第八章线性动态电路的时域ppt课件

1、第八章第八章 线性动态电路的时域分析线性动态电路的时域分析RLC)(tuR)(tuC)(tuL)(tuS（linear dynamic circuit time domain analysis）稳态稳态steady state ） ：外施激励作用在：外施激励作用在电路上已经很久，只要电路的结构和参数电路上已经很久，只要电路的结构和参数一定，电路中的响应也呈稳定规律变化。一定，电路中的响应也呈稳定规律变化。暂态：暂态：(transient state) :电路的工作条件电路的工作条件突然变更，如突然变更，如开关动作开关动作switching ）缺点缺点fault）参数的变化，稳态破参数的变化，稳

2、态破坏，电路的响应出现变动，一段时间后，电路中电流、坏，电路的响应出现变动，一段时间后，电路中电流、电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。电压又会达到一个新的稳定值，即达到新的稳态。 研究电路的暂态研究电路的暂态可以确定电力系统的保护措施。可以确定电力系统的保护措施。避免避免电路的振荡电路的振荡可获得最优最快的控制特性。可获得最优最快的控制特性。电路从一个稳态到另一个稳态间的过渡过程称为暂态。电路从一个稳态到另一个稳态间的过渡过程称为暂态。S线性动态电路：电路暂态的存在是由于电路包含了电容、线性动态电路：电路暂态的存在是由于电路包含了电容、电感两种储能元件，其能量的变化需要过程。电容、电

3、电感两种储能元件，其能量的变化需要过程。电容、电感也称为动态元件，含有线性动态元件的电路称为线性感也称为动态元件，含有线性动态元件的电路称为线性动态电路，简称动态电路。动态电路，简称动态电路。第一节第一节 动态电路的初始条件和初始状态动态电路的初始条件和初始状态一、动态电路的微分方程一、动态电路的微分方程1换路：电路工作条件的改变称为换路：电路工作条件的改变称为换路。将换路发生的时刻或时间点换路。将换路发生的时刻或时间点称为初始瞬间称为初始瞬间initial instant记为记为t=t0,一般取一般取t=0,把换路前趋近于换路把换路前趋近于换路时的一瞬间记为时的一瞬间记为t=0-（ t= t

4、0- ），把），把换路后的初始瞬间记为换路后的初始瞬间记为t=0+ （ t= t0+ ）RLC )(tuR )(tuC )(tuL )(tuS)(tiS2形状：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反形状：电路中电容上的电压和电感上的电流直接反映了电路的储能情况，因此常常将映了电路的储能情况，因此常常将uC(t)，iL(t)称为电称为电路的状态。它们是确定电路响应的最少信息数据），路的状态。它们是确定电路响应的最少信息数据），其为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。其为变量即所谓的状态变量列写动态电路的方程。3换路后电路方程：仍由换路后电路方程：仍由KL及及VRA可得微分方程。可得微分方程。

5、uC(0- )，iL(0- ) 为换路前瞬间电路的状态，为换路前瞬间电路的状态，uC(0+ )，iL(0+ ) 为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态。由为换路后初始瞬间的状态，简称初始状态。由初始状态可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间的值，初始状态可以确定电路其它电气量换路后初始瞬间的值，即初始条件。即初始条件。)0)()()()( ttutututuSCLR,)(dtduRCtuCR ,)(dtduCtiC 22)(dtudLCtuCL 以以uc(t)为变量为变量一、动态电路的微分方程)0(22 tuudtduRCdtudLCSCCC)0)()()()( ttutututuSCLR,)(L

6、RRitu ,)(Liti ,)(dtdiLtuLL diCtutLC 0)(1)()0()(10 tudiCdtdiLRiStLLL )0(22 tdtduCidtdiRCdtidLCSLLL以以iL(t)为变量为变量二、换路定律：二、换路定律：对于线性电容，在任意时刻对于线性电容，在任意时刻t其电压电荷与电流其电压电荷与电流的关系为：的关系为：dtiCtututtcCC)(1)()(00 dtitqtqttcCC)()()(00 dtiCtututtcCC)(1)()(0000 初始瞬间初始瞬间dtitqtqttcCC)()()(0000 )0()0( CCuu)0()0( CCqq换路定

7、理：换路定理：一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时一般的电路在换路瞬间通过电容的电流为有限值，同时时间是连续的所以：时间是连续的所以：)()(00 tqtqCC0)(100 dtiCttc 0)(00 dtittc 电容上电荷和电压换路先后不发生跃变。电容上电荷和电压换路先后不发生跃变。（通过电流为有限值时）（通过电流为有限值时）)()(00 tutuCC对于线性电感，在任意时刻对于线性电感，在任意时刻t其电流磁链与电压其电流磁链与电压的关系为：的关系为：dtuLtitittLLL)(1)()(00 dtuttttLlL)()()(00 dtuLtitittLLL)(1)()(00

