第三章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换

1、和矩阵的初等变换和矩阵的初等变换u线性方程组的消原法线性方程组的消原法u矩阵的初等变换矩阵的初等变换第一章第一章 线性方程组的消元法线性方程组的消元法第一节第一节 线性方程组的消元法线性方程组的消元法一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念1. 1. 线性方程组的定义线性方程组的定义引例引例有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t，所所示示，如如表表的的距距离离为为到到各各用用户户由由各各产产地地11 ijjiCBA引例引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、

2、A2 、 A3，其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t ，所所示示，如如表表的的距距离离为为到到各各用用户户由由各各产产地地11 ijjiCBA不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？解设各厂到各用户的产品数量如表 1-2依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：10,20,40635241 xxxxxx10,20,40635241 xxxxxx25,45654321 xxxxxx再来看总运费，由表1-1：25,45654321 xxxxxx654321367258935845x

3、xxxxxS 总运费总运费12于是，题目要解决的问题是：654321,xxxxxx如如何何选选择择非非负负数数使之满足方程组 和 并使总运费最少 . mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为数的个数为 n ，方程个数为，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如，则线性方程组可以写成如下形式下形式 ：.),2, 1(),2, 1,2, 1(个个方方程程的的常常数数项项称称为为第第，称称为为系系数数；其其中中imibnjmiaiij

4、若常数项均为若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，则称方程组为齐次线性方程组，否则否则 ，称为非齐次线性方程组，称为非齐次线性方程组 .2. 2. 线性方程组的线性组合线性方程组的线性组合线性方程的加法：线性方程的加法：将两个线性方程11 112211,nna xa xa xb(1)21 122222nna xa xa xb(2)的左右两边相加得到如下的新线性方程：111211222221212nnaaxaaxaaxbb称为原来两个线性方程的和。线性方程乘常数将线性方程1122,nna xa xa xb两边同乘以已知常数 ，1122.nnaxaxaxb线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘

5、。线性方程的线性组合将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 再将所得的两个方程相加，得到新方程： 12,得到一个新的线性方程：(3)11122111122222aaxaax11221 122nnnaaxbb称为原来两个方程(1)和(2)的一个12, 称为这个线性方程的组合系数。将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。线性组合，若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组等价， 等价的线性方程组一定同解。 将方程组(I)变成方程组

6、(II)的过程称为同解变换。例例1)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3,

7、 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为为任任意意取取值值其其中中x可可记记作作也也称称为为通通解解方方程程组组的的解解或或令令)(,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c(2)小结：小结：1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个

8、方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍ij（以（以 替换替换 ）ik i定义定义1 上述三种变换均称为线性方程组的初等变上述三种变换均称为线性方程组的初等变换换 （以（以 替换替换 ）ik ij（ 与与 相互替换）相互替换）3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同同解变换解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak

9、ji定理定理1线性方程组的初等变换总是把方程组变成线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组同解方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考考查查方方程程组组，可可取取任任何何值值，则则全全为为、分分析析系系数数：若若）（11211101xaaam，的的方方程程组组来来解解，方方程程组组转转换换成成nxx2.010111 ax），使使（，则则利利用用变变换换的的系系数数不不全全为为若若，则则方方程程组组可可以以变变成成：个个方方程程加加到到第第倍倍的的），分分别别把把第第一一个个方方程程化化简简：利利用用初初等等变变换换（

10、）（iaai11132 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考考查查方方程程组组分析系数分析系数）（ 1，则则方方程程组组可可以以变变成成：个个方方程程加加到到第第倍倍的的），分分别别把把第第一一个个方方程程化化简简：利利用用初初等等变变换换（）（iaai11132 mnmnmnnnnbxaxabxaxabxaxaxa222222211212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考考查查方方程程组组分析系数分析系数）（ 1结结为为化化简简：这这样样方方程程组

