函数连续性与间断点ppt课件

1、上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、函数的延续性二、函数的延续点1.8 函数的延续性与延续点上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、函数的延续性v变量的增量 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量为 在邻域U(x0)内 假设自变量x从初值x0变到终值x1 那么称Dx=x1-x0为自变量x的增量 DxDy上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv函

2、数的延续性定义提示:设x=x0+Dx 那么当Dx0时 xx0 因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 假设那么就称函数 y=f(x) 在点x0处延续 Dy=f(x0+Dx)-f(x0) 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 0lim0=DDyx0lim0=DDyx0)()(lim00=-xfxfxx0)()(lim00=-xfxfxx)()(lim00 xfxfxx= 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology讨论: 如何用e-d 言语表达函数的延续性定义？ e 0 d 0

3、当|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e 提示:v函数的延续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 假设那么就称函数 y=f(x) 在点x0处延续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= )()(lim00 xfxfxx= 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology左延续与右延续结论 函数y=f(x)在点x0处延续函数y=f(x)在点x0处左延续且右延续 v函数的延续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 假设那么就称函数 y=f(x) 在点x0处延

4、续 0lim0=DDyx 或0lim0=DDyx 或)()(lim00 xfxfxx= 如果)()(lim00 xfxfxx=- 则称 y=f(x)在点0 x处左连续 如果)()(lim00 xfxfxx=+ 则称 y=f(x)在点0 x处右连续 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology注:v延续函数 在区间上每一点都延续的函数 叫做在该区间上的延续函数 或者说函数在该区间上延续延续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(- +)内是延续的 这是由于 函数P(x)在(- +)内恣意一点 x0处有定义 并且 假设区间包括端点 那么函数在右

5、端点延续是指左延续 在左端点延续是指右延续 )()(lim00 xPxPxx= 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是延续的 这是由于 函数y=sin x在(- +)内恣意一点x处有定义 并且v延续函数 在区间上每一点都延续的函数 叫做在该区间上的延续函数 或者说函数在该区间上延续延续函数举例sin)sin(limlim00 xxxyxx-D+=DDD0)2cos(2sin2lim0=D+D=Dxxxx 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Tec

6、hnology二、函数的延续点延续点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 假设函数 f(x)有以下三种情形之一 (1)在x0没有定义那么函数 f(x)在点x0不延续 而点x0称为函数 f(x)的不延续点或延续点 (2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在 0limxx (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)0limxx0limxx上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology延续点举例y=x 例1 正切函数tan 在2 p=x处没有定义x所以点2 p=x是函数 tan 的延续点x故称2 p=

7、x为函数 tan 的无穷延续点 因为=xxtanlim2p 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 函数xy1sin=在点 x=0 没有定义 例例2 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的延续点 所以点x=0称为函数的振荡延续点 延续点举例xy1sin=上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology所以点x=1是函数的延续点 假设补充定义 令x=1时y=2 那么所给函数在x=1成为延续 所以x=1称为该函数的可去延续点 例例3 函数112-=xxy在 x=

8、1 没有定义 延续点举例112-=xxy 因为11lim21-xxx2) 1(lim1=+=xx 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology所以x=1是函数f(x)的延续点 假设改动函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 那么函数在x=1成为延续 所以x=1也称为此函数的可去延续点 例例4 延续点举例例例 4 设函数=1 211 )(xxxxfy 因为1lim)(lim11=xxfxx21) 1 ( =f21) 1 ( =f ) 1 ()(lim1fxfx 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical

9、 Technology 因函数f(x)的图形在x=0处产生腾跃景象 我们称x=0为函数f(x)的腾跃延续点 例例5 延续点举例例例 5 设函数+=-=0 10 00 1)(xxxxxxf 因为1) 1(lim)(lim00-=-=-xxfxx 1) 1(lim)(lim00=+=+xxfxx )(lim)(lim00 xfxfxx+- 所以极限)(lim0 xfx不存在 x=0 是函数 f(x)的间断点 不存在 x=0 是函数 f(x)的间断点 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 通常把延续点分成两类 设 x0是函数f(x)的延续点 假设左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类延续点 不属于第一类延续点的延续点 称为第二类延续点 在第一类延续点中 左、右极限相等者称为可去延续点 不相等者称为腾跃延续点 无穷延续点和振荡延续点显然是第二延续点 v延续点的类型上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology总结1.函数在一点延续必需满足的三个条件;3.延续点的分类与判别;2.区间上的延续函数;第一类