8、00 初始瞬间初始瞬间dtuttttLLL)()()(0000 )()(00 ttLL 0)(100 dtuLttL 0)(00 dtuttL )0()0( LLii)0()0( LL )()(00 titiLL一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同一般的电路在换路瞬间加在电感的电压为有限值，同时时间是连续的所以：时时间是连续的所以：电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。电感上磁链和电流换路先后不发生跃变。（所加电压为有限值时）（所加电压为有限值时） 求得换路前电路稳态时的状态值求得换路前电路稳态时的状态值 即即uC(0 )、 iL(0 ) ，由换路定律可得电路的初始状态值，由换路定律可

9、得电路的初始状态值uC(0+ ) ， iL(0+ )在在t=0+时，将电容看作值为时，将电容看作值为uC(0+ )的电压源，电感看作值为的电流源，独立源取的电压源，电感看作值为的电流源，独立源取t=0+的的值，从而建立值，从而建立t=0+的电路模型，求得电路的各个电气的电路模型，求得电路的各个电气量的初始值即初始条件。量的初始值即初始条件。初始值的确定：初始值的确定：二、换路定律二、换路定律)0()0()0(1 RLCiui，求求开开关关打打开开瞬瞬时时的的LC )(tuL SU1R2R3R)(1tiR)(tiCV10,F5 . 0,H1,2,4321 SUCLRRR已已知知：画出画出t= 0

10、- 的电路图，求开关打开前的电路图，求开关打开前 uC (0-), iL( 0-),A5)0( LiV10)0( Cu例：图示电路例：图示电路)0( Li )0 (Cu SU1R2R由换路定理，画出由换路定理，画出t=0+的电路图，的电路图，1R3R )0 (Cu)0( Li SU )0 (Lu)0( Ci)0(1 Ri,A5)0( LiV10)0( Cu,A5 . 2)0(1 Ri,V0)0( Lu,A5 . 2)0( Ci进一步可求各阶导数的初始值进一步可求各阶导数的初始值LC )(tuL SU1R2R3R)(1tiR)(tiCA/F55 . 25 . 01)0(10 CciCdtdu 动

11、态电路的响应由两种激励动态电路的响应由两种激励(excitation)产生：产生：独立电源的独立电源的输入输入input)（外施激励源）（外施激励源） 动态元件储能的释放即初始状动态元件储能的释放即初始状态态state）（内部激励源）。外施激励源为零，由初始状态引）（内部激励源）。外施激励源为零，由初始状态引起的响应称为零输入响应起的响应称为零输入响应zero-input response）;初始状态为初始状态为零，由外施激励源引起的响应称为零状态响应零，由外施激励源引起的响应称为零状态响应zero-state response）。外施激励源和初始状态共同引起的响应称为全响）。外施激励源和初始

12、状态共同引起的响应称为全响应应complete response） 动态电路的响应动态电路的响应:第二节第二节 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 一阶电路的定义：换路后，电路中仅含一个或者可以等效为一一阶电路的定义：换路后，电路中仅含一个或者可以等效为一个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称个储能元件的线性电路，其电路方程是一阶常系数微分方程，称为一阶电路为一阶电路first order circuit）。）。一、一阶一、一阶RC电路的零输入响应：电路的零输入响应：电路换路前电路已达稳态，电容电路换路前电路已达稳态，电容器充电至电源电压：器充电至电源电压：,)0(SC

13、Uu 在在t=0时，开关突然由时，开关突然由a打向打向b，电容通过电阻，电容通过电阻R形成回形成回路放电，此时电路已没有外施激励源，响应由电容的初路放电，此时电路已没有外施激励源，响应由电容的初始状态引起，即零输入响应。始状态引起，即零输入响应。C SURa b )(tuC)(ti, 0)0( Ru0)0( i由由KVL得：得：0 RiuCdtduCiC )0(0 tudtduRCCC是是uc的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之dtRCuduCC1 两边取积分：两边取积分：ktRCuC 1lntRCktRCCKeeetu11)( 得得方程变形为：方程变形为：

14、SSCCUKUuu 代代入入方方程程得得将将)0()0(）（0)()(1 teUtututRCSRC)0()(1 teRUtitRCSCSURa b)(tuC)(tiRC电路电路)0()(10 teUtutRCC任意一阶任意一阶RC电路的零输入响应为：电路的零输入响应为：)0()(10 teItitRCtCu0i00U0ItRu00U)0()(10 teUtutRCR一阶一阶RC电路的零输入响应有以下特点：电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电换路瞬间电容电压保持不变，电流发生突变形成放电过程。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰过程。换路后，所有的响

15、应都是是按相同的指数规律衰减。减。衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量衰减的指数规律仅由电路的结构和参数决定与变量的选择无关。的选择无关。衰减的速度取决于衰减的速度取决于1/RC衰减系数）。衰减系数）。),0()(0 teUtutC ),0()(0 teItit ),0()(0 teUtutR tteUeUdtduutguCD001tRu0PCD响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。大几倍。一阶一阶RC电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能电路的零输入响应是靠电容中储存的电场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程的释放

16、维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为一阶最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RC电路的零输入电路的零输入响应的响应的 本质。本质。WR=WC间间越越短短。越越小小衰衰减减越越快快，放放电电时时间间越越长长，越越大大衰衰减减越越慢慢，放放电电时时 固固有有频频率率。具具有有频频率率的的量量纲纲。称称为为令令时时间间常常数数。具具有有时时间间的的量量纲纲。称称为为令令秒秒）的的单单位位为为则则的的单单位位为为，的的单单位位为为ppRCsRCFCR,1,(, 一阶一阶RC电路的零输入响应的求解步骤：电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的状态；求解电路换路前的状态；求

