大学物理第5章 刚体的定轴转动(2)

1、鞍山科技大学 姜丽娜15.1 刚体的运动刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律(A rigid body about a fixed axis)转轴鞍山科技大学 姜丽娜2一、一、 刚体刚体在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。(2)(2)刚体可以看作是由许多质点刚体可以看作是由许多质点( (质元质元) )组成的组成的质点系质点系, ,在外

2、力作用下各质元之间的相对位置在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。保持不变。1. 定义定义:mimiN 支持力支持力注意：注意：(1)(1)刚体是固体物件的理想化模型。刚体是固体物件的理想化模型。质元质元5.1 5.1 刚体的运动刚体的运动鞍山科技大学 姜丽娜32. 刚体的运动形式刚体的运动形式: 刚体在运动中刚体在运动中, 所有点的运动轨所有点的运动轨迹都保持完全相同。迹都保持完全相同。 各质元均做圆周运动各质元均做圆周运动,而且各圆而且各圆 的圆心的圆心都在一条固定不动的直线上都在一条固定不动的直线上,这条直线叫这条直线叫转转轴轴。如果转轴方向不随时间变化。如果转轴方向不随时间变化,

3、则称则称定定轴转动轴转动。 转动转动:平动：平动：转轴转轴mimi注意：注意： 在描述刚体的平动时在描述刚体的平动时, ,可以用一点的运动来代表，通可以用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。表整个刚体的平动。鞍山科技大学 姜丽娜4 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 鞍山科技大学 姜丽娜5 刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+鞍山科技大学 姜丽娜6转动平面转

4、动平面 二、刚体定轴转动的描述二、刚体定轴转动的描述 虽然刚体上各质元的线速度、虽然刚体上各质元的线速度、 加速度一般是不同的。加速度一般是不同的。但各质元运动的角量但各质元运动的角量, 如角位移、如角位移、 角速度角速度 和角加速度都是和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时一样的。因此描述刚体的运动时, 用角量最为方便。用角量最为方便。Ovimi转轴转轴Zri转轴转轴鞍山科技大学 姜丽娜72.角位移角位移1.角位置角位置4. 角加速度矢量角加速度矢量)/(2sraddtd转动平面转动平面v);/(sraddtd3.角速度角速度:方向：方向：与转动方向成右手螺旋法则与转动方向成右手螺旋法则

5、当减速转动时当减速转动时, ,角加速度与角速度方向相反角加速度与角速度方向相反; ;方向方向: :当加速转动时当加速转动时, ,角加速度与角速度方向相同；角加速度与角速度方向相同；rpooX转动方向转动方向Z鞍山科技大学 姜丽娜8.当角加速度矢量是常矢量时：当角加速度矢量是常矢量时：)(02022 atvv0)(20202xxavv20021attvxxt 0 2210 tt)( 匀加速度直线运动公式：匀加速度直线运动公式：鞍山科技大学 姜丽娜9复复 习习一、质点的角动量一、质点的角动量 vmrPrL mPLrOxyz二、质点的角动量定理二、质点的角动量定理dtLdM 积分关系积分关系LLdd

6、tMLLtt 2121鞍山科技大学 姜丽娜10FrM 5.2.1 力矩力矩zOkFrFFFzFrkMzzFF 其中其中 不影响刚体不影响刚体绕定轴的转动，故绕定轴的转动，故 对对转轴的力矩转轴的力矩zFF 一、一、若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量于转轴方向的两个分量 F二、二、合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和MFrFFFrFrFrFrMnnii)(2121FrM鞍山科技大学 姜丽娜11三、三、 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdO

7、ijMjiM鞍山科技大学 姜丽娜12vi质元质元m1 ， m2 mi mn；位矢位矢 r1 、r2、ri 、 rn各质元速率分别为各质元速率分别为 v1 、v2 、vi、 vnrioi1. 第第 i 个质点对转轴的角动量个质点对转轴的角动量FiZmi一、刚体的角动量一、刚体的角动量5.2.2 5.2.2 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iiiivmrLiiLL2. 刚体的角动量刚体的角动量iiiivmriiimrL2Jmriii)(22jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量鞍山科技大学 姜丽娜13记住几个典型的转动惯量：记住几个典型的转动惯量：*圆环（通过中心轴）圆环（通过中心轴） J

