矩阵分析Word版

1、附录I 矩阵分析介绍一、内容提要本章以矩阵序列的极限理论为基础的，介绍矩阵分析的一些基本内容, 包括矩阵序列的极限运算，矩阵序列和矩阵级数的收敛定理, 矩阵幂级数的极限运算和矩阵函数，矩阵的微积分等. 由于采用相似的极限理论为基础, 因此本章内容与通常的(函)数列, (函)数项级数, 幂级数具有许多类似的结果, 建议读者在学习本章时, 与高等数学中相应的内容进行对照, 比较异同, 加深理解. (一) 矩阵序列于矩阵级数1矩阵序列定义 设为中的矩阵序列， 其中如果对i=1,2,m, j=1,2,n均成立，则称矩阵序列收敛，而称为矩阵序列的极限，记为.不收敛的矩阵序列称为发散的.从定义可知, 判断

2、矩阵序列收敛需要判断所有矩阵元素组成的个数列同时收敛. 下面的定理告诉我们可以通过矩阵范数的收敛(一个数列)来判断矩阵序列的收敛.定理 设为中的矩阵序列，为中的一种矩阵范数，则矩阵序列收敛于矩阵的充要条件是收敛于零从线性空间的观点来看, 一个矩阵可以看作是它所在的矩阵空间中的一个“点”，因此一个矩阵序列的收敛问题就可以看成是该矩阵空间中的“点列”的收敛问题，就可以用各点到极限点的距离（范数）来描述收敛。矩阵序列收敛有如下性质:（1） 设和为中的矩阵序列，并且，则 （2） 设和分别为和中的矩阵序列，并且，则 （3） 设，中的矩阵序列，并且和均为可逆的，则 （4） 设，的充分必要条件是若对上的某种

3、范数，有，则.1 / 27（5） 设， ，并且，则.2. 矩阵级数定义2设为中的矩阵序列, 称为由矩阵序列构成的矩阵级数，记为定义3 记，称之为矩阵级数的前k项部分和.若矩阵序列收敛且，则称矩阵级数收敛，而矩阵称为矩阵级数的和矩阵，记为不收敛的矩阵级数称为发散的.定义4 设为中的矩阵级数，其中如果对任意的1im, 1jn均为绝对收敛的，则称矩阵级数绝对收敛.对比矩阵级数绝对收敛的定义以及高等数学中的数项级数的绝对收敛的定义可以得出矩阵级数收敛的一些性质.（1） 若矩阵级数是绝对收敛，则它一定是收敛的，并且任意调换各项的顺序所得到的级数还是收敛的，且级数和不变.（2） 矩阵级数为绝对收敛的充分必

4、要条件是正项级数收敛.（3） 设为中的绝对收敛的级数，为中的绝对收敛的级数，并且, , 则·按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛的，且和均为（4） 设和为给定矩阵，如果型矩阵级数收敛（或绝对收敛），则矩阵级数也收敛（或绝对收敛），且有等式 (二) 矩阵幂级数定理 设为收敛半径为的幂级数，为阶方阵，则（） 时，矩阵幂级数绝对收敛；（） 时，矩阵幂级数发散.推论 设为收敛半径为的幂级数，为阶方阵，如果的特征值均落在收敛圆内，即，其中为的任意特征值，则矩阵幂级数绝对收敛；若有某个使得，则幂级数发散根据幂级数性质，幂级数的和函数是收敛圆内的解析函数（任意次可微，在任一点处均可展成Taylor

5、级数），而一个圆内解析的函数可以展开成收敛的幂级数于是，如果是 内的解析函数，其展成绝对收敛的幂级数为，则当矩阵的特征值落在收敛圆内时，定义并称之为关于解析函数的矩阵函数.常用的一些矩阵函数有:；;.对于一般的矩阵函数,可以利用矩阵的Jordan分解写出其具体表达式.定理 设为收敛半径为的幂级数，为阶方阵，为其Jordan分解，当的特征值均落在收敛圆内时，即，其中为的任意特征值，则矩阵幂级数绝对收敛， 并且和矩阵为其中的定义为.另外，还可以通过待定系数的方法来求矩阵函数，避免求矩阵的Jordan分解。由矩阵的Hamilton-Caylay定理，对于阶方阵，假设其特征多项式为，则有。另一方面，对

6、于解析函数，它可以表示为收敛半径为的幂级数，于是得到，其中是一个比次数低的多项式，记为，则当时，。这样，只需计算次矩阵多项式即可得到矩阵函数。而的系数可以通过待定系数的方法得到，假设是的重特征根（），注意到. 根据这个方程，得到一个以为未知数的线性方程组。事实上，这即为以为插值节点的Hermite插值，因此方程组有唯一解。进一步，如果得到的最小多项式，则类似有，而且，此时的余式的次数可以更低，使得计算更为简单。对于函数满足的恒等式，只要能保证等式两边的矩阵函数同时为收敛的矩阵幂级数，则可以得到相应的矩阵函数恒等式，例如可以证明（），总有（1） （2）， ，（），且，则（1）（2）若，则， (三

