椭圆与双曲线的必背的经典结论.

1、椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2 在点 P 处的外角 .2. PT 平分 PF1F2 在点 P处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5.若P0 ( x0 , y0 )在椭圆x2y21上，则过Px0 xy0 y1.a2b2a2b20 的椭圆的切线方程是6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点a2b2弦 P1P2

2、的直线方程是x0 xy0 y1.a2b27.椭圆 x2y21 (a b 0)的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F PF，则椭圆的焦点角形的面积为S FPF2b2 tan .12128.椭圆 x2y21（ a b 0）的焦半径公式：a2b2|MF1|aex0 ,|MF2 |aex0 ( F1 (c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、 N两点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q

3、, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M， A P 和 A Q交于点 N，则 MFNF.2111.AB 是 椭 圆 x2y21 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M(x0 , y0 ) 为 AB 的 中 点 ， 则a2b222b x0 。kOM kABb2 ，即 KABaa 2 y012.若 P0 ( x0, y0 )在 椭 圆x2y 21内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2b2x0 x y0 y x02y0 2a2b2a22 .b13.若 P0 ( x0, y0 )在 椭 圆x2y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a2b2x2y2x0 xy0 ya22

4、a2b2 .b双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2. PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 .4.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P 在右支；外切：P 在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y 21（a 0,b 0）上，则过P0 的双曲线的切线方程a2b2是 x0 xy0 y1.a2b26.若 P ( x , y ) 在双曲线x2y 21（ a0,b 0）外

5、，则过 Po 作双曲线的两条切000a2b2x0 xy0 y线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是1.a2b27.双曲线 x2y21 （a 0,b o）的左右焦点分别为12，点 P 为双曲线上任a2b2F， F意一点F1 PF2，则双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2b2 co t .28.双曲线 x2y21 （a 0,b o）的焦半径公式： (F1(c,0),F2 (c,0)a2b2当 M (x0, y0 ) 在右支上时，|MF1 |ex0a ,|MF2|ex0a .当 M (x0, y0 ) 在左支上时，|MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a9.设过双曲线焦点

6、F 作直线与双曲线相交 P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、 N两点，则 MF NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，A P和 A Q交于点M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF NF.122111.AB 是双曲线 x2y21 （ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦，M(x0 , y0 ) 为 ABa2b2b2 x0b2 x0 。的中点，则 K OMK AB，即 KABa 2 y0a 2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,

7、b 0）内，则被Po 所平分的中点弦的a2b2方程是x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .13.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方a2b2程是x2y2x0 xy0 ya2b2a2b2 .椭圆与双曲线的对偶性质- （会推导的经典结论）椭圆1.椭圆 x2y21（ a b o）的两个顶点为 A1 (a,0) ,A2 (a,0) ，与 y 轴平行的直a2b2线交椭圆于PP 时 AP 与 AP 交点的轨迹方程是x2y2a2b21.1、21 12 22.过椭圆 x2y21 (a 0, b 0) 上任一点 A(x0 , y0

8、) 任意作两条倾斜角互补的直a2b2线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向且 kBCb2 x0（常数） .a2 y03.若 P 为椭圆 x2y21 （ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2 是焦点 ,a2b2PF1 F2,PF2 F1acco t.，则tan2ac22 24. 设椭圆 xy 1（ a b 0）的两个焦点为 F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上2 b2a任意一点，在PF1F2 中，记F1PF2,PF1F2, F1 F2 P，则有since .sinsina5.若椭圆 x2y21（ a b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0a2b2e21P，

9、使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比时，可在椭圆上求一点例中项 .6.P 为椭圆 x2y21（ ab 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为椭圆内一定点，a2b2则 2a| AF2| |PA| |PF1|2a| AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.7.椭圆 (xx0 ) 2( yy0 ) 21 与直线 AxBy C 0 有公共点的充要条件是a2b2A2 a2B2b2( Ax0By0C)2 .8.已知椭圆 x2y21（ a b 0），O为坐标原点， P、Q为椭圆上两动点， 且 OP OQ .a2b24a2b2 ;（ 3）S OPQ

