1.4定积分和微积分基本定理练习题集与答案解析

1、1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011宁夏银川一中月考)求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是()A.S=1(x2x)dxB.S=f 1 (x-x2)dxC.S=1(y2y)dyD.S=1(y )dy答案B分析根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.解析两函数图象的交点坐标是(0,0), (1,1),故积分上限是 1,下限是0,由于在0,1 上，x x2 ,故函数y= x2与y= x所围成图形的面积 S=1(x x2)dx.2.(2010 山东日照模考)a=f2xdx,b=2exdx,c=2sinxdx,贝Ua、b、c 的大小关系 0 0- 0是()A.

2、 acbB. abcC. cbaD. ca2, c= | 2sinxdx= cosx|02=1 cos2c (1,2),cab.3 . (2010 山东理，7)由曲线y=x2, y=x3围成的封闭图形面积为()1B. 一 417D.一121A.一12答案Ay= x2解析由得交点为(0,0), (1,1).y=x3.S=1(x2x3)dx= % - - 001 =行点评图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线 对应函数表达式的积分，请再做下题:（2010 湖南师大附中）设点P在曲线y=x2上从原点到A（2,4）移动，如果把由直线 OP,直线y= x2及直线x= 2所围

3、成的面积分别记作S1, S2.如图所示，当S1=S2时，点P的坐A.416B.516C.15D.13答案A解析t3 -设 P(t, t2)(0 wtW2),贝L： y=tx, S1= j t(tx-x2)dx=S2= | 2(x2t3-伙曲=3-2%，若 s1=s2,则 R, y,4 16、4 .由三条直线x=0、x= 2、y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为（）418A. 4B.3CgD. 6答案Ax4解析S= | 2x3dx= _ 02= 4. J 05 . （2010 湖南省考试院调研）/1 1（sinx+1）dx的值为（）A.B. 2C.2+ 2cos1D. 2- 2cos1答案B

4、解析1 1(sinx+1)dx= ( cosx+ x)| -11=( cos1+ 1) ( cos( 1)1)=2.6 .曲线y= cosx（0 w xw 2兀）与彩所围成的图形面积是（）B. 3兀A. 2兀3兀c.yd.兀答案A解析如右图,S= / 02 Tt (1cosx)dx=(x sinx)|02 兀=2 7t.点评此题可利用余弦函数的对称性面积相等解决，但若把积分区间改为 兀I；则对称性就无能为力了.67 .函数 F(x) =/xt(t 4)dt 在1,5上()A.有最大值0,无最小值328 .有最大值 0和最小值 332C.有最小值-,无最大值3D.既无最大值也无最小值答案B解析F

5、 (x) =x(x-4),令 F (x) =0,彳导 x1=0, x2 = 4,7322532- F(-1)=-3, F(0)=0, F(4)=-y, F(5)=-y.，最大值为0,最小彳1为一 y.点评一般地，F(x)=x (t)d的导数 F (x)(x). 08 .已知等差数列an的前n项和Sn= 2n2+ n,函数f(x) = /x；dt,若f(x)a3 ,则x的取 值范围是()A.左 +ooB. (0, e21)C. (e- 11, e)D, (0, e11)答案D解析f(x)= fx-dt=lnt|1x =lnx, a3= S3- S2= 2110=11,由 lnx11 得，0xe1

6、1.9 . (2010 福建厦门一中)如图所示，在一个长为兀，宽为2的矩形OABC内，曲线y =sinx(0 w xw兀x)辅围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()y=HirK1A. 一兀2B-兀3 C.- 兀兀D.一4解析由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得sinxdx=一cosx|0 市一(cos 歪 cos0) = 2 ,再根据几何概型的算法易知所求概率P =s巨形 oabc 2 7r i10.(2010 吉林质检)函数f(x)= ZCOSX-2x0广 兀的图象与x轴所围

7、成的图形面积$为()3A.2B. 1C. 41D.2解析兀兀面积 S= 2 2 2f(x)dx =仿一2(x+ 2)dx+ 2 _02cosxdx= 2 + 2= 4.11.(2010 沈阳二十中)设函数f(x) = xx,其中冈表示不超过x的最大整数，如1.2x=2, 1.2=1, 1=1.又函数g(x)=-5 f(x)在区间(0,2止零点的个数记为m, f(x)与g(x)3的图象交点的个数记为n,则Jn g(x)dx的值是()5A-27D- -6答案A解析由题意可得，当 0Vx1 时，x = 0, f(x) = x,当 1Wxc,1b2db由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p = 一 =

8、11X1 312. (2010 吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲线y=x2(x 0)为轴，直线x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是()1A.- 21 B.4解析如图，正方形面积1,区域M的面积为S=1x2dx=3x3|01 =3,故所求概率1 p=3.2.如图，阴影部分面积等于 ()答案C解析图中阴影部分面积为132S=1 (3x22x)dx= (3x，x3x2)|1 3=不-3333. 4 x2dx=(). 0A. 4兀B. 2兀兀C.兀D.-答案C解析令y=，4-x2,则x2 + y

9、2= 4(y 0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴 影部分的面积，1 S= -X 兀 X 22 =兀.44.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙（如图所示）.那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确 的是（）A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.在t1时刻，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D. t0时刻后，乙车在甲车前面答案A解析判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0, t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，

