华南师范大学电磁学习题课-静止电荷电场

1、静止电荷的电场静止电荷的电场 习题、例题分析习题、例题分析+21.9 一均匀带电直线长为一均匀带电直线长为L，线电荷密度为线电荷密度为 . 求求直线的延长线上距直线的延长线上距L中点为中点为r (r L/2)处的场强处的场强. 解解: : 建立建立ox轴，如图所示轴，如图所示PrLox在坐标在坐标 x 处取一长度为处取一长度为dx 的电荷元，的电荷元，xdxx其电量为其电量为xqdd电荷元到场点电荷元到场点P距离为距离为- -x, 它在它在P点处产生的场点处产生的场强为强为Ed3PrLoxxdxxEd电荷元电荷元 dx 在在P点产生的场强点产生的场强 方向如图所示方向如图所示. .Ed大小为大

2、小为20)(4xqEdd204xxd 各电荷元在各电荷元在 P 点的场强方向一致点的场强方向一致 场强大小直接相加场强大小直接相加4PrLoxxdxxEd22204LrLrxxEEdd)4(4220LrL写成矢量式有写成矢量式有iLrLE)4(4220方向：方向：0时沿时沿ox轴正方向轴正方向 0) 放在三角形的重心上放在三角形的重心上. 为为使每个负电荷受力为零，使每个负电荷受力为零，Q之值应为多大？之值应为多大？1E2E3E解：由对称性可知，当一个负电荷解：由对称性可知，当一个负电荷受力为零时，其它负电荷也必然受受力为零时，其它负电荷也必然受力为零力为零. 要使一个负电荷受力为零，则要使一

3、个负电荷受力为零，则其所在处的电场强度要为零其所在处的电场强度要为零.-q-q-qQrrrABC 如图所示，其它两个负电荷在如图所示，其它两个负电荷在B处负电荷处产生的电处负电荷处产生的电场强度分别为场强度分别为 、 ，电荷，电荷Q产生的电场强度为产生的电场强度为 .1E2E3E故有故有0321EEE由几何关系可得由几何关系可得22)33(30cos2rQkrqk解得：解得：qQ33141.12 如图所示，两根平行长直线间距为如图所示，两根平行长直线间距为2a，一端用半，一端用半圆形线连起来圆形线连起来. 全线上均匀带电，试证明在圆心全线上均匀带电，试证明在圆心O处的处的电场强度为零电场强度为

4、零.Oa2证明：以证明：以表示线电荷密度表示线电荷密度. .如图所示，考虑对顶的如图所示，考虑对顶的d所对所对应的电荷元应的电荷元 和和 在在O点所点所产生的电场产生的电场.dqqd 因为电荷元因为电荷元 和和 在在O点点dqqd 所产生的电场方向相反所产生的电场方向相反. .故故O点处的合电场强度大小为点处的合电场强度大小为dqqd dra22rqdkadqkdE又又coscosardrqdaddq，故可得故可得0dE15 由于结果与由于结果与无关，所以任无关，所以任一对与一对与对顶的对顶的dd所对应的电所对应的电荷元在荷元在O点所产生的合电场都点所产生的合电场都为零为零.所以所以全线电荷在

5、圆心全线电荷在圆心O处处的总电场强度为零的总电场强度为零. .dqqd draOa216E1.13 一个半球面上均匀带有电荷一个半球面上均匀带有电荷,试用对称性和叠加原试用对称性和叠加原理论证下述结论成立理论证下述结论成立: 在如鼓面似地蒙住半球面的假在如鼓面似地蒙住半球面的假想圆面上各点的电场方向都垂直于此圆面想圆面上各点的电场方向都垂直于此圆面.PEE证明证明: :设圆面上任一点设圆面上任一点P处的电处的电场强度场强度 的方向与圆面不垂直的方向与圆面不垂直, ,其方向如图所示其方向如图所示. .EE补充下半球面补充下半球面,则它在则它在P点处产生点处产生的电场强度的电场强度 如图所示如图所

