七年级上册规律题专题训练1【有理数训练题库】

1、七年级上册规律题专题训练1一、计算题（共28题；共232分）1.观察 + =（1 ）+（ ）=1 = （1）计算： + + + =             （2）计算： 2.阅读下面文字： 对于( )( )17 ( )，可以按如下方法计算：原式(-5)+( )(9)( )( )(-3)+( )(5)(9)17(3)( )( ) ( )0( )1 .上面这种方法叫拆项法.仿照上面的方法，请你计算：(2018 )(2017 )(1 )4036.3.计算题： （1）（2）4.阅读下

2、列内容，然后解答问题： 因为： 所以： 问题：计算：（1）（2）（3）5.已知1- = , - = , - = , - = 根据这些等式求值。请你仔细观察，并找出其奥妙，再计算： 6.在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26然后在式的两边都乘以2，得：2S=2+22+23+24+25+26+27 ；得2SS=271，S=271，即1+2+22+23+24+25+26=271. （1）求1+3+32+33+34+35+36的值； （2）求1+a+a2+a3+a2013（a0且a1）的

3、值. 7.请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 计算： ; 8.观察下列计算 =1 ,  = ， = -   ， = （1）第5个式子是_；第n个式子是_. （2）从计算结果中找规律，利用规律计算. + + （3）计算 + （4）计算 + + 9.用简单方法计算下列各题。                 10.已知：实数a、b满足条件 +（ab2）20.试求 + + + 的值. 11.阅读下面的文字,回答后面的

4、问题：求 的值.解：令 将等式两边同时乘以5得到: -得: 即 问题:（1）求 的值； （2）求 的值； 12.观察下列各式： -1× =-1+ - × =- + - × =- + （1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式） （2）试运用你发现的规律计算： （-1× ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）13.观察下列等式 =1- ， = - ， = - ，将以上三个等式两边分别相加得： + + =1- + - + - =1- = （1）猜想并写出： 的结果 （2）直接写出下列各式的计算结果：

5、 + + + + + + （3）探究并计算： + + + 14.计算 15.阅读下面材料：（1+ ）×（1 ）= × =1，（1+ ）×（1+ ）×（1 ）×（1 ）= × × ×  = × × × =1×1=1根据以上信息，求出下式的结果（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）××（1+ ）×（1 ）×（1 ）×（1 ）×（1 ）××（1 ） 16.已知实数 ， 满足：

6、，且 ，求 的值 17.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简: , , .以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简: .（1）请用上面介绍的两种不同方法化简 . （2）试用上述方法化简: . 18.先阅读，再解题： 因为 ， ， ，所以 参照上述解法计算： 19.阅读材料，求值： 解：设 ，将等式两边同时乘以2得：将下式减去上式得 即 （1）请你仿照此法计算： （其中 为正整数）（2）求 的值. 20.阅读下列材料,然后回答问题: 在进行类似于二次根式 的运算时,通常有如下两种方法将其进一步化简:方法一: 方法二: （1）请用两种不同

7、的方法化简: ; （2）化简: . 21.阅读下面计算过程： 请解决下列问题：（1）根据上面的规律，请直接写出 =_； （2）利用上面的解法，请化简： ；（3）你能根据上面的知识化简 吗？若能，请写出化简过程. 22.观察下列式子变形过程，完成下列任务： （1）类比上述变形过程的基本思路，猜想 的结果并验证； （2）算： . 23.计算下列各式 （1）_； （2）_； （3）_； （4）根据所学知识找到计算上面算式的简便方法，请你利用你找到的简便方法计算下式： 24.观察下列有规律的数： ， ， ， ， ， 根据规律可知 （1）第 个数是_，第 个数是_（ 为正整数）； （2）是第_个数； （

8、3）计算 25.设 ， ， ， 若 ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数） 26.如果有理数 、 满足 ，试求 的值 27.如果有理数a,b满足 ，试求 的值。 28.    计算下列各式： （1）1 =_; （2）=_； （3）=_； （4）你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：二、解答题（共3题；共28分）29.观察下列解题过程： 计算： 的值.解：设 ，则 ，-，得 ，通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：.30.阅读理解，回答下列问题： （1）试猜想：1+3+5+7+9+2015+

9、2017+2019的和是多少？ （2）推广：1+3+5+7+9+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？ （3）计算：103+105+107+2017+2019. 31.观察下列等式： =1 ， = ， = ，将以上三个等式两边分别相加得： + + =1 + + =1 = （1）猜想并写出： =_ （2）直接写出下列各式的计算结果： + + + =_； + + + =_（3）探究并计算： + + + 三、综合题（共19题；共146分）32.阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ； 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如： 与 ， 与 数学

