函数类型，直承受参数m的影响，所以首先要对参数进展分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当m 0时，f (x)8x 11y0在(，一)上恒成立，而g(x) 08在R上恒成立，显然不满足题意;(如图1)m 0时，g(x)在R上递减且g(x)mx

41、0只在(，0)上恒成立,f (x)是一个开口向下且恒过定点1的二次函数，显然不满足题意。g(x) 0当m 0时，g(x)在R上递增且g(x)f (x)是一个开口向上且恒过定点0, 1x与g x的值至少有一个为正数那么只需f (x)0 在(，0上恒成立。(如图3)4 m2m4(4那么有m)2 8m4 m或0解得4 m 8或0 m2m0f(x)的二次函数，要使对任一实4 ,x图3mx 0在(0,)上恒成立,f (x) 8x 1图1g( x) mx一图2f x g(x)综上可得0 m8 即 m (0,8)。应选 Bo7、两函数 f x 7x2 28x c, g(x)=6x 2-24x+21。1对任意x 3,3 ,都有f x g x成立，那么实数c的取值范