7、) 函数矩阵的微积分1 相对于数量变量的微分和积分定义5 如果矩阵的每一个元素在上均为变量的可微函数，则称可微，且导数定义为定理4 设、是可进行运算的两个可微矩阵，则以下的运算规则成立 （1）； （2）； （3），其中为任意常数.(4) 当关于可微时，有(5) 当为可微矩阵时，有由于仍是函数矩阵，如果它仍是可导函数矩阵，则可定义其二阶导数。不难给出函数矩阵的高阶导数：定理5 设n阶方阵与t无关，则有 （1） ； （2） ； （3） 定义6 如果矩阵的每一个元素都是区间t0,t1上的可积函数，则定义在区间t0,t1上的积分为 容易验证如下运算法则成立（1）， ；（2），其中为常数矩阵；，其中为常

8、数矩阵.（3）当在上连续可微时，对任意，有（4）当在上连续可微时，对任意，有2 相对于矩阵变量的微分定义7 设，函数)为元的多元函数，且都存在，定义对矩阵的导数为 3 矩阵函数在微分方程中的应用定理 对于一阶线性常系数齐次微分方程组的定解问题：有唯一解对于一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题 这里是已知向量函数，和意义同前其解为 .二 典型例题分析例1. 证明当, 则有, 反之不对.证明 由矩阵序列收敛等价于依范数收敛，和矩阵范数的三角不等式即证明本例. 反之, 若取矩阵序列, , 显然, 但与的极限并不相等, 分别为和. 注: 当矩阵序列收敛的时候，他们的“长度”（范数）组成的数列显然收

9、敛到极限矩阵的“长度”（范数），反之不对。显然，位于“范数单位圆”上的所有矩阵组成的序列对应的范数数列收敛，但这些矩阵可以不收敛。只有当极限为零矩阵时，才有 当且仅当.例2证明矩阵序列的收敛性保持线性运算和乘积运算，或者矩阵序列的极限运算可与矩阵序列的加法，数乘和乘积运算交换。即，设，并且， 则 （1），（2）.证法一. 由矩阵序列收敛的定义为其元素组成的个数列同时收敛，与数列的收敛性保持线性运算和乘积运算即可证明。事实上，矩阵的线性运算（加法和数乘）和乘积运算都是其元素之间的有限次线性运算和乘积运算，因而可以与极限运算交换。证法二. 由矩阵序列收敛等价于依范数收敛证明。（） 由已知条件知，则

10、和皆有界，于是当时，上式极限为0，因此.（） 同理由当时，上式极限为0，因此.例3讨论矩阵序列收敛性保持求逆运算的条件。即设可逆矩阵收敛且，则逆矩阵序列何时收敛？解. 为了判断逆矩阵序列的收敛性，注意到，为的伴随矩阵，和都是由的元素的有限次加法和乘法得到，因此矩阵序列和非零数列都收敛，且极限分别为和。而数列收敛的条件还需要分母的极限不为零，所以收敛的条件为。这说明，当可逆矩阵序列收敛且极限矩阵也可逆时，极限运算和求逆运算可以交换，. 事实上，的极限矩阵可逆是收敛的充要条件。反之，若和都收敛，则由极限运算与乘积运算的可交换性，即得.上述条件不成立的反例为，取，则. 虽然收敛，, 但不可逆，因此发

11、散。例4若阶方阵的任意一种范数，则. 反之，若，则存在的某种相容的矩阵范数使得.证明 由的充要条件为。若的任意一种范数，则，因此. 反之，若，则，于是对于，一定存在一种相容的矩阵范数使得.注：为使，只需在某种范数意义下小于1即可，反之，若并不能说明在任何范数意义下都小于1，但至少在一种范数意义下小于1。例5证明：阶方阵组成的矩阵级数绝对收敛，当且仅当存在一种矩阵范数，使得.证法一：充分性. 由正项级数的比较判别法，且收敛知收敛，也即绝对收敛。必要性. 绝对收敛，则它一定收敛，于是它的一般项的极限，由上例知存在一种矩阵范数，使得.证法二：由绝对收敛的充要条件为，和矩阵范数与谱半径的关系即得。例6

