复变函数第三单元复数3复变函数积分

1、1CH 3 复变函数的积分 1 1、复变函数积分的概念、复变函数积分的概念 2 2、柯西柯西- -古萨基本定理古萨基本定理 3 3、基本定理的推广、基本定理的推广 4 4、原函数与不定积分、原函数与不定积分 5 5、柯西积分公式、柯西积分公式 6 6、解析函数的高阶导数、解析函数的高阶导数 7 7、解析函数与调和函数的关系、解析函数与调和函数的关系2 2009, Henan Polytechnic University23.1 3.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念& 4. 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法& 3. 积分性质积分性质& 2. 积分的

2、定义积分的定义& 1. 有向曲线有向曲线3 2009, Henan Polytechnic University31. 有向曲线有向曲线0)( )( ,)( )( )()()(:22 tytxCtytxttyytxxC且且、设设 )1()()()()(: ttiytxtzC0)( )( tztz连续且连续且.平平面面上上的的一一条条光光滑滑曲曲线线zC 光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲线线约约定定 C:).(因因而而可可求求长长4 2009, Henan Polytechnic University4左左边边。的的内内部部一一直直在在观观察察者者的的一一周周前前进进观观察察者者顺顺此此

3、方方向向沿沿正正方方向向闭闭曲曲线线CC,: :的的方方向向规规定定CCA(起点起点)B(终点终点)CC;,: Cabbaba记记作作为为负负则则为为正正若若终终点点指指定定起起点点开开曲曲线线5 2009, Henan Polytechnic University5 2. 积分的定义积分的定义BzzzAnABn ,:)3(10小小弧弧段段个个任任意意分分划划成成将将kkkkkzfzz )()4(1 作作乘乘积积max,)()5(1111knkkkkkkknkkknSzzSzzzzfS 的的长长度度为为记记作作和和式式Dzzfw )()1(设设定义定义.)2(的一条光滑有向曲线的一条光滑有向曲

4、线点点内点内点为区域为区域BADCDABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz 6 2009, Henan Polytechnic University6)2()(lim1)(0Izfnkkkn 若若如如何何取取无无论论如如何何分分割割iC , CdzzfBACzf)(,)()(记记作作的的积积分分从从沿沿曲曲线线为为则则称称)3()(lim)(1 nkkknCzfdzzf 即即A CdzzfC)()1(记记作作若若闭闭曲曲线线 baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(,:)2(则则取取极极限限求求和和取取乘乘积积分分割割7 2009, Henan Polytechnic

5、University72,)1(22abzdzabdzbaCCC 则则的的任任一一曲曲线线表表示示连连接接点点若若特特例例：0, 0,)2( CCzdzdzC则则表表示示闭闭曲曲线线若若关关。和和的的形形状状还还不不仅仅因因为为一一般般不不能能写写成成存存在在如如果果方方向向有有与与曲曲线线有有关关, ,与与 . ., ,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3( 8 2009, Henan Polytechnic University8 nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分分段段光光滑滑曲曲线线.)()()()(,)5估估值值定定理理上上满满足足在在

6、函函数数的的长长度度为为设设 MLdszfdzzfMzfCzfLCCC 3. 积分性质积分性质 CCdzzfdzzf)()() 1 CCdzzfkdzzkf)()()2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3由积分定义得：由积分定义得：9 2009, Henan Polytechnic University94. 积分存在的条件及其计算法积分存在的条件及其计算法 CdzzfCzfCyxivyxuzf.)(,)(,),(),()(存存在在即即可可积积必必沿沿上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线当当定理定理)4()( CCCudyvdxivdyudxdzzf且且.)(积积分分来来计

7、计算算实实变变函函数数的的可可通通过过二二个个二二元元这这个个定定理理表表明明第第二二型型曲曲线线 CdzzfA Cidydxivu)(记记忆忆10 2009, Henan Polytechnic University10kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz ),(),(11 令令)5(),(),(),(),(1111 nkkkknkkkknkkkknkkkkyuxviyvxu nkkkkknkkknyixivuzfS11)()( CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxuzfS)(),(),( ),(),()(limlim1 证明