11、组就就归归）（2 mnmnmnnbxaxabxaxa2222222分析系数分析系数）（ 1化化简简）（2化化为为阶阶梯梯型型方方程程组组：）（3，方方程程组组可可以以变变成成重重复复上上面面的的过过程程 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc分析系数分析系数）（ 1化化简简）（2化化为为阶阶梯梯型型方方程程组组：）（3 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc；这这时时原原方方程程组组无无解解而而有有）（.0,0I11 rrdd，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组

12、组中中根根本本没没有有当当）（000II1 rd 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II1 rd这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.inr nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II1 rd这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为

13、为：）.iinr rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc11221122222111111212111，这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.iinr rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc11221122222111111212111，：将将它它改改写写成成其其中中., 2 , 1,0ricii nrnrrrnrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11211222222111111212111，表表示示出出来来，通通过过，这

14、这样样我我们们可可以以把把nrrxxxxxx1121 称称为为，而而程程组组的的一一般般解解这这样样一一组组表表达达式式称称为为方方nrxx1 .一一组组自自由由未未知知量量定理定理2在齐次线性方程组在齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa.,那那么么它它必必有有非非零零解解，如如果果中中nm 证明：证明：显然显然 ，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程组在化成阶梯型方程组之后 ，方程个数不会超过原方程组中方程个数方程个数不会超过原方程组中方程个数 ，即，即.nmr .,，因因而而必必有有非非零零解解它它的的解解不不是是唯

15、唯一一的的知知由由nr 第二节第二节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表，用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项一、矩阵及其初等变换一、矩阵及其初等变换 nnnnn

16、nnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 由 个数排成的 m 行 n 列矩阵的数表称为 m 行 n 列矩阵.简称 矩阵. 记作定义定义 1m n111212122212nnmmmnaaaaaaaaa m n1,2,;1,2,ijaim jn mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.m nA这个数称为 的元素 简称为元元素是实数的矩阵称为实矩阵,元

17、素是复数的矩阵称为复矩阵.例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵 12.nAaaa 称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶nnA.nA方阵.也可记作12,nbbBb 只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量). 称为(或）. n 00000021（3）形如 的方阵,OO不全为0注意 .000000

18、00000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作记作 .,21ndiagA （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 .nmo om n（5）方阵 100010001nEE称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念OO 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为全为1 2.两个矩阵 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 ijijAaB b 和和 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称矩阵 相等,记作BA与与.BA 例如1214356843739和和为同型矩阵.矩阵的转置矩阵的转置（1）定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不

19、改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A （或AT ）即A =()ijAam n112111222212nnnnnnaaaaaaaaa线性方程组11112211211222221122nnnnmmm nnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb 称为方程组的系数矩阵；称为方程组的增广矩阵。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 11121121222212nnnnnnnaaabaaabBaaab 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记

20、记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义 2等价关系的性质：等价关系的性质：1 AA（） 反反身身性性；C. AC,BB, A 3则则若若）传递性）传递性（等等价价，记记作作与与就就称称矩矩阵阵，矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵BABABA一般，将具有上述三条性质的关系称为等价一般，将具有上述三条性质的关系称为等价A.B B, A 2则则若若）对对称称性性（ 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变

21、换初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)初等行变换和初等列变换统初等行变换和初等列变换统称为矩阵的称为矩阵的初等变换初等变换.定义定义 3例例1求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 ：用矩阵的初等行变换解方程组：用矩阵的初等行变换解方程组 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234

22、330635500222041211B 23252rrr 243rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 5 00000310003011040101B 000003100001110412114 B21rr 32rr 对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c.54行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵都都称称为为和和矩矩阵阵BB特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 0000031000

23、3011040101B （2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元.,A nm最最简简形形变变换换变变为为行行阶阶梯梯形形和和行行总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的.1, 5的的其其它它元元素素都都是是零零列列，且且这这些些非非零零元元素素所所在在的的第第一一个个非非零零元元素素为为即