12、. 设，证明绝对收敛。证明 由或者由，则绝对收敛。注：利用矩阵范数判断的收敛性，只需找到一种范数使得即可。此例中若采用，则并不能判断的收敛性。例7 讨论下列矩阵幂级数的敛散性，（1），（2），（3）解 题中三个矩阵幂级数是将幂级数中的变量分别替换为，和而得到。由，知幂级数的收敛半径。因为，故矩阵幂级数（1）绝对收敛；由于，故矩阵幂级数（2）也绝对收敛；再由 而，则矩阵幂级数（3）发散。例8 证明，总有（1） （2） 证明 由 它们的收敛半径都为, , 上述矩阵幂级数都绝对收敛, 因此对也成立. 则有同理有 与上式联立即可得到 例9 证明，且, 则（1） （2）（3）特别, 若，则 证明 (1)

13、 由于, 则同理可证 取 则, 因此(2) 同理可证例10 设，求.解法一，根据矩阵的Jordan分解解法二，利用矩阵特征多项式，设由 得 于是例11 设和是可进行运算的两个可微矩阵，证明以下运算规则成立（1）；（2）当关于可微时，有 ；（3）当为可微矩阵时，有.（4）若在区间上连续，则有（NL公式）.证明 由函数矩阵的导数定义（1）.（2）.（） 由，两边求导得到，于是,特别，当时，.（4）由函数矩阵的积分定义 .例12 设阶方阵与无关，则有（1）；（2）；（3）.证明 (1) 由绝对收敛的矩阵幂级数可逐项可导，.(2) 由, 和上式，.同理可得（3）.例13 已知，求.解法一 由，于是.解

14、法二 .注 由此例的解法二看出，如果不可交换，则。如果，则有, 为正整数。例14 已知，求。解 此例为例10的反问题，注意到，而，因此.例15 求.解法一 由定义.解法二 由NL公式，.例16 设，其中，求.解 设，则，由，于是.例 17 设，且，令，求.解 设，的代数余子式记为，由，而且与无关，于是，则，其中是的伴随矩阵。此外，由于，故例18 求定解问题，其中，解 该问题的解为 先计算，利用矩阵的特征多项式，设由 得 于是，则有，对变量从到进行积分得. 因此.三 习 题1选择、填空和判断正误题(1)设，则矩阵幂级数 (A) 发散； (B) 收敛但不绝对收敛；(C) 绝对收敛； (D) 无法判

15、定敛散性(2)设，则 .(A) ; (B) ; (C) .(3)当 时，矩阵幂级数绝对收敛.(4) ,要使，应满足 .(5) 设阶矩阵不可逆，则亦不可逆.( )(6) 设是阶Householder矩阵，则= .(7) 设阶矩阵可逆，则= .2设，证明必收敛，并求.3设，其中且，判断矩阵序列的收敛性.4证明时，5证明 ，其中表示阶方阵的对角元的和.6证明 7已知，求8. 已知 ， 试求：9. 求微分方程组 ，求满足初始条件的解.10. 求常微分方程组 满足条件的解.11设12设四 习题解答1 (1) (C). 通过判断通常幂级数的收敛半径为, 且由题意, 可知矩阵幂级数绝对收敛.(2) (A)

16、已经是特征值为0下三角Jordan标准型, 由可得也为下三角阵. 若要利用上三角Jordan标准型, 只需注意到相似变换矩阵, 可得到相同的结果.(3) 由幂级数的收敛半径, 可知当矩阵的谱半径时,相应的矩阵幂级数绝对收敛.(4) 由的充分必要条件是和本题可知应满足.(5) 错误. 反例不可逆, 但可逆.(6) 由Householder矩阵的性质知矩阵的特征值为-1和1 (重), 且1的几何重数为, 因此的Jordan标准型, 则.(7) 利用幂级数在收敛圆内可逐项求积的性质, .2. 解: 由和幂级数的收敛半径为1可知矩阵幂级数收敛, 且.3. 解: 由与具有相同的非零特征值, 因此, 则.

17、4. 证法一：由，则，由矩阵级数绝对收敛的性质，等式两边同时左乘，右乘得到，上式右端为两个绝对收敛的级数乘积，经过整理即得.证法二：由幂级数的收敛半径为1知，当时，矩阵幂级数绝对收敛，且可逆. 则，即得本例结论.证法三：当时，幂级数绝对收敛，于是可以逐项求导得，它的收敛半径仍为1。则当时，矩阵幂级数绝对收敛，两边同时左乘即得.5. 证明: 设矩阵的Jordan标准型为, 且所有特征值为, 即为的对角元, 则, , 其中为上三角矩阵且对角元为, 故.6. 证明: 由和, 两式相乘即得.7. 解: 由矩阵已经是Jordan标准型, 故有,或者.8. 解: 由得,.或者, 利用矩阵的特征多项式，设由 得 于是 ，同样可