8、证明.0实函数的曲线积分实函数的曲线积分时，均是时，均是当当 11 2009, Henan Polytechnic University11!),(),( ),(),( 存存在在、 CCCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxu都都故故上上连连续续在在上上连连续续在在CyxvyxuCzf),(),(,)(A Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),(一一定定存存在在。是是光光滑滑曲曲线线时时，函函数数是是：当当推推论论 cdzzfCzf)(,)(1连连续续线线积积分分来来计计算算。数数的的可可以以通通过过两两个个二二元元实实函函：推推论论 cdzzf)(212 20

9、09, Henan Polytechnic University12 )()()()()( )()()( )(),( )( )(),()( )(),()(终终起起终终起起 dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfC dttztzf)( )( dttiytxtytxvitytxu)( )( )(),()(),( :)()()(:ttiytxtzzC设设光光滑滑曲曲线线由曲线积分的计算法得由曲线积分的计算法得)6()( )()( dttztzfdzzfC13 2009, Henan Polytechnic University13)10(43: ttytxOAzd

10、zC计计算算例例1 10)43()43(dtitizdzC2102)43(21)43(itdti 解解 CCidydxiyxzdz)(,无无关关右右边边两两个个积积分分都都与与路路径径容容易易验验证证2)43(21)(:idzzfCOAC ，其其上上积积分分的的曲曲线线连连接接 CCxdyydxiydyxdx又解又解Aoxy14 2009, Henan Polytechnic University14.,)(010为为整整数数为为半半径径的的正正向向圆圆周周为为中中心心表表示示以以这这里里计计算算nrzCzzdzCn 例例2 20:0 irezzC解解oxy irezz 0 z0zrC 00)

11、sin(cos02202020ndninrinididerininn Cnzzdz10)( 20)1(1derirenini15 2009, Henan Polytechnic University15 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn .,0应应记记住住以以后后经经常常用用到到, ,这这个个结结果果无无关关及及这这个个结结果果与与半半径径zrA 16 2009, Henan Polytechnic University16oxyiz 101C2C3C)()2)13201见见图图的的值值计计算算CCCOzCCdzzC 例例310)1(:)11 ttizC解解12)1

12、)(1010 tdtdtiittdzzC101:10:)232 titzCttzC 32CCCdzzdzzdzziiidtittdt 1)21(21)1(101017 2009, Henan Polytechnic University17.1;,1,2121向向的的下下半半圆圆周周，逆逆时时针针方方是是单单位位圆圆顺顺时时针针方方向向的的上上半半圆圆周周是是单单位位圆圆其其中中的的值值计计算算 zCzCdzzdzzCC.0 ,:)11 iezC解解:idtidieedzziiC 001. 0,:)22 iezCidtidieedzziiC 002例例418 2009, Henan Polyt

13、echnic University18分析分析1的积分例子的积分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC )()()(,)(1与与路路径径无无关关，即即即即，的的积积分分值值相相同同，任任意意它它沿沿连连接接起起点点及及终终点点的的在在全全平平面面解解析析中中例例解解析析。的的非非单单连连通通区区域域内内处处处处但但在在除除去去即即不不解解析析的的点点为为奇奇点点中中例例000,02120zzzzidzzzrzz 3.2 3.2 Cauchy-Goursat基本定理基本定理19 2009, Henan Polytechnic University19.,)(3有有关关的的值值与与积积分分

14、路路径径在在复复平平面面上上处处处处不不解解析析中中例例CdzzzzfC 由此猜想由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关析区域的单连通有关.先将条件加强些，作初步的探讨先将条件加强些，作初步的探讨)( ,)(内内连连续续在在且且内内处处处处解解析析在在单单连连通通设设DzfDivuzf 20 2009, Henan Polytechnic University20yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并满满足足都都是是连连续续的的内内在在以以及及它它