17、时间常数：求时间常数：求解电路换路后初始值；（第一节）求解电路换路后初始值；（第一节）纽纽看看进进去去的的等等效效电电阻阻。为为换换路路后后从从电电容容两两个个端端RRC, 代入（代入（*）式）式)0()0()( (*) tertrtzi 二、一阶二、一阶RL电路的零输入响应：电路的零输入响应：电路换路前电路已达稳态：电路换路前电路已达稳态：,)0(00IRRUiSL 在在t=0时，开关突然合上，电感通过电阻时，开关突然合上，电感通过电阻R形成回路，此形成回路，此时电路已没有外施激励源，电路中的响应由电感的初始时电路已没有外施激励源，电路中的响应由电感的初始状态引起，即为零输入响应。状态引起，

18、即为零输入响应。,)0(00RIRRRUuSR 0)0( Lu由由KVL得：得：0 RLuudtdiLuLL )0(0 tRidtdiLLL )(tuL SUR)(tiL0R )(tuR是关于是关于iL的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之的一阶齐次微分方程，用分离变量法解之dtLRidiLL 两边取积分：两边取积分：ktLRiL ln方程变形为：方程变形为：tLRktLRLKeeeti )(得得00)0()0(IKIiiLL 代代入入方方程程得得将将,0)(0）（ teItitLRL)0()()(0 teRItututLRLRtLi00I0U0U)(tuR)(tuLi0t一阶一阶RL电路的零输

19、入响应有以下特点：电路的零输入响应有以下特点：换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放换路瞬间电感电流保持不变，电压发生突变释放磁场能。换路后，所有的响应都是是按相同的指数磁场能。换路后，所有的响应都是是按相同的指数规律衰减。规律衰减。衰减的指数规律仅由衰减的指数规律仅由RL电路的结构和参数决定与变电路的结构和参数决定与变量的选择无关。量的选择无关。衰减的速度取决于衰减的速度取决于R/L衰减系数）。衰减系数）。 tteUeUdtduutguCD001tRu0PCD固固有有频频率率。具具有有频频率率的的量量纲纲。称称为为令令时时间间常常数数。具具有有时时间间的的量量纲纲。称称为为令令秒秒）的的

20、单单位位为为则则的的单单位位为为，的的单单位位为为ppRLsRLHLR,1,/(/, ),0()(0 teUtutL ),0()(0 teItitL ),0()(0 teUtutR 间间越越短短。越越小小衰衰减减越越快快，放放电电时时间间越越长长，越越大大衰衰减减越越慢慢，放放电电时时 响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增响应与其初始值成正比。初始值增大几倍，响应增大几倍。大几倍。一阶一阶RL电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能电路的零输入响应是靠电感中储存的磁场能的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程的释放维持，释放的能量同时被电阻消耗，暂态过程最后以能量的耗尽而告终。此为

21、一阶最后以能量的耗尽而告终。此为一阶RL电路的零输入电路的零输入响应的响应的 本质。本质。WR=WL一阶一阶RL电路的零输入响应的求解步骤：电路的零输入响应的求解步骤：求解电路换路前的状态；求解电路换路前的状态；求时间常数：求时间常数：求解电路换路后初始值；（第一节）求解电路换路后初始值；（第一节）纽纽看看进进去去的的等等效效电电阻阻。为为换换路路后后从从电电感感两两个个端端RRL,/ 代入（代入（*）式。）式。线性一阶电路的零输入响应的要点：线性一阶电路的零输入响应的要点：一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比一阶电路的零输入响应与其换路后的初始值成正比响应模式为（响应模式为（*） ：

22、;)(压压或或电电流流为为换换路路后后任任意意支支路路的的电电trzi时间常数决定于电路的结构和参数。时间常数决定于电路的结构和参数。阻阻两两端端纽纽看看进进去去的的等等效效电电或或电电感感为为电电容容，电电路路中中，电电路路中中LCRRLRLRCRC/ )0()0()( (*) tertrtzi 为为换换路路后后的的初初始始值值。)0( r第三节第三节 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一、一阶一、一阶RC电路的零状态响应：电路的零状态响应：CSUR)(tuC)(tiS) 0( t开关闭合前电容器未充电即处于零状态：开关闭合前电容器未充电即处于零状态：, 0)0( Cu, 0)0( R

23、u0)0( i开关闭合后，电源通过开关闭合后，电源通过R、C形成回路，形成回路，给电容充电。电路的初始状态为零，给电容充电。电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响响应由外施激励源引起，为零状态响应。应。为为变变量量列列写写微微分分方方程程为为以以)(tuC此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：此为一阶常系数非齐次微分方程其解由两部分组成：)0( tuudtduRCSCC一阶一阶RC电路的零状态响应：电路的零状态响应：通解通解(general solution ):的的解解。对对应应齐齐次次方方程程0 CCudtduRC)()( 为时间常数为时间常数RCAeAetutRCt

