中考数学动点问题之将军饮马问题

1、中考数学“将军饮马”类题型大全一.求线段和最值1 （一）两定一动型例 1：如图，AM-EFi BN二EF,垂足为Nt MN=12nt AM=SInt BN=Anlt P 是EF上任意一点，则PA+PB的最小值是/.分析：这是最基本的将军饮马问题，At 是定点，F是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常 见的'淀点定线作对称”，可作点-4关于EF的对称点少，根据两点之间，线段最短，连接 AiBf此时AP+PB即为A込，最短.而要求ABt则需要构造直角三角形，利用勾股定理 解决.解答：作点N关于EF的对称点去,过点.（作AiC-BN的延长线于C.易知去M=M=M7=5加， BC=9ih, A

2、yC=MN=Umf 在 Rf二A'BC 中，A込=15加，即 PA+PB 的最小值是 15;/.Bk.A9C变式：如图，在边长为2的正三角形4BC中，E9 F9 G为各边中点，尸为线段EF上一动点，则二BPG周长的最小值为分析: 考虑到BG为定值是1,则二BpG的周长最小转化为求BP+PG的最小值，又是两定动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点， 我们不妨连接/G,则AGZBCf再连接EG,根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，AE=EGt则点乂就是点G关于EF的对称点.最后计算周长时，别忘了加上G的 长度.解答: 连接.4G,易知 PG=

3、F4, BPPG=BPPA9 当 £, P9 / 三点共线时，BP+PG=BA9 此时最短，B.4 = 2, BG=I9即-BPG周长最短为3BGC（二）一定两动型例2：如图，.4B=AC=5, D 为 BC 中点,.4D=5, P 为 4D 上任意一点，E 为 AC上任意一点，求PC+PE的最小值BDC分析：这里的点C是定点，P, E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于-ABC是等腰三角 形，40是肮中线，则4D垂直平分BC,点C关于加的对称点是点B, PC+PE=PB+ PEf显然当民P, E三点共线时，BE更短.但此时还不是最短，根据“垂线段最短”只有 当BEZAC时，SE

4、最短求BE时，用面积法即可解答：作BEZAC交于点交4D于点P,易知AD二BG BD=3, BC=69则 AD BC=BE AC94x6=BE 5, BE=4.8A变式：如图，BD平分ZABC9 E9 F分别为线段BG BD上的动点,.4B=8f -ABC的周长为20,求EF+CF的最小值分析：这里的点C是定点，F9 E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定 点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题.因为点C的对称点C，必然在45上，但由于 BC长度未知，长度也未知，则C，相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点 E关于BD的对称点.解答：如图，作点E关于BD的对称点连接QF

5、,则EF+CF=F+CF,当F, Ff C三点共线时，EFCF=EiCt此时较短.过点C作CE-AB于£”，当点E与点E” 重合时，E”c最短，C为45边上的高，EC=5.（三）两定两动型例3：如图，-AOB=i OC=5, OD=Ut点£, F分别是射线04 OB上的动点，求CF+EF+DE的最小值.分析：这里的点C,点D是定点，F9 E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以 用“定点定线作对称”来考虑.作点7关于OB的对称点，点D关于0/的对称点.解答：作点C关于OE的对称点C，,点D关于 加 的对称点连接CD CF+F÷ DE= CF+ EF+ DE

6、当 C, F9 E9 2T四点共线时，CF+EF+DE= CTr最短.易 知二Zroe=90。，OZr=I2, OC=5, CTr = I3, CF+EF+DE 最小值为 13.D,变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面4宽1.78,白球E距加边0.22m,距CD边1.4加， 有一颗红球F紧贴C边，且距离CD边0.1加，若要使白球E经过边4D, DCt两次反弹 击中红球F求白球E运动路线的总长度.分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出， 即分别作点E关于4D边的对称点作点F关于3边的对称点F,即可画出白球E的 运动路线，化归为两定两动将军饮马型.解答

7、：作点E关于Q边的对称点作点F关于CD边的对称点F,连接,交4D于点G, 交CD于点Hf则运动路线长为EGGHHF长度之和,即FF长,延长EE交C于N, 交 4D 于 M,易知 EfM=EM=O.22IHt JEW=I.78÷0.22=2/, Nr =NC+ CF = I.4+0.1 = 1.5,则皿二FNF中，FF=2.5加，即白球运动路线的总长度为2.5/.5.V FCr小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将 军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短” 的2条重要性质，将线段和转化为宜角三角

8、形的斜边，或者边上的高，借助勾股定理， 或者面积法来求解.当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称.(二)求角度例1：P为二40内一定点，M,片分别为射线Q4, OB上一点，当二PwV周长最小时，二MPN =80°.(1) -AOB=O(2) 求证：OF平分:ZMPV分析：这又是定两动世将军饮马问题，我们应该先将M, N的位置找到，再来思考二ZOB的度 数，显然作点P关于OA的对称点P,关于OB的对称点严，连接PP”，其与OA交点即 为M,伽交点即为N,如下图，易知二DPC与AOB互补，则求出二DPC的度数即可.解答：(1)法 1：如图，Zl÷Z

9、2 = 100o, E1 = ZP,÷l3=2Z3, 2=二严+4=2Z24,则二3+二4=50。二DPC8再分析：考虑到第二小问要证明OP平分二W我们就连接OP,则要证二5=二6,显然很困难， 这时候，考虎到对称性，我们再连接OP', 0严，则二5=二7,二6=二8,问题迎刃而解 解答：(1)法 2：易知 OP = OPj 7+8=Z5+Z6=80o, ZP5OPn = IOO0,由对称性知，Z9=1L ZIO = 12,9+ZlO=SO0Z7=8=40o,二5 =二6=40。，OF平分二WPN变式如图，在五边形45CDE中，二B4E=136。，B=E=9QQf在BC. DE上分别找一点M、N9使得二4WV的周长最小时，则ZAMN+二4AM的度数为分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作/点关于G DE的对称点A连 接£4",与C、DE的交点即为二九WV周长最小时M、N的位置.解答：如图，二二 84£=136。，二二伽 G+二 Wz=44。由对称性知，ZyLAAt=ZMA9A9二 NAA"=二NQ4,AMN+ ZANM=2MAfA+2ZNAHA=