15、们们的的偏偏导导数数和和, CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又又 DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)()(公公式式由由格格林林 cdzzf0)(yyxxiuvivuzf )( 21 2009, Henan Polytechnic University21.)( ,1900这这一一条条件件去去掉掉了了连连续续将将且且定定理理的的新新证证明明给给出出了了年年zfCauchyGoursat0)()(1825 cdzzfCDzfDCauchy的的积积分分内内沿沿任任一一条条闭闭曲曲线线在在处处处处解解析析的的内内单单连连通通区区域域

16、给给出出了了年年.,)( 内内连连续续且且在在存存在在当当时时解解析析的的定定义义为为Dzf.1851简简单单证证明明定定理理的的上上述述给给出出了了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)( :,内内存存在在在在改改为为从从此此解解析析函函数数的的定定义义修修定定理理这这就就产产生生了了著著名名的的DzfGoursatCauchy 22 2009, Henan Polytechnic University22定定理理仍仍成成立立. .连连续续, ,在在内内解解析析在在的的边边界界为为若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf内内任任

17、一一条条闭闭曲曲线线为为内内解解析析平平面面上上单单连连通通区区域域在在设设Cauchy-Goursat基本定理：基本定理：.,)(,)1(定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的边界的边界为为若若BCBzfBC A BC也称也称Cauchy定理定理23 2009, Henan Polytechnic University23(3)定理中曲线定理中曲线C不必是简单的！如下图不必是简单的！如下图.BBC推论推论 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则对任意内解析，则对任意两点两点z0, z1B, 积分积分c f (z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，的曲

18、线，即积分与路径无关即积分与路径无关.C 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf见见上上图图z1z0C1C2C1C2z0z124 2009, Henan Polytechnic University24练习：练习：;2- (1)1 zzdz;cos (2)1 zzdz; (3)1 zzdzze. (4)1 zzdz例例1 .)2(0)cos-a(1y)sin-(,)282(2的的一一拱拱是是摆摆线线其其中中求求 axCdzzzC解解 , 182 2在在复复平平面面内内处处处处解解析析因因为为函函数数 zz所以积分与路线无关所以积分与路线无关, 根据牛根据牛莱公式莱公式: Czzz

19、d)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 25 2009, Henan Polytechnic University25.,),(,:21顺顺时时针针是是逆逆时时针针及及每每一一条条曲曲线线互互不不包包含含也也不不相相交交闭闭曲曲线线的的内内部部的的简简单单是是在在闭闭其其中中 iinCCCCCCCDC)2()()()1(0)(,)(,.121 niccnidzzfdzzfdzzfDzfDBCCCCB或或则则内内解解析析在在且且有有界界多多连连通通区区域域所所围围成成的的是是由由设设复合闭路定理：复合闭路定理：3.3 3.3 基本定理推广基

20、本定理推广复合闭路定理复合闭路定理26 2009, Henan Polytechnic University26 221121)()(LLLLcccdzzfdzzf证明证明0)()( HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzf 21CCC设设DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGHidzzzzCC 2100 有有：内内的的正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在包包含含如如：对对任任意意27 2009, Henan Polytechnic University27说明说明 kkCCCCCC21:,)1(三三者者之之间间的的关关系系.,:,)2(按按顺顺时时针针方方向向按按逆逆时时针针方方向向的

21、的特特点点与与曲曲线线的的正正向向kkCCCC kkcccccccdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()()(0)3(121 kcccdzzfdzzfdzzf)()()(128 2009, Henan Polytechnic University28A 1)()(ccdzzfdzzf此式说明一个解析函此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它作连续变形而改变它的积分值，只要在变的积分值，只要在变形过程中曲线不经过形过程中曲线不经过的的f(z)的不解析点的不解析点.闭路变形原理闭路变形原理D CC1C1C129 2

22、009, Henan Polytechnic University29.1:12 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzzz例例1 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原原式式)01, 011(21 CCdzzdzziiidzzdzzCC 42211112 解解 C1C21xyo30 2009, Henan Polytechnic University30.1:1 2任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线在在内内的的包包含含圆圆周周计计算算 zdzzz练习练习 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原原式式)01, 01