24、C 特解特解(particular solution)：一般与微分方程常数项：一般与微分方程常数项外施激励源的形式相同，是满足原非齐次微分外施激励源的形式相同，是满足原非齐次微分方程的一个解。方程的一个解。SCSCUtuUBBtu )( )()( 即即，代代入入原原方方程程得得恒恒定定量量由电路知由电路知US是换路后电路重新是换路后电路重新达到稳态即达到稳态即t=+时电容电压。时电容电压。SCCUutu )()( C SUR )(tuC)(ti )(tuR一阶一阶RC电路的零状态响应：电路的零状态响应：StCCCUAetututu )( )( )(完全解：完全解：SCCUAuu 代代入入方方程

25、程得得将将0)0()0()(*)0)(1 ()( teUeUUtutStSSC ),0()( teRUdtduCtitSC )0()( teUtutSR iuC,0t从上述过程可以看出：从上述过程可以看出：SU)(tuC)(tuR)(tiRUS一阶一阶RC电路的零状态响应有以下特点：电路的零状态响应有以下特点：电容上的电压形状由两部分组成：电容上的电压形状由两部分组成：iuC,0tRUS)(tiSU)( tuC)( tuC 方程的特解即电路达到稳态时的稳方程的特解即电路达到稳态时的稳态值。它受外施激励源制约，也称为态值。它受外施激励源制约，也称为强制分量强制分量(forced componen

26、t) 方程的通解其变化规律与零输入响应相同按指数方程的通解其变化规律与零输入响应相同按指数规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。规律衰减为零，只在暂态过程中出现故称暂态分量。其形式与外施激励源无关也称为自由分量其形式与外施激励源无关也称为自由分量(force-free component )。起始值与外施激励源有关。起始值与外施激励源有关。a:稳态分量稳态分量(steady stat component)：b:暂态分量暂态分量(transient component)：电流在换路瞬间发生突变，其值为电流在换路瞬间发生突变，其值为US/R即换路后的即换路后的初始值，电路以此值开始给电容充

27、电，随着极板上的初始值，电路以此值开始给电容充电，随着极板上的电荷增多电容电压的增大，电荷增多电容电压的增大，i=(US-uC)/R减小，最后为减小，最后为零，电容电压为零，电容电压为US。一阶一阶RC电路的零状态响应实质是电路储存电场能电路的零状态响应实质是电路储存电场能的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化的过程。电源在充电过程中提供的能量，一部分转化成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。成电场能储存在电容中，一部分被电路中的电阻消耗。且有且有 WC=WR电源提供的能量只有一半储存在电容电源提供的能量只有一半储存在电容中。充电效率中。充电效率50，与电阻电容数值无关。，与

28、电阻电容数值无关。二、二、RL电路的零状态响应：电路的零状态响应：RSU)(tiS) 0( t)(tuL)(tuRL开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：开关闭合前电感中无电流电即处于零状态：, 0)0( Li0)0( Ru, 0)0( Lu开关闭合后电源通过开关闭合后电源通过R、L形成回路，形成回路，此时电路的初始状态为零，响应由外此时电路的初始状态为零，响应由外施激励源引起，为零状态响应。施激励源引起，为零状态响应。为为变变量量列列写写微微分分方方程程为为以以)(tiL)/()( 为为时时间间常常数数暂暂态态分分量量：RLAetitL RUitiSLL )()( 稳稳态态分分量量：)0(

29、tuRidtdiLSLL)0()( )( )( tRUAetititiStLLL 完全解：完全解：RUAiiSLL 代代入入方方程程得得将将0)0()0()0)(1()( teRUeRURUtitStSSL ),0()( teUdtdiLtutSLL )0)(1()( teUtutSR uiL,0tSU)(tuL)(tuRRUS)(tiLRUS)(tiL一阶一阶RL电路的零状态响应有以下特点：电路的零状态响应有以下特点：电感上的电流形状从初始值开始逐渐增加，最电感上的电流形状从初始值开始逐渐增加，最后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与后达到新的稳态值。其暂态分量和稳态分量的意义与RC

30、电路相同。电路相同。电压在换路瞬间发生突变，其值为电压在换路瞬间发生突变，其值为US即换路后的初即换路后的初始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。始值，电路以此值开始在线圈中储存磁场能。一阶一阶RL电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的电路的零状态响应实质是电路储存磁场能的过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电过程。电源提供的能量，一部分转化成磁场能储存在电感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有感中，一部分被电路中的电阻消耗。且有 WL=WR电源电源提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率提供的能量只有一半储存在电感中。储能效率50，与，与电阻电感数值无关。电阻电感数值无关。外施激励

31、源为直流的一阶电路的零状态响应的步骤外施激励源为直流的一阶电路的零状态响应的步骤求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。求出换路后动态元件以外的戴维南等效电路。 iRLOCU)(tuL)(tiLCOCU)(tuC)(tiiR据状态变量的响应模式得：据状态变量的响应模式得：)(0)(1()(CRteUtuitOCC )/)(0)(1()(itiOCLRLteRUti 将电容看作电压源、电感看作电流源回到换路后的将电容看作电压源、电感看作电流源回到换路后的原电路按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。原电路按电路的基本约束关系求解其它电压和电流。三、外施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：三、外