10、上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了（1）的有理化因式是_， 的有理化因式是_ （2）求 的值； （3）求 的值 33.观察下列等式： ， ， ，将以上三个等式两边分别相加得：.（1）猜想并写出： _. （2）直接写出下列各式的计算结果： _； _ .（3）探究并解决问题： 如果有理数a，b满足ab21b0，试求：的值.34.观察下列等式: =1- ， = - ， = - ； 将以上三个等式两边分别相加得: + + =1- + - + - .（1）计算: + + =_； （2）计算

11、: + + + ； （3）探究并计算: + + + ； - + - + -+ .35.“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如： ， ，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解： ， 像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化解决下列问题：（1）将 分母有理化得_； 的有理化因式是_； （2）化简： =_； （3）化简： + 36.阅读下列材料，完成相应任务： 神奇的等式第1个等式： ；第2个等式： ；第3个等式： ；

12、第4个等式： ；第100个等式： ；任务：（1）第6个等式为：_； （2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明 37.问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2（a+b）2 a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式类比解决：（1）请

13、你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式（要求画出图形并写出推理过程） 问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+2332？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×113B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×223而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形由此可得：13+23（1+2）232（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33_（要求写出结论并构造图

14、形写出推证过程） （3）问题拓广： 请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+n3_（直接写出结论即可，不必写出解题过程）38.观察下列等式： （1）写出第 个等式：_； （2）写出你猜想的第n个等式：_(用含n的等式表示)，并证明 39.化简： + + 为了能找到复杂计算问题的结果，我们往往会通过将该问题分解，试图找寻算式中每个式子是否存在某种共同规律，然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题下面我们尝试着用这个思路来解决上面的问题请你按照这个思路继续进行下去，并把相应横线上的空格补充完整（1）（分析问题）第1个加数： ； 第2个加数： ；第3个加数： ；第4个加数：_

15、；（2）（总结规律）第n个加数：_ （3）（解决问题）请你利用上面找到的规律，继续化简下面的问题（结果只需化简，无需求出最后得数） + + 40.阅读下列材料：小明为了计算 的值 ，采用以下方法： 设 则    -得   （1）= _; （2）= _; （3）求 的和（ ，n是正整数，请写出计算过程 ）. 41.观察下列等式： 第一个等式： ；第二个等式： ；第三个等式： ；第四个等式： ；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6=_=_； （2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_=_； （3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=_（得出最简结果

16、）； （4）计算：a1+a2+an 42.观察下列算式： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： （1）可猜想第7个等式为_ （2）探索规律，若字母 表示自然数，请写出第 个等式_ （3）试证明你写出的等式的正确性 43.第1个等式：1- = × 第2个等式：(1- )(1- )= × 第3个等式：(1- )(1- )(1- )= × 第4个等式：(1- )(1- )(1- )(1- )= × 第5个等式：(1- )(1- )(1- )(1- )(1- )= × ·····

17、83;（1）写出第6个等式； （2）写出第n个等式(用含n的等式表示),并予以证明 44.观察下列两个等式：2 2× +1，5 5× +1，给出定义如下：我们称使等式abab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2， ），（5， ），都是“共生有理数对” （1）数对（2，1），（3， ）中是“共生有理数对”的是_； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（n，m）_“共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为_；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复） （4）若（a，3）是“共生有理数

18、对”，求a的值 45.阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： ？经过研究，这个问题的一般性结论是 ，其中 是正整数现在我们来研究一个类似的问题： ？观察下面三个特殊的等式：将这三个等式的两边相加，可以得刚才得到 读完这段材料，请你思考后回答：（1）_； （2）_； （3）_； （只需写出结果，不必写中间的过程）46.庄子·天下：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题. （规律探索）（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S

19、阴影11 _； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉半，则S阴影21 ( )2_；同种操作，如图3，S阴影31 ( )2( )3_；如图4，S阴影41 ( )2( )3( )4_；若同种地操作n次，则S阴影n1 ( )2( )3( )n_.（2）（规律归纳） 直接写出 的化简结果：_.（3）（规律应用） 直接写出算式 的值：_.47.观察下列算式，找出规律并填空。 .（1）第十个算式是_. （2）的值. （3）的值. 48.观察下列两个等式: , ,给出定义如下:我们称使等式 成立的一对有理数 , 为“衍生有理数对”,记为 ,如数对 , 都是衍生有理数对. （1）数对 , 中是“衍生有理

20、数对”的是_； （2）若数对 是“衍生有理数对”,则 的值为_； （3）若数对 是“衍生有理数对”,试判断 是不是“衍生有理数对”,请说明理由. 49.阅读下列运算过程，并完成各小题： = = ； = =  数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，模仿上例完成下列各小题：（1）=_。 （2） =_。 （3）如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： = = = 1 = = = = _。（4）你能根据你得到的规律计算下题吗？ + + + (n为正整数)50.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如杨辉三角就是一例如图，这个三角形的构