23、1(21 CCdzzdzz02211112 iidzzdzzCC 解解 C1C21xyo31 2009, Henan Polytechnic University313.4 3.4 原函数与不定积分原函数与不定积分& 1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念& 2. 积分计算公式积分计算公式32 2009, Henan Polytechnic University32 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由由2基本定理的推论知：设基本定理的推论知：设f (z)在单连通区在单连通区域域B内解析，则对内解析，则对B中任意曲线中任意曲线C, 积分积分c fdz

24、与路与路径无关，只与起点和终点有关径无关，只与起点和终点有关. 当起点固定在当起点固定在z0, 终点终点z在在B内变动内变动,c f (z)dz在在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作 zzdfzF0)1()()( 定理定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)在在B内解析，且内解析，且)()( zfzF 33 2009, Henan Polytechnic University33定义定义 若函数若函数 (z) 在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f (z) ，即，即 ,称称 (z)为为f (z)在在B内的原函数内的原函

25、数. )()( zfz zzdfzF0)()( 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一个的一个原函数原函数.设设H (z)与与G(z)是是f (z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，)(,)()(0)()()( )( )()(为为任任意意常常数数cczHzGzfzfzHzGzHzG 这表明：这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数的任何两个原函数相差一个常数. czFdzzf)()(定义定义 设设F(z)是是f (z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f (z)的不定积分，记作的不定积分，记作34 2009, Henan Polytechn

26、ic University342. 积分计算公式积分计算公式定理定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析， F(z)是是f (z)的一个原函数，则的一个原函数，则),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强35 2009, Henan Polytechnic University35例例1 计算下列积分：计算下列积分：;3,3, 0Re, 31)12iizzCdzzC终终点点为为起起点点为为

27、为为半半圆圆周周：其其中中 解解1) 32|1211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在32319312222222ideideiedzziiiC ：解解36 2009, Henan Polytechnic University36., 1arg1)2的的任任意意曲曲线线终终点点为为起起点点为为内内：为为单单连连通通区区域域其其中中zzDCdzzC ).(ln1lnln11ln,1DzzzdzzzzDzC 故故的一个原函数，的一个原函数，是是又又内解析内解析在在解解2)37 2009, Henan Polytechnic University37例例3 计算下

28、列积分：计算下列积分：32|332izdzziiii 11111|11 nnnnnzndzz iiizzzzdzziicossin|cossinsin00 38 2009, Henan Polytechnic University38小结小结 求积分的方法求积分的方法knkkncxfdzzf 1)(lim)()1( udyvdxivdyudxdzzfc)()2(dttztzfdzzfc)()()()3( 0)(,)()4( cdzzfBCBzf则则单单连连通通解解析析若若)()(,)()(,)()5(1010zfzFzFdzzfBBzfzzzz 则则单单连连通通内内解解析析在在若若39 200

29、9, Henan Polytechnic University39问题提出问题提出3.5 Cauchy3.5 Cauchy积分公式积分公式 . , 0中中一一点点为为为为一一单单连连通通域域设设BzB ,d)( 0 Czzzzf一一般般不不为为零零所所以以 .)( , )( 00不不解解析析在在那那末末内内解解析析在在如如果果zzzzfBzf .0的的闭闭曲曲线线内内围围绕绕为为zBC如何求这个值，这个值会是多少呢？如何求这个值，这个值会是多少呢？40 2009, Henan Polytechnic University400)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在则则的的一一条条

30、闭闭曲曲线线内内围围绕绕是是内内解解析析在在单单连连通通设设 CdzzzzfzzzzfzDCBzDzfD 100)()(CCdzzzzfdzzzzf的的内内部部曲曲线线在在内内部部的的任任意意包包含含由由复复合合闭闭路路定定理理得得CCz 10,具体分析具体分析DCz0C141 2009, Henan Polytechnic University41)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfCCC )0(01可可充充分分小小 zzzC)()(,0)(,)(0zfzfzfCzf 时时当当上上的的函函数数值值在在的的连连续续性性 .,这这就就是是下下面面的的定定