32、施激励源为正弦量的一阶电路的零状态响应：)(tuS)(tiS) 0( t)(tuL)(tuRL)cos()( tUtumS为为变变量量列列写写微微分分方方程程为为以以)(tiL特解：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳特解：与外施激励源的变化规律相同。电路达到稳态时的稳态值，是与态时的稳态值，是与 外施激励源同频率的正弦量。外施激励源同频率的正弦量。用相量法求之：用相量法求之：)()()()(2222ZLmZmZmmLmILRULRULjRUI )cos()( )(ZLmLtIti 为为：稳稳态态分分量量特特解解)0)(cos( ttURidtdiLmLL 通解通解(暂态分量暂态分量)：)/

33、()(为为时时间间常常数数RLAetitL )0()cos( )( )( )( tAetItitititZLmLLL )cos(0)0()0(ZLmLLIAii 代代入入方方程程得得将将(稳态分量在起始时刻的值稳态分量在起始时刻的值)0()cos()cos()( teItItitZLmZLmL 电电感感电电流流：)0()cos()cos()( teItItitZLmZLmL 电电感感电电流流：)(tiL)(tiL)(tiLt0电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量电感电流由稳态分量和暂态分量共同组成。暂态分量经一定时间衰减后，电路进入稳定状态。暂态分量的经一定时间衰减后，电路进入稳定状

34、态。暂态分量的大小与稳态分量起始时刻的值成正比。大小与稳态分量起始时刻的值成正比。)(02过过电电流流最最大大电电流流周周期期附附近近出出现现大大，电电路路合合闸闸后后的的半半个个暂暂态态分分量量的的起起始始值值为为最最时时，闸闸后后直直接接进进入入稳稳态态。当当的的起起始始值值为为零零，电电路路合合时时暂暂态态分分量量当当 ZZ 电电感感电电流流模模式式电电容容电电压压模模式式外施激励源为正弦量时的一阶电路的零状态响应的外施激励源为正弦量时的一阶电路的零状态响应的步骤如前。实为求解稳态值和时间常数两要素。直步骤如前。实为求解稳态值和时间常数两要素。直流激励可看作正弦激励的特例。流激励可看作正

35、弦激励的特例。)0()0()()( teitititLLL )0()0()()( teutututCCC 第四节第四节 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 三要素法三要素法 全响应为零输入响应和零状态响应之和。全响应为零输入响应和零状态响应之和。CSUR)(tuC)(tiS) 0( t0)0(UuCCSUR)()1(tuC)() 1 (tiS) 0( t0)0()1(CuRC)()2(tuC)() 2(ti0) 2()0 (UuC)1()1( tSCeUu 零状态响应：零状态响应： tCeUu 0)2(零输入响应：零输入响应： ttSCCCeUeUuuu 0)2()1()1(全响应：全响应： t

36、SSCeUUUu ）（0t0)(tuCSU0U充电0U放电三要素三要素 ttSSCeUeUUu 0全全响响应应：零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量任意一个全响应任意一个全响应 tAetftftftf )( )()( )()0( )0(0 ffAt时时的的各各值值代代入入得得：将将）（）（全响应：全响应：1 )0( )0()( )( tefftftf ）（）（全全响响应应：2 )()0()()( teffftf )()0( )( fftf直流激励有：直流激励有：)2( )0(1)()( ttefeftf ）（1 )0()0( )( )(）（）（ ttefef

37、tftf 三要素法求解一阶电路的全响应的步骤三要素法求解一阶电路的全响应的步骤画出换路前稳态电路，求状态值画出换路前稳态电路，求状态值uc(0-) ，iL(0-) 。 据换路定律画出换路瞬间据换路定律画出换路瞬间0）时刻的暂态电路）时刻的暂态电路求初始值求初始值f(0+).画出换路后电路重新达到稳态时电路，求画出换路后电路重新达到稳态时电路，求f()，注意，注意正弦稳态需用相量法。正弦稳态需用相量法。求动态元件以外的除源等效电阻，进一步求出时间求动态元件以外的除源等效电阻，进一步求出时间常数常数， RC, =L/R代入三要素模式代入三要素模式）（）（交流：交流：1 )0( )0()( )( t

38、efftftf ）（）（直流：直流：2 )()0()()( teffftf 例：图示电路原已处于稳态。若例：图示电路原已处于稳态。若t =0时将开关时将开关S闭合，试闭合，试求换路后求换路后2电阻中的电流及电感电流，并绘出其波形电阻中的电流及电感电流，并绘出其波形 。 V6 3 6 2H5 . 0 V3RiLi0)(S t解：解： （1换路前稳态电路换路前稳态电路 6 2 V3Ri)0( LiA5 . 0)0( Li（2换路后换路后0暂态电路暂态电路 V6 3 6 2 V3)0( Ri)0( LiA5 . 1)0( RiA5 . 0)0( Li V6 3 6 2H5 . 0 V3RiLi0)(

