人教版高数必修四第1讲：任意角和弧度制(教师版)

1、任意角和弧度制1. 理解1弧度的角、弧度制的定义2. 掌握角度与弧度的换算公式3. 熟记特殊角的弧度数（一）角的概念:1任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角2象限角定义：角的顶在原点始边与 X轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。与角有相同终边所有角表示为： +2k（ k为任意整数）（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2） 与角终边相同的角的集合： |3600k , k Z或 | 2k ,k Z（3）区间角的表示：象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合xk 360o V < k 360o 90

2、o,k Z第二象限角的集合xk 360o 90o V V k 360o 180o,k Z第三象限角的集合xk 360o 180o V V k 360o 270o, k Z第四象限角的集合xk 360o 270o V V k 360o 360°,k Z写出图中所表示的区间角:由 的终边所在的象限，来判断一所在的象限，来判断 所在的象限2 3（二）弧度制1弧度角的规定它的单位是rad读作弧度如图： AoB=IradA0C=2rad周角=2 rad定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。（1） 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是

3、负数，零角的弧度数是0（2） 角 的弧度数的绝对值-（I为弧长，r为半径）r（3） 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制* /180角度制=弧度制*180o/ 2 =360弧度数与弧长L与半径R的关系：L=Ra（可用来求弧长与半径）（4）弧长公式：L=Ra ;扇形面积公式：S丄R22弧长公式：n rl,扇形面积公式：180S 扇 nJR (初中)3602弧度制与角度制的换算：因为周角的弧度数是 2 ,角度是360 °,所以有3602rad180rad1180rad0.01745 rad把上面的关系反过来写2 rad 360

4、rad 1801801 rad ()rad 57.3057 180 360之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度02353264323462类型一：角的概念问题1 .终边相同的角的表示例1若角 是第三象限的角，则角的终边在第象限答案：二解析：因为 是第三象限的角，故 k 360o 270o V V k 360o 180o,k Z，则 k 360o 270o V <k 360o 180o,k

5、 Z,故的终边在第二象限.练习：与610o角终边相同的角可表示为 .【答案：k 360o 250o(k Z)】2. 象限角的表示例2已知角 是第二象限角，问(1)角是第几象限的角？ ( 2)角2终边的位置2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角解析：(1)因为 是第二象限的角，故k 360o 90o V V k 360o 180°(k Z ),故k 18045 k 18045 k 180° 45o V V k 180°90°(k Z).当 k 为偶数时， 在2 2 2第一象限；当k为奇数时，在第三象限，故为第一或第三象限角.2 2(

6、2)由 k 360° 90° V V k 360° 180°(k Z),得2k 360° 180° V 2 V 2k 360°360°(k Z),故角 2 终边在下半平面.点评：已知 所在象限，求一(n n*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论n结论：第一象限第二象限第三象限第四象限2第一、三象限第、三象限第二、四象限第二、四象限类型二：弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3把下列各角的度数化为弧度数： 150 37 30 ' 22 30' 315解因为1rad ,所以18051501

7、50 rad rad180 6337 30'37237 12180radrad2422 30'221221rad rad221808315315rad7rad1804练习：把下列各角的弧度数化为度数:3 59 rad 3.5rad rad rad4 34解因为rad = 180 ,所以3 3 rad =× 180 = 135 ；4 4 3.5rad = 3.5 Irad 3.5 57.30200.55 ;5 5 rad =× 180 = 300 3 3'99rad =× 180 =405 .4 4例4（1）设750o,用弧度制表示，并指出它

8、所在的象限；解析:(1)750252 2,故在第一象限.18066(2 )3 (II3O)O3108o ,与它终边相同的角可表示为kOO360180 (kZ),由55720o k 360o180oV0°：,得233- k <,故 k2 或 k1 ,即在720o-0o范围3（2）设，用角度制表示，并在 720o0o内找出与它有相同终边的所有角5导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？ （2）确定角为第几象限角的依据是什么？ （3）怎样找终边相同的角？依据是什么？10 10内与 有相同终边的所有角是612o和252o.点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角

