4．21　直线与圆的位置关系

1、4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系基础达标1在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x4y50 与圆 x2y24 相交于 A、B两点，则弦 AB 的长等于()A3 3B2 3C. 3D1解析圆 x2y24 的圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线 3x4y50的距离为 d532421.|AB|2 r2d22 412 3.答案B2点 M(x0，y0)是圆 x2y2a2(a0)内不为圆心的一点，则直线 x0 xy0ya2与该圆的位置关系是()A相切B相交C相离D相切或相交解析M 在圆内，且不为圆心，则 0 x20y20a2，则圆心到直线 x0 xy0ya2的距离为 da2x20

2、y20a2a2a，所以相离答案C3圆 x2y22x4y30 上到直线 l：xy10 的距离为 2的点有 ()A1 个B2 个C3 个D4 个解析圆的方程化为标准方程为：(x1)2(y2)28.圆心为(1，2)，圆半径为 2 2，圆心到直线 l 的距离为|121|121222 2.因此和 l 平行的圆的直径的两端点及与 l 平行的圆的切线的切点到 l 的距离都为 2.答案C4直线 l 与圆 x2y22x4ya0(a3)相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点为C(2，3)，则直线 l 的方程为_解析由圆的一般方程可得圆心 O(1，2)由圆的性质易知 O，C 两点的连线与弦 AB 垂直，故有 kA

3、BkOC1kAB1，故直线 AB 的方程为 y3x2，整理得 xy50.答案xy505由直线 yx1 上的点向圆 C：x2y26x80 引切线，则切线长的最小值为_解析直线 yx1 上点 P(x0，y0)到圆心 C 的距离|PC|与切线长 d 满足 d|PC|21 （x03）2y201 2x204x09 2（x01）27 7.答案76直线 l：yxb 与曲线 C：y 1x2有两个公共点，则 b 的取值范围是_解析如图所示，y 1x2是一个以原点为圆心，长度 1 为半径的半圆，yxb 是一个斜率为 1 的直线，要使两图有两个交点，连接 A(1，0)和 B(0，1)，直线 l 必在 AB 以上的半

4、圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线 l 的 b 值，当直线 l 与 AB 重合时，b1；当直线 l 与半圆相切时，b 2.所以 b 的取值范围是1， 2)答案1， 2)7(1)圆 C 与直线 2xy50 切于点(2，1)，且与直线 2xy150 也相切，求圆 C 的方程(2)已知圆 C 和 y 轴相切，圆心 C 在直线 x3y0 上，且被直线 yx 截得的弦长为 2 7，求圆 C 的方程解(1)设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2.两切线 2xy50 与 2xy150 平行，2r|15（5）|22124 5，r2 5，|2ab15|221r2 5，即|2ab15|10

5、|2ab5|221r2 5，即|2ab5|10又过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，b1a212由解得a2，b1.所求圆 C 的方程为(x2)2(y1)220.(2)设圆心坐标为(3m，m)圆 C 和 y 轴相切，得圆的半径为 3|m|，圆心到直线 yx 的距离为|2m|2 2|m|.由半径、 弦心距、 半弦长的关系得 9m272m2，m1，所求圆 C 的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29.能力提升8过点 P(1，1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()Axy20By10Cxy0Dx3y40解析当圆心与 P

6、的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件圆心 O 与 P 点连线的斜率 k1，直线 OP 垂直于 xy20，故选 A.答案A9若点 P(x，y)满足 x2y225，则 xy 的最大值为_解析设 xyt，即 yxt，如图当 yxt 与圆相切时，在 y 轴的截距取得最大值和最小值，此时|t|25，即 t5 2，故(yx)max5 2.答案5 210自原点 O 作圆(x1)2y21 的不重合两弦 OA，OB，若|OA|OB|k(定值)，那么不论 A， B 两点位置怎样， 直线 AB 恒切于一个定圆， 并求出定圆的方程解设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|OA|OB| x21y21 x22y22 x211（x11）2 x221（x21）2 4x1x2k.x1x2k24.设直线 AB 的方程为 ymxb，代入已知圆的方程并整理，得(1m2)x22(mb1)xb20，