椭圆专题复习讲义(理附答案).

1、椭圆专题复习考点 1椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用1.短轴长为5 ，离心率 e的椭圆两焦点为 F ，F ，过 F作直线交椭圆于 A、 B 两点，则 ABF 的周长为212123A.3B.6C.12D.24（） 解析 C.长半轴 a=3， ABF2 的周长为 4a=122.已知 P 为椭圆 x2y21上的一点， M , N 分别为圆 ( x3) 2y21 和圆 ( x 3)2y24 上的点，则2516PMPN 的最小值为（）A 5B 7C 13D 15 解析 B.两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点，| PC |PD |10， PMPN 的最小值为 10-1-2=7题型 2 求椭圆的标准

2、方程3. 设椭圆的中心在原点， 坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直， 且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 4，求此椭圆方程 .x2y21 或 x2y2bc 解析 设椭圆的方程为1(ab0) ，则 ac4(2 1)，a2b2b2a2222abc解之得： a4 2 ，b=c 4.则所求的椭圆的方程为x2y 21或 x 2y 21 .321616324. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3 ，求这个椭圆方程.ac3a233，所求方程为x2+ y2=1 或 x2+ y2解析 =1.， ba2cc3129912考点 2

3、椭圆的几何性质题型 1: 求椭圆的离心率（或范围）5.在 ABC 中，A300 ,| AB | 2, S ABC3 若以 A， B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1 解析 S ABC| AB | | AC | sin A3 ，2|AC| 23，|BC |AB|2| AC |2 2 | AB | | AC | cos A 2|AB|23 1e|BC| 23 22|AC|6.成等差数列， m，n ，mn 成等比数列，则椭圆x2y21的离心率为mn2n2mnm2x2y22 解析 由 n2m2n，椭圆1 的离心率为n4mn0mn2题型

4、 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）7.已知实数 x, y 满足 x2y21,求 x2y2x 的最大值与最小值42【解题思路】把 x2y2x 看作 x 的函数解析 由 x 2y 21 得 y221 x2 ,21 x202 x 24222x2y 2x1 x2x21 (x1)23 , x2,2222当 x1时 , x2y2x 取得最小值 3,当 x2 时 , x2y 2x 取得最大值 628. 如图，把椭圆x2y21 的长轴AB 分成 8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于2516P,1 P2 , P3 , P4, P5 , P6 , P7 七个点， F 是椭圆的一个焦

5、点则 PF1P2FPF3P4F P5 F P6F P7 F _解析由椭圆的对称性知：P F P7 F P2 F P F P F P F 2a 351635考点 3椭圆的最值问题9.椭圆x2y21上的点到直线 l: xy90 的距离的最小值为 _169 解析 在椭圆上任取一点P, 设 P( 4cos,3sin).那么点 P 到直线 l 的距离为：| 4 cos3sin12 |2 | 5sin()9|22.1212210. 已知点 P 是椭圆 x2y 21 上的在第一象限内的点，又A(2,0)、 B(0,1) ，4O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_解析 设 P ( 2 cos , s

6、in),( 0,) ，则2SOAPBS OPAS OPB1 OAsin1 OB2 cossincos222考点 4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题11. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为0 ,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与y轴交于点P 0，m），与椭圆C交于相异两点A BAP 3PB（、 ，且（ 1）求椭圆方程；（ 2）求 m的取值范围 解析 （ 1）由题意可知椭圆C 为焦点在 y 轴上的椭圆，可设C :y2x21 ( a b 0)2b2a由条件知 a1 且 bc ，又有 a2b2c2 ，解得a1 , bc22故椭圆 C 的离心率为

7、ec2，其标准方程为：y2x 21a212（ 2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（ x1， y1）， B（x2，y2）y kx m22222得（ k 2） x 2kmx（ m 1） 02x y 1（ 2km） 2 4（ k2 2）（m2 1） 4（ k2 2m2 2） >0 （ * ） 2kmm2 1x1 x2 2x2x1 x2 k2 2 ， x1x2k2 2AP3PB x1 3x2 x1x2 3x22 2kmm2 1消去 x2，得 3（x1x2）2 4x1x2 0， 3（2）24 2 0k 2k 2整理得2 2 2m22212122 2m24k mk 2 0m 时，上式不成立； m 时

8、， k 4m2，44 122 2m21或1<m<1容易验证22 2 成立，所以（ * ）成立因 3 k0 k4m2>0， 1<m<22k >2m11 1即所求 m 的取值范围为（ 1， 2）（ 2，1 ）基础巩固训练1. 如图所示 ,椭圆中心在原点 ,F 是左焦点 ,直线 AB1 与 BF交于 D,且 BDB1 90 ,则椭圆的离心率为()3151513AB2C2D22解析 B.b ( b )1a2c2ac e5 1ac22. 设 F1、F2 为椭圆 x2+y2=1 的两焦点， P 在椭圆上，当 F1PF2 面积为1 时， PF1PF2 的值为（）4A0B1

9、C2D3解析 A.SFPF23 | yP |1 ，P 的纵坐标为3，从而 P的坐标为 (2 6 ,3 ) ，1333PF1 PF20，x2y2平分 , 那么这条弦所在的直线方程是（）3.椭圆1 的一条弦被 A(4, 2)369A x2 y 0B 2x y 10 0C 2x y 2 0D x 2 y 8 0解析D.x12y121, x22y221,两式相减得： x1 x24( y1y2 ) y1y20，369369x1x2x1 x28, y1y24 ，y1y21x1x224.在 ABC 中，A90 ，tan B3若以A， B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e4AB1解析AB4k, AC

10、3k, BC5k, eAC BC25. 已知 F1, F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点 ,若PF1 F2:PF2 F1 :F1 PF21 : 2 : 3, 则此椭圆的离心率为 _. 解析31三角形三边的比是1:3 : 26.在平面直角坐标系中， 椭圆 x2y21(ab 0)的焦距为2，以 O 为圆心， a 为半径的圆， 过点a2,0a2b2c作圆的两切线互相垂直，则离心率e=解析a22ae2c2综合提高训练7、已知椭圆x2y 21 (ab0) 与过点 A(2， 0)， B(0， 1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离a 2b 2心率 e3求椭圆方程2 解析 直线 l的方程为

11、 ： y1 x1由已知a 2b 23a 24b 22a2x 2y 211 a 2 )x 2由a 2b 2得： (b2a2 x a2a 2b 20y114x2a4( 42a2 )(a2a2b2 ) 0，即a24 4b2b由得：a22，b21故椭圆E 方程为x2y2221128.已知 A、B 分别是椭圆x 2y21的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P( 1,2PBa 2b2）在椭圆上，线段2与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点 .（ 1）求椭圆的标准方程； （2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于sin AsinBABC，求的值。sin C 解析 （ 1）点 M 是线段 PB的中点 OM 是 PAB