9、所在的象限，关键 是在0,2 内找到与该角终边相同的角.练习：(1)设570，用弧度制表示,并指出它所在的象限；(2)设7用角度制表示,并在720o 0o内找出与它有相同终边的所有角3解析：(1)(19570)2 25故在第二象限.18064660o.71807(2) 7(180)° ( 7 )420o ,故在720o0o范围内与有相同终边的角是332.求弧长与扇形面积 例5已知一扇形中心角为,所在圆半径为R.(1)若，R3IOcm ,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积;（2）若扇形的周长为一定值 C（C >0）,当 为何值时，该扇形面积最大,并求此最大值导思：（1）扇形的弧长公

10、式是什么？ （ 2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗?10,弓形面积为S弓，则I 丛（Cm）,33）如何用扇形的周长C表示扇形面积？（解析：（1）设弧长为I1故 S扇 =2RIC11012S10102Sin 50()( Cm )232332由扇形周长C2RI ,得IC2R，11 “CoC2R(C 2R)R2-RC(R)22416S扇有最大值且最大值为C2此时IC 2R C，162（2）解法一:故生 S扇当R C4时,2.故当2时，该扇形有最大面积.解法二：由扇形周长2R I2RR ,得R故S扇=2R2(2C2 aG24- G ,416当

11、且仅当4，即a 2时，扇形面积最大为C6点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆 练习：设扇形的周长为8 Cm）面积为4c?,则扇形的圆心角的弧度数是 .0 ,解得r 2 ,故I 4 ,从而1 2 解：S -（8 2r）r 4 ,即 r 4r 41、下列角中终边与330°相同的角是（）D . -630A. 30° B . -30 ° C . 630°答案：B2、 1120°角所在象限是A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限答案：D3、把1485 ° 转化

12、为+ k 360 °( 0°V 360 ° , k Z)的形式是()A . 45° 4× 360° B. 45° 4× 360° C. 45° 5× 360° D. 315° 5× 360° 答案：D4、写出-720 °至U 720 °之间与-1068 °终边相同的角的集合 .答案:708 I 348 ,12 ,372136、已知A=第一象限角, B=锐角, C=小于90的角,那么A B、C关系是A. B=A C B

13、答案：B7、下列结论正确的是（.B C=CC . AD . A=B=CA.三角形的内角必是一、二象限内的角第一象限的角必是锐角5、终边在第二象限的角的集合可以表示为:()A . 90° < <180° B . 90°+ k 180° <<180°+ k 180°, k ZC . 270°+ k 180°< < 180 °+ k 180°, k ZD . I 270° + k 360°< < 180°+ k 360

14、76; , k Z答案：DC.不相等的角终边一定不同D | k 36090 Ik18090 Ik Z答案：D&若是第四象限的角,A.第一象限的角则 180答案:是.B.第二象限的角 C .第三象限的角 D .第四象限的角答案：C9、与1991 °终边相同的最小正角是 ,绝对值最小的角是 答案：191 与 169 ；10、若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为 | k 360135 Ik Z基础巩固、选择题1 . （2014 东济南商河弘德中学）已知=- 3,则角的终边所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限D .第四象限答案C解析1801rad= () ° 贝U

15、 =- 3r<ad =540U2 .与-13终边相同的角的集合是3()B .A .3C. = 2k TH- 3, k ZD.答案D解析与一3 7终边相冋的角=2k-13 3 , = (2k- 6) ÷ 6n cC.第三象限k Z,O= 2k+ 5, k Z） - 171.9 ； 是第三象限角.5 35 =(2k- 6) , (k Z).3 .已知集合 A = 2k (2k+ 1) k Z , B = Oa- 4 4,贝U A B=()B . a0 C . a- 4 4|D . a- 4 - 或 0 答案D解析k - 2 或 k 1 时 A B = ?; k=- 1 时 A B=