31、理理这这个个猜猜想想是是对对的的DCz0C1猜想积分猜想积分特别取特别取42 2009, Henan Polytechnic University42定理定理(Cauchy 积分公式积分公式)内内任任意意一一点点为为它它的的内内部部完完全全含含于于曲曲线线内内任任意意一一条条正正向向简简单单闭闭是是内内处处处处解解析析在在设设CzDDCDzf0)3,)2,)()1 Cdzzzzfizf00)(21)( ).(2)(lim:,)()(.000000zifdzzzzfRKdzzzzfdzzzzfCRzzzKKRCK 只只须须证证明明无无关关的的半半径径与与的的内内部部设设证明证明43 2009,

32、Henan Polytechnic University43 )(2)( ,0, 0:000zifdzzzzfRzzK即即要要证证 kkkdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf000001)()()(2)( 2)()(00 KKdsRdszzzfzf )()(0, 0)()(lim0000zfzfRzzzfzfzz kdzzzzfzf00)()(44 2009, Henan Polytechnic University44)(2)(lim000zifdzzzzfKR Cdzzzzfizf00)(21)( 积积分分公公式式仍仍成成立立. .上上连连续续及及在在内内解解析析, ,所所围围区区域

33、域在在( (1 1) )若若定定理理条条件件改改为为CauchyBBCBCzf,)( A (这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)值值也也被被确确定定。它它在在内内部部任任一一点点的的函函数数边边界界的的值值一一经经确确定定，则则在在区区域域表表示示。即即若若可可以以用用它它在在边边界界上上的的值值内内部部任任一一点点的的值值积积分分公公式式表表明明函函数数在在)( )(zfCCauchy245 2009, Henan Polytechnic University45 CidzzzzfizfeRzzC000214)()( :)( 则则若若 即：即： 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个

34、解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值. . 200 ) (21dieReReRzfiiii 200) (21deRzfi(3) 公式提供了计算某些复变函数沿简单闭曲线积分公式提供了计算某些复变函数沿简单闭曲线积分的一种方法的一种方法.46 2009, Henan Polytechnic University46 443211)2sin21)1zzdzzzdzzzi）（求求： 0sinsin21)104 zzzdzzzi iiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解47 2009, Henan Polytechnic U

35、niversity47.1122线线在在内内的的任任意意简简单单正正向向曲曲为为包包含含求求 zCdzzzzC例例2 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzzC 4 212211210 积积分分公公式式由由48 2009, Henan Polytechnic University48).( ,sin)(,4ifzdzzfyxCC 12222求求）（为为圆圆周周设设 例例3解解 ) )1(2(cos)1( 2)2(cos20)( 2)2(sin22 02sin)(2sin22iiifzzizzfz

36、zizdzzfC 故故又又在在全全平平面面上上处处处处解解析析，49 2009, Henan Polytechnic University49内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式出高阶导数计算公式.研究表明：一个解析函数研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点这一点与实变函数有本质区别与实变函数有本质区别.6 6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数50 2009, Henan P

37、olytechnic University50求求导导得得两两边边在在积积分分号号下下对对对对积积分分公公式式0000)()(21)(zDzdzzzzfizfC Cdzzzzfizf200)()(21)( Cdzzzzfizf300)()(2!2)( ), 2 , 1()()(2!)(100)( ndzzzzfinzfCnn 形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明以下将对这些公式的正确性加以证明.51 2009, Henan Polytechnic University51.,)(), 2 , 1()()(2!)(,)(000)(1DzDzfCndzzzzfinzfnzfCnn 而而

38、且且它它的的内内部部任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在其其中中阶阶导导数数为为它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 定理定理证明证明 用数学归纳法和导数定义用数学归纳法和导数定义.zzfzzfzfDznz )()(lim)( .100000的的情情形形先先证证52 2009, Henan Polytechnic University52 Cdzzzzzfizzf 00)(21)( Cdzzzzfizf00)(21)( 由由柯柯西西积积分分公公式式 CCCdzzzzzzzfidzzzzfdzzzzzfzizzfzzf)()(2