8、= mR2*圆盘、圆柱（通过中心轴）圆盘、圆柱（通过中心轴）*细棒（通过端点）细棒（通过端点）*细棒（通过质心）细棒（通过质心）221mRJ 231mLJA 2121mLJc 鞍山科技大学 姜丽娜145.2.3 5.2.3 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律tLMdd刚体定轴转动的动力学方程JL ()dd JMJJdtdt 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律转动定律MJ刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量:鞍山科技大学 姜丽娜15冲量矩冲量矩-力矩作用于刚体的时间累积效应力矩

9、作用于刚体的时间累积效应21ttMdt定义定义: 5.2.45.2.4角动量定理角动量定理: :JL 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量:2100000tJtJMdtd JJJLL()dd JdLMJJdtdtdt 转动刚体所受合外力矩的冲量矩转动刚体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内刚体等于在这段时间内刚体角动量的增量，角动量也称动量矩。角动量的增量，角动量也称动量矩。鞍山科技大学 姜丽娜16角动量守恒定律角动量守恒定律:由角动量定理可知：由角动量定理可知：dtLdM当刚体所受合力矩为零时即当刚体所受合力矩为零时即M=0时时,其角动量其角动量 L保持守恒。保持守恒。3.3.角动量守恒定

10、律与动量守恒定律、角动量守恒定律与动量守恒定律、 能量守恒定律一样都能量守恒定律一样都是自然界的规律。是自然界的规律。恒量J（M=0时）时）1.守守 恒条件恒条件0M若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ讨论讨论2. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.鞍山科技大学 姜丽娜17舞蹈中的角动量守恒现象舞蹈中的角动量守恒现象鞍山科技大学 姜丽娜18滑冰中的角动量守恒现象滑冰中的角动量守恒现象 鞍山科技大学 姜丽娜19跳水中的角动量守恒现象跳水中的角动量守恒现象 起跳入水鞍山科技大学 姜丽娜20 练习练习1：如图所示：如图所示,有两个质量分

11、别为有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分，半径分别为别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂其两端挂着质量分别为着质量分别为m1 和和m2 的物体。若的物体。若m1 m2 , 忽略轴承处的忽略轴承处的摩擦摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度及绳求滑轮的角加速度及绳子的张力子的张力T1 、2 、T 3 。m2m1T2T1T3M1R1M2R2鞍山科技大学 姜丽娜21T2m2gT2M1R1M2 R2T3T1m1gT3T12222amTgm1111amgmT2222232RM21R)TT( 222111RaRa

12、 1211113RM21R)TT( 隔离物体分析力隔离物体分析力由牛顿第二定律和转动由牛顿第二定律和转动定律可列方程如下定律可列方程如下鞍山科技大学 姜丽娜2212121121RgMM)m2(m)m2(m gmMMmMMT121212111)2(m)m4(22121122RgMM)m2(m)m2(m gmMMmMMT221212112)2(m)m4(gMMmMMT21212112213)2(m)mmmm4(鞍山科技大学 姜丽娜231. 定轴转动惯量定义定轴转动惯量定义:iiirmJ2分立刚体分立刚体:转动惯量等于刚体中每个质转动惯量等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距点的质量与这一质点

13、到转轴的距离平方的乘积的总和。离平方的乘积的总和。mioiri5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算连续刚体连续刚体:dmrJ2质量体密度质量体密度dvr2dsr2dlr2质量面密度质量面密度质量线密度质量线密度dmor鞍山科技大学 姜丽娜242. 转动惯量的计算转动惯量的计算 例例 1 刚性三原子分子其质量分布如图所示，刚性三原子分子其质量分布如图所示，求绕转轴的转动惯量求绕转轴的转动惯量233222211rmrmrmJ例例 2 质量为质量为m ，长为，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。和绕一端转轴的转动惯量。r1r2

14、r3m1m2m3转轴转轴鞍山科技大学 姜丽娜25解解:设棒单位长质量设棒单位长质量:则则按如图按如图所示建立一维坐标系所示建立一维坐标系,绕中心轴的转动惯量为绕中心轴的转动惯量为则则按如图按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为dmxJ21dmxJ22oX图图图图Xo=m/l,dxdxdxxll2222121mldxxl02231mldm=dxdm鞍山科技大学 姜丽娜26oRZ例例 3 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。圆环平面垂直并通过其圆心。dmdmRJ2mdm