39、S t V6 3 6 2 V3)( Ri)( Li（3换路后稳态电路换路后稳态电路0)( Ri 1RsRL5 . 015 . 0 （4三要素三要素)0(5 . 1)05 . 1(0)(25 . 01 teetittRA5 . 3)( Li)0(35 . 3)5 . 35 . 0(5 . 3)(25 . 01 teetittL5 . 1Ri)A()(st05 . 3Li第五节第五节 一阶电路的阶跃响应和冲激响应一阶电路的阶跃响应和冲激响应一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数unit step function）：）：CSUR)(tuC)(tiS) 0( tt=0时换路的过程可表示时换路的过程可表示

40、000)(tUttuSS 0100)(ttt 单位阶跃函数：单位阶跃函数：)()(tUtuSS t)(t01具有具有“裁剪裁剪的作用，称其为闸门函数。的作用，称其为闸门函数。)(tft0)()(ttf t0)()(0tttf t0)()(00ttttf t0)(tf 0)(00ttft 00)(0tttftt 000)(0ttttftt将分段函数写成封闭形式将分段函数写成封闭形式t)(tf012321) 3() 2() 1()()3() 2()2() 1( 2)1()()( tttttttttttf 二、单位冲激函数二、单位冲激函数unit impule function）)(1)(000)(

41、冲冲激激强强度度且且 dttttt t)(t0)1(t1趋近于零的极限。趋近于零的极限。在在的矩形脉冲的矩形脉冲，高度为，高度为可看作宽度为可看作宽度为 1三、单位冲激函数与单位阶跃函数的关系三、单位冲激函数与单位阶跃函数的关系)()0(1)0(0)(tttdt )()(ttdtd 采样性或筛分性：采样性或筛分性：)()0()()(tfttf )0()()0()()(fdttfdtttf )()()()( tfttf)()()()()( fdttfdtttf 四、一阶电路的阶跃响应：四、一阶电路的阶跃响应：阶跃响应：零初始状态电路，在单位阶跃电压电流阶跃响应：零初始状态电路，在单位阶跃电压电流

42、的激励下所引起的响应。的激励下所引起的响应。C)(tR)(tuC)(ti)(tuR)()1()(tetutC )(1)(teRtit 。，响响应应时时外外施施激激励励则则或或若若)()()()(,)()(:)(1)(),()1()(tsUtitsUtutUtuteRtstetsSSCSStt 任意零状态响应是单位阶跃响应的线性函数任意零状态响应是单位阶跃响应的线性函数).()()()()()1()()(000000ttsUtuttUttsttetuttSCSttC 时时响响应应外外施施激激励励，时时响响应应外外施施激激励励 五、一阶电路的冲激响应：零初始状态电路在单位冲五、一阶电路的冲激响应：

43、零初始状态电路在单位冲激函数激励下所引起的响应。激函数激励下所引起的响应。C )(t )(tuC)(ti当电容有冲激电流通过时，电容电压将发生跃变：当电容有冲激电流通过时，电容电压将发生跃变：dtiCtututtcCC)(1)()(00 已已知知：CudtCuuCCC1)0()(1)0()0(00 则则有有：)(1)0(,0)0(强强迫迫跃跃变变则则因因换换路路前前CuuCC C )(t )(tuC)(tiCR在冲激激励下在冲激激励下,电容电压发生跃变电容电压发生跃变,即在换路瞬间即在换路瞬间,电电容短路，电压跃变到容短路，电压跃变到1/C,t0以后电路的输入为零以后电路的输入为零,所所以电路

44、的冲激响应相当于以电路的冲激响应相当于uc(0+)=1/C所引起的零输入所引起的零输入响应。响应。)()(1)()0()(thteCteututRCtCC 单位冲激函数是单位阶跃函数的一阶导数，据线单位冲激函数是单位阶跃函数的一阶导数，据线性电路的特性则单位冲激响应是单位阶跃响应的一性电路的特性则单位冲激响应是单位阶跃响应的一阶导数。阶导数。)()()()(tsdtdthtdtdt 第六节第六节 线性二阶动态电路的分析线性二阶动态电路的分析RLC )(tuR )(tuC )(tuL )(tuSS)(ti二阶电路：换路后，电路含有两个独立的线性储能元件。二阶电路：换路后，电路含有两个独立的线性储

45、能元件。独立性是指：两个电容不构成纯电容回路含电压源），独立性是指：两个电容不构成纯电容回路含电压源），两个电感不构成纯电感割集含电流源）。其电路方程两个电感不构成纯电感割集含电流源）。其电路方程是二阶常系数微分方程，称为二阶电路是二阶常系数微分方程，称为二阶电路second order circuit） 。1C2CR Su1L2LSi以以uc(t)为变量为变量)0(22 tuudtduRCdtudLCSCCC一、二阶电路的零输入响应：一、二阶电路的零输入响应： 若外施激励为零，由动态电路的初始状态引起的响若外施激励为零，由动态电路的初始状态引起的响应则为二阶电路的零输入响应。应则为二阶电路的