16、 4, n； k= 0 时，A B= 0 , n； 故 A B = 4,- 0 , 故选 D.4 .一条弧所对的圆心角是2rad,它所对的弦长为 2,则这条弧的长是()1sin11sin22sin12D. sin2答案C解析1 1 2所在圆的半径为r=而，弧长为2×而=而.5. (2014浙江象山中学高-一月考)某扇形的面积为1cm2 ,它的周长为4 Cm ,那么该扇形的圆心角等于()A . 2 °B . 2C. 4 °D. 4答案B2r + l = 4解析设扇形的半径为r,弧长为I ,由题意得12r = 1r = 1 解得l = 2该扇形圆心角= *= 2(ra

17、d),故选B.6.如图中，圆的半径为5,圆内阴影部分的面积是(175 125 7-75 C. 7834 答案AJ I解析40 = 40 ×面=30°= 30 ×1806,1 2 2 1 2 175 s= 2寫+尹=石.、填空题7.若两个角的差是1 °,它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是 答案180+ 180 360、360 - =面180 + 180 解析设两角为 则 =c 、360= 360 .+ = 18正n边形的一个内角的弧度数等于 答案n 2n解析T正n边形的内角和为(n 2) 一个内角的弧度数是-Ln三、解答题9 .已知a = 570

18、°° a2= 750 °3 C 7 = 5，= J.(1)将 a、Oa用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限;(2)将 0、用角度制表示出来，并在一 720。0 °范围内找出与 、有相同终边的角.570 = 19 180 = 6=-4+ 5,65第二象限,6=4+ 6,在第二象限. 750。= 750= 25 180 6 750。与终边相同，在第一象限,6 6 在第一象限. =3= (I× 18O) = 108° 与其终边相同的角为108 + k360, kZ,在一720°0°范围内与有相同终边的角是一612。和

19、一252 °同理，2= 420 °且在一7200°范围内与 有相同终边的角是一 60 °能力提升、选择题扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是.弧度.（）答案C 解析I圆心角所对的弦长等于半径,该圆心角所在的三角形为正三角形， 圆心角是护度.2 .在直角坐标系中，若角a与角终边关于原点对称，则必有 （）A .a= C . a= + B . a= 2k0k Z)D . a= 2k + + 0k Z)答案D 解析将旋转的奇数倍得3.在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为 （）Cm3 C. 2cmB . Cm2 D. Cm319

20、答案B解析由弧长公式得，=R=3×3= (Cm)4 .下列各组角中，终边相同的角是() 2k+ 2 k ZC. k + 2k±, k ZD. k±k, k Z答案A解析2k + 1与4k±1都表示的是奇数，故选A.二、填空题5.把一写成+ 2k k Z)的形式，使最小的的值是4.3 答案-11 3 c 5 .解析=2=4 4使最小的的值是一36 用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为 .答案 2+ 2k<<2 + 2k, k Z解析y轴对应的角可用一 2表示，所以丫轴右侧角的集合为 + 2k<+ 2k k Z.三、解答题7. X正半轴上

21、一点 A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过角(0< )经过2min到达第三象限，经过 14min回到原来的位置，那么是多少弧度？解析因为0< 所以0<2 2 .又因为2 在第三象限，所以 <2<3因为 14 = 2k, k Z,所以 2= "7 k Z.当k分别取4、5时，2 分别为87 爭 它们都在 ¥内.因此 = 4rad 或 = 5Tad.358. 设集合 A = = 2k, k Z , B= = 3k |k| 10, k Z，求与 A B 的角终边相同的角的集合.解析设o A B,则ao A 且 o B ,所以 ao=

22、 k 5.Oa= k2 ,3所以 k = k2 即 k = 1°k2因为 k2 10,k2 Z ,且k Z,所以 k = 0, ±10. YY= 2k或 Y= (2k +因此A B= 0 ,- 15, 15,故与A B的角的终边相同的角的集合为 1) k Z = Y= n, n Z.9 .已知扇形AOB的周长为8cm.(1) 若这个扇形的面积为 3cm2 ,求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB.解析设扇形的圆心角为扇形所在圆的半径为 X(Cm),2x+ X = 8依题意有1,解得= 2或6,2x2= 332即圆心角的大小为弧度或6弧度.8 2x(2)由于扇形的圆心角=-,入于是扇形面积 S= 2x2 8