21、造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3a3+3ab+3ab2+b3展开式中的系数结合对杨辉三角的理解完成以下问题 （1）（a+b）2展开式a2+2ab+b2中每一项的次数都是_次； （a+b）3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中每一项的次数都是_次；那么（a+b）n展开式中每一项的次数都是_次（2）写出（a+1）4的展开式_ （3）拓展应用：计算（x

22、+1）5+（x1）6+（x+1）7的结果中，x5项的系数为_ 答案解析部分一、计算题1.【答案】 （1）解： + + + =（1 ）+（ ）+    （ ）+（ ）=1 + +    + =1 = ；（2）解： ， = （ ）= （ ）= × = 2.【答案】 解：原式(-2018)+( )(2017)( )(1)( )4036 (2018)(2017)(1)4036( )( )( )0( )( )( )2.3.【答案】 （1）解： = =0（2）解： = = =-94.【答案】 （1）解：原式 =1 = （2）解：原式=

23、= （3）解：原式 = 5.【答案】 解： = = = 6.【答案】 （1）解：1+3+32+33+34+35+36 =（1+3+32+33+34+35+36）×3（1+3+32+33+34+35+36）÷（31）=（3+32+33+34+35+36+37）（1+3+32+33+34+35+36）÷2=（371）÷2=2187÷2=1093.5；（2）解：1+a+a2+a3+a2013（a0且a1） （1+a+a2+a3+a2013）×a（1+a+a2+a3+a2013）÷（a1）=（a+a2+a3+a2013+a2014）

24、（1+a+a2+a3+a2013）÷（a1）=（a20141）÷（a1）= .7.【答案】 解：  原式=1-=；   , ,原式=. 8.【答案】 （1）；（2）解： + + =1 （3）解： + = （4）解： + + = 9.【答案】 解：原式= = ；原式= = = 10.【答案】 解： +（ab2）20， a10，ab20，解得，a1，b2， .11.【答案】 （1）解：令 将等式两边同时乘以2得到: -得: 即 （2）解： 令 将等式两边同时乘以3得到: -得: 12.【答案】 （1）解：- × =- + （2）

25、解：（-1× ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）+（- × ）=-1+ - + - + +- + - + =-1+ =- . 13.【答案】 （1）解：由题意知 （2）解：原式 原式 （3）解：原式 14.【答案】解：根据绝对值的性质，原式=-（-）-（-）-（-）-（-），=-+-+-+-+，=-，=. 15.【答案】解：原式= × × ×× × × × × ×× = × × × × ×

26、; ×× × =1×1×1××1=1 16.【答案】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 17.【答案】 （1）解： 原式=.（2）解：原式=. 18.【答案】 解：原式 19.【答案】 （1）解：设 将等式两边同时乘以 得： 将下式减去上式得： ，即 则 设 将等式两边同时乘 得： 将下式减去上式得： ，即 则 （2）解： 20.【答案】 （1）解：方法一： 方法二： （2）解：原式= 21.【答案】 （1）（2）原式= 1+ + = 1=101=9；（3）能. = = 22.【答案】 （1）解： ， 验证：，（

27、2）解： ， ，23.【答案】 （1）（2）（3）（4）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）=××××××××××××××=×=24.【答案】 （1）；（2）11（3）解： + + + + + + = = 25.【答案】解：  ，  ，  ， S1=（ ）2 ， S2=（ ）2 ， S3=（ ）2 ， ，Sn=（ ）2 ，  ，S= ，S=1+ ，S=1+1 +1+ +1+ ，S=n+1

28、 = 26.【答案】解：由ab2+（1b）2=0，得ab2=0，1b=0，则 a=2，b=1，所以 =  =  = =1-  = 27.【答案】解：由已知得到： 。所以 ，所以 ， ， ，所以原式 28.【答案】 （1）（2）（3）（4）二、解答题29.【答案】 解： 设 则 -得：30.【答案】 （1）解：由1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 依此类推：第n个等式所代表的算式为：1+3+5+（2n-1）=n2； 1+3+5+7+9+2015+2017+2019=10102.（2）解：1+3+5+7+

29、9+（2n-1）+（2n+1） =1+3+5+7+9+（2n-1）+2（n+1）-1 =（n+1）2（3）解：103+105+107+2017+2019 =（1+3+2019）-（1+3+101） =10102-512 =1018458. 31.【答案】 （1）（2）；（3）解： 三、综合题32.【答案】 （1）；（2）解： （3）解： 33.【答案】 （1）（2）；（3）解：ab21b0， ab2=0，1b=0，解得b=1，a=2， = = = .34.【答案】 （1）（2）解： （3）解： 35.【答案】 （1）；1（2）（3）解：原式 36.【答案】 （1）（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为： ； 证明：左边 ，左边右边，等式成立故答案为 37.【答案】 （1）如图，左图的阴影部分的面积是a2b2 ， 右图