10、即速度函数v的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t=0, t= t0围成区域的面积大于 v乙的图象与t轴和 t=0, t = t0围成区域的面积，因此，在 t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C, D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t=t1围成区域的面积，仍然大于 v乙的图象与t轴和t=t1围成区域的面积，所以，可以断定:在t1时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选A.5. （2012 山东日照模拟）向平面区域兀兀y）| 4W x4, 0 y 1内随机投掷一点,1B.22 D.兀解析 平面区域 是兀矩形区域，

11、其面积是2，在这个区该点落在曲线y = cos2x下方的I率是（兀A.4兀c.2T答案D域中曲线2= cos2t下方区域的面积是立工co52Hd工=*I2宿co52 HdN=2( = sin2工)j=1.故所求的概率是工=22二.故选D71j- 72兀6. 2(sinx cosx)dx 的值是()兀A. 0B.4 C. 2D. 2答案D一三三12工，” 今，、，、2-解析乙(sinx cosx)dx= ( cosx sinx)= 2.7. (2010 惠州模拟/2(2 |1 x|)dx =.答案3F + x 0WxWl解析3 x 1x 22(2 |1 x|)dx =1(1 + x)dx+2(3

12、 x)dx113 3=(x+ 2x2)|10+ (3x- 2x2)|21 =2+2=3.8. (2010芜湖十二中)已知函数f(x) = 3x2+2x+1,若1f(x)dx = 2f(a)成立,则a=1答案1或鼻 3解析. j1 1f(x)dx = j1 1(3x2+ 2x+ 1)dx= (x3 + x2+ x)|1 1 = 4,/1 1f(x)dx =2f(a), . 6a2+ 4a+ 2= 4,1或;39.已知兀1a= 2 20(sinx+ cosx)dx,则二项式(ajx )6的展开式中含x2项的系数是-192解析7t7t7t7t由已知得 a= 2 20(sinx+ cosx)dx= (

13、 cosx+ sinx)| 20= (sin2 cos2) (sin0 cos0)=2,1丁)6的展开式中第 r+ 1项是Tr+ 1 = (- 1)r X6X 26 r x x3卜令3- r=2得,r=1,故其系数为( 1)1 X(6X 25 = 192.10.有一条直线与抛物线 y=x2相交于A、B两点，线段 AB与抛物线所围成图形的面4积恒等于求线段AB的中点P的轨迹方程.3解析设直线与抛物线的两个交点分别为A(a, a2), B(b, b2),不妨设ax= 4 y,y21, y2 y，- .S= | 2 (4-y)-ydy=(4y- 2 )|2- 4=18. - -414 .已知函数 f

14、(x)=ex 1,直线 11： x=1, 12： y=et 1(t 为常数，且 0w t w 1).直线1, 12与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域n所示，其面积用S2表示.直线12, y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域I所示，其面积用 S1表示.当t变化时，阴影部分 的面积的最小值为.答案(e1)2解析由题意得 S1+S2= ft (et 1 ex+ 1)dx+ f 1 (ex:- 1 et+1)dx=t(etex)dx+ f1(ex-et)dx= (xet ex)|t0 + (ex xet)11t = (2t3)et+ e+ 1,令 g(t) = (2t3)et+

15、e+ 1(0 t 1), t11则 g (t)2et+(2t 3)et=(2t1)et,令 g (t)0=彳#t=2,.当 t C 0,万)时，g (t)0 g(t)是增函数，因此 g的最小值为g(2)=e+ 1-2e2(e 1)2.故阴影部分的面积的最小值为(. e 1)2.15 .求下列定积分.x/1 1|x|dx;(2)J Tcos与dx;1 2X2x2|10= 1.(3) J2+ 1dx. x- 1解析(1) 1|x|dx = 2/1xdx =(2) f Tcos2-dx= f Ttdx= -x| 0t + -sinx| 0 -. 02. 02222(3) Je+ 1xdx= ln(x

16、1)|2+ 1=1.16.已知函数 f(x)= x3+ ax2+ bx(a,be R)的图象如图所示，它与 x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分1)的面积为12，求a的值0解析f (x) =3x2 + 2ax+ b, 丁 f (0)0 = /. b = 0, . f(x)= x3 + ax2,令 f(x)= 0,彳导 x= 0 或 x=a(a0).S 阴影=00(x3+ax2)dx a1111=(_x4二 ax3)|= -a4-=,431212a0,a= 1.1. (2011 龙岩质检)已知函数f(x) = sin5x+ 1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f(x)dx的值，结果是1 兀A.6+ 2 B兀C. 1 D. 0答案B-三I 2 -27r9 _ .f(x)dx =- sin5xdx+1dx,由于函数y= sin5x 是奇函数，所以sin5xdx= 0,而2.若函数- x一 1f(x) = dcosx积为a,则a的值为(2+兀A.4C. 1答案D解析由图可知1a= 2 +II 2工-Kx-2,2-12 /？ J Tsinxdx=2? 2=.4.设函数 f(x) = ax2+ c(a 丰 0),1f(x)dx = f(x0), 0 x0 1,贝次0 的值为3答案V 3解析1f(x)dx= 11(ax2+c)dx= (+c