10、（1）1111 ;（ 2）|OP|2+|OQ| 2 的最大值为|OP |2|OQ |2a2b2a2b2a2 b2的最小值是22 .a b9.过椭圆 x2y21 （a b 0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦a2b2x 轴于 P，则 | PF |e .MN的垂直平分线交|MN |210.已知椭圆 x2y21（ a b 0） ,A 、B、是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分a2b2线与 x 轴相交于点P( x0a2b2a2b2,0), 则x0.aa11.设 P 点是椭圆 x2y21（ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F2 为其焦点a2b2记 F1PF2，则 (1)|

11、 PF1 | PF2 |2b2.(2)S PFFb2 tan .1cos12212.设 A、 B 是椭圆 x2y2 1（ a b 0 ）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，a2b2PAB,PBA,(1) | PA|2ab2 | cos| .(2)a2c2 cos2BPA， c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有tan2S PAB2a2b2tan 1 e .(3)b2a2 cot .13. 已知椭圆 x2y2（a ）的右准线 l 与x轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 Fa2b21b 0的直线与椭圆相交于A、 B 两点 , 点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点

12、 .14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质 -（会推导的经典结论）双曲线1.双曲线 x2y21（ a0

13、,b 0）的两个顶点为 A1(a,0) ,A2 (a,0) ，与 y 轴a2b2x2y2平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A1 P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是1.a2b22.过双曲线 x2y21（ a 0,b o）上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互a2b2b2 x0 （常数） .补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC有定向且kBCa2 y03.若 P 为双曲线x2y21（a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,a2b2F2是焦点,PF1 F2,PF2 F1ca， 则ct a n co t（ 或caa22cot）.ct a na224.设双曲线

14、x2y21 （ a0,b 0）的两个焦点为12a2b2F、 F ,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中 ， 记F1PF2,PF1F2,F1F2Psinc，则有sin)e .(sina5.x2y21（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，若双曲线2b2a则当 1 e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 .6.P 为双曲线 x2y21（ a 0,b0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为双曲线a2b2内一定点，则|AF2|2a| PA| PF1 | , 当且仅当 A,F2 ,P 三点共线且P

15、 和A, F2 在 y 轴同侧时，等号成立.7.双曲线 x2y21（ a 0,b 0）与直线Ax By C0有公共点的充要条a2b2件是 A2 a2B2b2C 2 .8.已知双曲线x2y21（b a 0），O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，a2b2且OP OQ.（1）1111;（ 2）|OP|2 +|OQ|2 的最小值为4a2b2 ;（ 3）S OPQ|OP |2|OQ|2a2b2b2a2a2b2的最小值是 b2a 2 .9.过双曲线x2y21 （ a0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于a2b2x 轴于 P，则 | PF |e .M,N 两点，弦 MN的垂直平分线交|MN |

16、210.已知双曲线x2y21（ a 0,b 0） ,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的b2a2a2b2a 2b2垂直平分线与x 轴相交于点 P( x0,0) ,则 x0或 x0aa.11.设 P 点是双曲线x2y21 （a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F 1、 F2a2b22b2为其焦点记F1PF2，则(1)| PF1 | PF2 |.(2)1 cosS PFFb2 cot .12212.设 A、 B 是双曲线 x2y21 （ a 0,b 0）的长轴两端点，P 是双曲线上的a2b2一点，PAB,PBA, BPA， c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1)| PA|2ab2 | cos| .| a2c2co s2|(2)tantan12.(3)S2a2b2ePABb2a2 cot .13.已知双曲线 x2y21（0,b ）的右准线 l 与x轴相交于点 E ，过双曲a2b2a0线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上，且 BC x轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14.过双曲线