6、示.显然显然, ,0EE这与均匀带电球面内电场强度处处为零相矛盾这与均匀带电球面内电场强度处处为零相矛盾.所以均匀带电半球面在圆面上产生的电场的方向都垂所以均匀带电半球面在圆面上产生的电场的方向都垂直于此圆面直于此圆面. .171.14 (1) (1)点电荷点电荷q q位于边长为位于边长为a的正立方体的中心的正立方体的中心, ,通通过此立方体的每一面的电通量各是多少过此立方体的每一面的电通量各是多少? ? (2)(2)若电荷移至立方体的一个顶点上若电荷移至立方体的一个顶点上, ,那么通过每一那么通过每一个面的电通量又是多少个面的电通量又是多少? ? q(1)由对称性知由对称性知, ,通过各面的

7、电通量相通过各面的电通量相等等. .又由高斯定理知通过立方体各面的总电又由高斯定理知通过立方体各面的总电通量为通量为0q故通过此立方体的每一面的电通量各是故通过此立方体的每一面的电通量各是016q18(2)如图如图1 1所示所示, ,因为因为q q 所产生的电场线辐射所产生的电场线辐射状向外状向外, ,故故q q 所在的三个面的电通量为零所在的三个面的电通量为零. .图图2 2q 此时此时q 处于大立方体的中心处于大立方体的中心,据据(1)的结的结果可知通过大立方体各面的电通量都是果可知通过大立方体各面的电通量都是 今在图今在图1 1基础上补充基础上补充7 7个同样大小的立个同样大小的立方体方

8、体, ,组成一个大立方体组成一个大立方体, ,如图如图2 2所示所示. .q图图1 1016q故通过原立方体上、右、后三个面的电通量均为故通过原立方体上、右、后三个面的电通量均为0122441q 又由于对称性又由于对称性,可知其余三个面的电通量可知其余三个面的电通量相等，设为相等，设为 .2191.18 两个无限长同轴圆筒半径分别为两个无限长同轴圆筒半径分别为R1和和R2，单位，单位长度带电量分别为长度带电量分别为和和.求内筒内、两筒间求内筒内、两筒间和外筒外的电场分布和外筒外的电场分布. .解：解：方法一：利用高斯定理方法一：利用高斯定理R1R2hr于是于是下上侧SSSSSdESdESdES

9、dErhEdSES2侧 由于电荷分布具有轴对由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具称性，所以电场分布也具有轴对称性有轴对称性.作与圆筒同轴作与圆筒同轴的圆柱面为高斯面的圆柱面为高斯面,设其半设其半径为径为r，高为，高为h,如图所示如图所示.20据高斯定理有据高斯定理有rhE2)(0)()(02002101RrhhRrRhRr所以所以)(0)(2)(022101RrRrRrRrE21据题据题1.17的结果的结果:一无限长的均匀带电薄壁圆筒的电一无限长的均匀带电薄壁圆筒的电场分布为：场分布为：E)()(00arraar式中式中a为薄壁圆筒横截面半径，为薄壁圆筒横截面半径，为面电荷密度为面电荷密

10、度方法二：利用已知公式和场强叠加原理方法二：利用已知公式和场强叠加原理R1R2因为单位长度的均匀带电薄壁圆筒所带电量为因为单位长度的均匀带电薄壁圆筒所带电量为aq2即有即有a222故故R1R2E)(2)(00RrrRr于是对于本题，利用场强叠加原理有于是对于本题，利用场强叠加原理有E)(0)(2)(022101RrRrRrRr23证明：任一时刻电偶极子所受的电证明：任一时刻电偶极子所受的电场力的力矩场力的力矩M如图所示如图所示.lffMEqq 电偶极子电偶极子从与电场垂直的位置转到与电场方向成从与电场垂直的位置转到与电场方向成角的位置的过程中，电场力做的功角的位置的过程中，电场力做的功( (即即电偶极子所电偶极子所受电场力的力矩做的功受电场力的力矩做的功) )为为dEpMdAsi