39、1)()(21)()(000000 令为令为I CCdzzzzzzzzfidzzzzfi20020)()(21)()(21 53 2009, Henan Polytechnic University53 CCdszzzzzzfzdzzzzzzzzfI200200)(21)()(21 则则有有取取则则上上连连续续在在上上解解析析，在在,21min,)(,)()(0dzzzdMzfMCzfCzfCz dzzzdzzzzzzdzzdzz21,211,00000 54 2009, Henan Polytechnic University54）（*)()(21)()(lim)( 200000 Czdzz

40、zzfizzfzzfzf 从从而而有有显显然然，的的长长度度）,0lim(03 ICLdMLzIz .2)()(的的情情形形的的方方法法可可证证式式及及推推导导再再利利用用 n Czdzzzzfizzfzzfzf300000)()(2!2)( )( lim)( 依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得55 2009, Henan Polytechnic University55 Cnndzzzzfinzf100)()()(2!)( .,)()(无无穷穷次次可可导导内内解解析析即即在在具具有有各各阶阶导导数数内内在在内内解解析析平平面面上上在在定定理理表表明明 DDzfDzzf一个解

41、析函数的导数仍为解析函数一个解析函数的导数仍为解析函数.)(!2)()(:0)(10zfnidzzzzfnCn 可可计计算算积积分分用用途途56 2009, Henan Polytechnic University56 CzCdzzedzzzrzC225)1()2)1(cos)11: 求求下下列列积积分分值值例例1iizidzzzzzC12)(! 42)(cos!152)1(coscos)1541)4(5 ）（在全平面处处解析在全平面处处解析解解57 2009, Henan Polytechnic University57的的内内部部不不相相交交且且在在取取处处不不解解析析在在CCCizCiz

42、Cizizez21221122,:.)()2 21222222)()()1(CzCzCzdzziedzziedzze 212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeiizei 22)()!12(2)()!12(2 58 2009, Henan Polytechnic University58)41sin(2)1sin1(cos)1(2)(1(22 iiieeiii CnzdzzerzC, 1:,)3 求求下下列列积积分分值值 423)1(cos,)4zdzzzz 求求下下列列积积分分值值i )12( )!1(2, 1;2, 1 ninin 原原式式原原式式5

43、9 2009, Henan Polytechnic University59).1(3)( ,)(173)(322ifdzzzzfz 求求设设 例例260 2009, Henan Polytechnic University607 7解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系.),()00:),(2222内内的的调调和和函函数数为为则则称称即即（方方程程续续偏偏导导数数且且满满足足内内具具有有二二阶阶连连在在若若二二元元实实变变函函数数DyxyxLaplaceDyx 定义定义.),(),(),(),()( 内内的的调调和和函函数数是是，内内解解析析在在区区域域若若DyxvvyxuuDyx

44、ivyxuzf 定理定理61 2009, Henan Polytechnic University61证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222从从而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意阶阶的的连连续续导导数数理理由由解解析析函函数数高高阶阶导导数数定定, 0 D2222 yuxu内内有有故故在在0 2222 yvxv同同理理有有62 2009, Henan Polytechnic University620, 0 vu2222yx 其其中中即即u

45、及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:内的调和函数。内的调和函数。是是，Dyxvvyxuu),(),( .),(),(D,),(的的共共轭轭调调和和函函数数为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在称称使使得得内内的的调调和和函函数数为为设设yxuyxvivuDyxu 定义定义63 2009, Henan Polytechnic University63上面定理说明：上面定理说明：.部部的的共共轭轭调调和和函函数数内内解解析析函函数数的的虚虚部部是是实实D.),(),(),(),()(:的共轭调和函数的共轭调和函数必为必为内内在在内解析内解析在在即

46、即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共轭轭调调和和函函数数必必为为调调和和函函数数的的两两个个方方程程内内满满足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析内内就就不不在在则则内内的的两两个个调调和和函函数数区区域域是是任任意意选选取取的的在在若若DivuDvu 现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：64 2009, Henan Polytechnic University64.的的共共轭轭调调和和函函数数不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 处处处处不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共轭轭调调和和函函数数必必须须是是方方程程，即即还还必必须须满满足足及及内内解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 从从而而构构成成解解析析函函数数程程可可求求得得它它的的虚虚部