46、零输入响应。RLC )(tuR )(tuC )(tuL)(ti物理过程定性分析：物理过程定性分析：假设假设0)0(,)0(0 LCiUu那么那么 0t时时0)0(,)0(0 LCiUu0)0(, 0)0(UuuLR 000 LUdtdiL Li Ru CLcuiCdtdu, 01CLRuuu 当当 LLLidtdiu, 0反反向向，释放电场能释放电场能储存磁场能储存磁场能释放磁场能释放磁场能消耗电能消耗电能)0(022 tudtduRCdtudLCCCC特征方程：特征方程：012 RCpLCp特征根特征根率率。称称为为固固有有频频率率或或自自然然频频具具有有频频率率的的量量纲纲，21, pp)

47、0()(2121 teKeKtutptpCLCLRLRp1)2(222, 1 微分方程为微分方程为RLC )(tuR )(tuC )(tuL)(ti定量分析定量分析一、二阶电路的零输入响应：一、二阶电路的零输入响应：2122212101)2(21)2(2 其其中中令令LCLRLRpLCLRLRp具体解的情况：具体解的情况：是是不不相相等等的的负负实实根根。时时，即即）当当（212,21)2(1ppCLRLCLR ttCeKeKtu2121)( CidttduKKuKKLtCC)0()()0(0221121 将初始条件代入将初始条件代入 )0()0(1)0()0(111222121CiuKCiu

48、KLCLC 解得：解得：) 0)()()0()()0()(2121121212 teeCieeututtLttCC ) 0)()()0()()0()(121212121221 teeieeuCtittLttC 具体解的情况具体解的情况0)0()0(0 LCiUua，）若）若)0)()(2112120 teeUtuttC )0)()(1212021 teeUCtitt )(tiCuit0)(tuC0U电容始终在放电；电感开始储存磁场能，电容始终在放电；电感开始储存磁场能，到达最大后释放；电阻始终耗能。到达最大后释放；电阻始终耗能。1212ln1 mtmtRLC )(tuR )(tuC )(tuL

49、)(ti)(tuL0)0(0)0(IiubLC ，）若若)0)()()(21120 teeCItuttC )0)()()(1212120 teeItitt Cuit0)(tuC0I)(timt电容开始充电，储存电场能到最电容开始充电，储存电场能到最大后放电；电感开始释放磁场能，大后放电；电感开始释放磁场能，后储存磁场能到达最大后释放；后储存磁场能到达最大后释放；电阻始终耗能。电阻始终耗能。RLC )(tuR )(tuC )(tuL)(ti具体解的情况具体解的情况00)0()0(IiUucLC ，）若若Cuit00I)(ti)(tuC0U电感、电容的能量的变化过程介电感、电容的能量的变化过程介于

50、上述两种情况之间。于上述两种情况之间。电路中的电阻值较大，电容和电电路中的电阻值较大，电容和电感能量释放时很快北电阻耗尽，感能量释放时很快北电阻耗尽，整个过渡过程非振荡完成。电路整个过渡过程非振荡完成。电路这一非振荡衰减过程称为过阻尼这一非振荡衰减过程称为过阻尼(over-damped)工作状态。工作状态。RLC )(tuR )(tuC )(tuL)(ti具体解的情况具体解的情况是是两两相相等等的的负负实实根根。时时，即即）当当（212,21)2(2ppCLRLCLR )0.(22, 1 LRp令令ttCteKeKtu 21)(则则有有 CidttduKKuKLtCC)0()()0(0211

51、)0()0()0(21CiuKuKLCC tLtCCteCietutu )0()1)(0()(tLtCetiteCuti )1)(0()0()(2Cuit00I)(ti)(tuC0U0000IIUULC ）（，）（若若 电路接近振荡衰减的过程称为临界阻尼电路接近振荡衰减的过程称为临界阻尼(critically-damped)工作状态。工作状态。共共轭轭复复数数根根。是是一一对对负负实实部部时时，即即）当当（212,21)2(3ppCLRLCLR 22, 1)2(12LRLCjLRp ddjpLCLR 2, 122001)(2（阻阻尼尼振振荡荡角角频频率率）则则（谐谐振振角角频频率率），衰衰减减

52、常常数数令令：)sincos()(21tKtKetuddtC CidttduKKuKLtCdC)0()()0(0211 )0()0(1)0(21CiuKuKLCdC 1212221)cos()(KKtgKKKtKetudtC ，其其中中，Cuit0电路中电阻较小，电路中电阻较小，L、C周期性的交换能量，呈振荡衰周期性的交换能量，呈振荡衰减的变化趋势。称为欠阻尼减的变化趋势。称为欠阻尼(under-damped)工作状态工作状态dT21212221)sin()cos()(KKtgKKKtKetKetiddtdt ，其其中中，2/TT)(tuC)(tiL具体解的情况具体解的情况LC)(tuC)(t

53、uL)(ti02, 1221, 0)(1)(04 jLCjptuLCdttudRCC 时时）当当（ CidttduKuKLtCC)0()()0(0201 021)0()0( CiKuKLCtCitutuLCC000sin)0(cos)0()( )cos()(0 tKtuC1212221KKtgKKK ，其其中中)2(cos)(00 tKtiCuit0无阻尼等幅振荡无阻尼等幅振荡no-damped oscillation）二、任意的二阶电路的零输入响应的求解：二、任意的二阶电路的零输入响应的求解：列写微分方程最好以状态量为变量）列写微分方程最好以状态量为变量）)0(0)()()(22 ttcfd