15、R22mR解解:鞍山科技大学 姜丽娜27注意：注意：(1) J 只是对某个轴的。只是对某个轴的。 (2) dm 的取法：需使的取法：需使 dm 上各点的上各点的 r 相等。相等。例：对例：对 Jx ， Jy ， Jz ，dm 的不的不 同取法。同取法。dmdmdmyox鞍山科技大学 姜丽娜28RoZ例例 4 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆盘的转动惯量，轴的均匀薄圆盘的转动惯量，轴与圆盘平面垂直并通过其圆心。与圆盘平面垂直并通过其圆心。drr解解:设圆盘单位面积上的质量为设圆盘单位面积上的质量为在圆盘上取半径为在圆盘上取半径为r，宽为，宽为 dr 的圆环，该圆环质量：的圆

16、环，该圆环质量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为鞍山科技大学 姜丽娜29例例 5 求质量为求质量为 M ，半径为，半径为 R，厚为，厚为 l 的的均匀圆柱体的转动惯均匀圆柱体的转动惯量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。RoZldl解解:设圆柱体单位长度上的质量为设圆柱体单位长度上的质量为lmlmdd在圆柱体上沿轴向取长为在圆柱体上沿轴向取长为 dl 的的薄圆盘，该圆盘质量：薄圆盘，该圆盘质量：2d21dmRJ lRJJld21d02222121MRlR圆盘转动惯量为圆盘转动惯量为圆柱体转动惯量为圆柱体转动惯量

17、为鞍山科技大学 姜丽娜30记住几个典型的转动惯量：记住几个典型的转动惯量：*圆环（通过中心轴）圆环（通过中心轴） J = mR2*圆盘、圆柱（通过中心轴）圆盘、圆柱（通过中心轴）*细棒（通过端点）细棒（通过端点）*细棒（通过质心）细棒（通过质心）221mRJ 231mLJA 2121mLJc 鞍山科技大学 姜丽娜31Z3. 转动惯量的物理意义及性质转动惯量的物理意义及性质:转动惯量与质量类似转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度它是刚体转动惯性大小的量度;转动惯量不仅与刚体质量有关转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关位置及刚体的质量分布有

18、关;转动惯量具有迭加性转动惯量具有迭加性;如图如图,三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3转动惯量具有相对性转动惯量具有相对性;同一刚体同一刚体,转轴不同转轴不同,质量对转轴的分质量对转轴的分布不同布不同,因而转动惯量不同。因而转动惯量不同。ZCdZ平行轴定理平行轴定理：J=Jc+md2鞍山科技大学 姜丽娜32如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转

19、动，的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成角时角时,杆的角加速度是多少杆的角加速度是多少?解解:1设转轴垂直向里为正设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为系统对该转轴的转动惯量为 222312MlmllmJ该系统所受的合力矩为该系统所受的合力矩为coscos2cos2mgllmglMgM cosgl )Mm()mM(41536 由转动定律由转动定律:M=J可得可得方向方向:向里。向里。mgl例例1鞍山科技大学 姜丽娜33例例2:如图长为如图长为 l ，质量为，质量为

20、m的均匀直棒静止在一光滑的水平面的均匀直棒静止在一光滑的水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m 的小球以的小球以水平速度水平速度 vo 射垂直于棒冲击其一端射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞发生弹性碰撞。求碰撞后。求碰撞后球的速度球的速度v和棒的角速度和棒的角速度。lmvomo鞍山科技大学 姜丽娜34解解:定转轴正向指上；定转轴正向指上；以子弹和杆为系统，则系以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒动能守恒。统的角动量守恒动能守恒。212122mlvmlvmlolmmvmo) 3(122222121212121mlvmvmo)3()3(mmvmm

21、volmvomovmZ鞍山科技大学 姜丽娜35将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 、m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1、r2 ri rn221iikivmE整个刚体的动能整个刚体的动能kiikEE一、一、 转动动能转动动能221JEk称刚体的转动动能称刚体的转动动能则第则第 i 个质元的动能个质元的动能 2221iirm221iiivm2221iiirm5.4 5.4 转动中的功和能转动中的功和能鞍山科技大学 姜丽娜36O-力矩作用于刚体的空间累积效应力矩作用于刚体的空间累积效应当力持续作用于刚体使其角位置由当力持续作用于刚体使其角位置由1到到2时时,力矩的功为力矩的功为21MdArdf