54、ttdfbdttfda02 cbpap特特征征方方程程：aacbabp24222, 1 特特征征根根：是是不不相相等等的的负负实实根根。，）当当（212,41ppacb 2122110 其其中中，令令：pptteKeKtf2121)( 2100)()(KKdttdftftt，的的值值代代入入确确定定常常数数和和将将 是是相相等等的的负负实实根根。，）当当（212,42ppacb 02,1其其中中令令： pttteKeKtf 21)(2100)()(KKdttdftftt，的的值值代代入入确确定定常常数数和和将将 一般的二阶电路一般的二阶电路。是是负负实实部部的的共共轭轭复复数数根根，）当当（2

55、12,43ppacb 02,1其其中中令令：djp)cos()sincos()(21 tKetKtKetfdtddt ，及及，的的值值代代入入确确定定常常数数和和将将KKKdttdftftt2100)()( 是是共共轭轭的的虚虚数数根根。，）当当（21,04ppb 02, 1 jp 令令：)cos(sincos)(00201 tKtKtKtf ，及及，的的值值代代入入确确定定常常数数和和将将KKKdttdftftt2100)()( 将动态元件用独立源替代，电路变为电阻电路，将动态元件用独立源替代，电路变为电阻电路，求解其它电气量求解其它电气量三、二阶电路的零状态响应：三、二阶电路的零状态响应：

56、RLC)(tuR)(tuC)(tuL)()(ttuS)(ti)0(22 tuudtduRCdtudLCSCCC0)0(,0)0(,0)( LCSiutuRLC 串串联联电电路路中中，其解由两部分组成：其解由两部分组成：（1通解通解的的解解。对对应应022 CCCudtduRCdtudLCttCeKeKtua2121)( 、过过阻阻尼尼：ttCteKeKtub 21)(、临临阻阻尼尼：)cos()sincos()(21 tKetKtKetucdtddtC、欠欠阻阻尼尼：)cos(sincos)(00201 tKtKtKtudC、无无阻阻尼尼：三、二阶电路的零状态响应：三、二阶电路的零状态响应：（

57、2特解：与微分方程常数项形式相同。特解：与微分方程常数项形式相同。SCSSUtutUtu )()()(时，时，当当 （3完全解：完全解：)()( )( ()(ttututuCCC ，及及，确确定定常常数数的的值值代代入入和和将将KKKCidttduutuLtCctc21000)0()(0)0()( （4）四、激励为冲激函数的零状态响应：四、激励为冲激函数的零状态响应：变变。电电压压，则则其其电电流流发发生生跃跃若若此此时时电电感感上上加加有有冲冲激激跃跃变变，流流通通过过，则则其其电电压压发发生生若若此此时时电电容容上上有有冲冲激激电电感感开开路路，时时间间内内，电电容容短短路路，电电到到在在

58、，电电路路中中含含有有冲冲激激激激励励时时 00根据跃变以后的初始值按零输入的响应模式求解。根据跃变以后的初始值按零输入的响应模式求解。 例例8-15RLC)(tuR)(tuC)(tuL)(t)(ti五、二阶电路的全响应：五、二阶电路的全响应：（1叠加法：分别按前述方法求出叠加法：分别按前述方法求出零输入响应和零状态响应，合成。零输入响应和零状态响应，合成。（2直接列写方程法：照求解零状态响应方法，只是直接列写方程法：照求解零状态响应方法，只是确定系数稍有不同。确定系数稍有不同。 ，及及，的的值值代代入入确确定定常常数数和和将将KKKCidttduutuLtCctc2100 )0()()0()

59、( 对任意电路对任意电路 ，及及，的的值值代代入入确确定定常常数数和和将将KKKdttdfft210)()0( 第七节第七节 状态方程状态方程 Su CuLiSi动态电路的分析关键是对状态变动态电路的分析关键是对状态变量的分析量的分析一、状态方程和输出方程：一、状态方程和输出方程：二阶电路以一个状态量为变量则列二阶电路以一个状态量为变量则列写的是一个二阶微分方程写的是一个二阶微分方程;以两个以两个状态量状态量(uc,iL)为变量则列写两个一为变量则列写两个一阶微分方程，即一阶微分方程组阶微分方程，即一阶微分方程组节点节点LCSCiRuui 1Ci Su CuLiSi1R2R回路回路)(2SLC

60、LiiRuu dtduCiCC dtdiLuLL 又有又有SLCCuCRiCuCRdtdu11111 SLCLiLRiLRuLdtdi221 一阶线性微分方程组：一阶线性微分方程组：上式是状态变量的一阶导数与状态变量及外施激励源上式是状态变量的一阶导数与状态变量及外施激励源之间的关系方程，称为状态方程之间的关系方程，称为状态方程state equation）。）。 SSLCLCLCiuLRCRiuLRLCCRiudtdidtdu2121001111uxx 称称为为状状态态向向量量；Tnxxx21 x xDuCxy；是是状状态态向向量量的的一一阶阶导导数数x x m阶阶矩n阶阶方阵和是是是结构有