圆锥曲线的综合问题

1、第八节圆锥曲线的综合应用一、基本知识概要：1 知识精讲：圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定 值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进-步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想2 重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用3 思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等4 特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思 维的严密性，以保

2、证结果的完整。、例题:2例 1. A，B 是抛物线y 2px（p 0）上的两点，且OAOB（ O 为坐标原点）求证:（1）A，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植;（2）直线 AB 经过一个定点 证明.设A(Xi，yi)，B(X2, y2),Wyi22卩为222 px2,OA OB, x1x2y1y20、22两式相乘得yiy24p ,XiX24 p22(2)yiy22p(xiX2),当xiX2,kAB所以直线 AB 过定点（2p,0）例 2、（2005 年春季北京，i8）如图，O 为坐标原点，直线I在X轴和y轴上的截距分别是a和b(a0,b0），且交抛物线y22px(p0)于 M (x1

3、, y.|)， N (x2, y2)两点。(1)写出直线1的截距式方程(2)1 1证明：yiy21 b(3)当a 2p时，求MON的大小。 （图见教材 P135 页例 1）解：（1 厂直线I的截距式方程为x ya b1。(1)2pyiy2所以直线 AB 的方程 y yi2p（x xi）.化简得 yyiy过定点（2 p,0）,当 xix2时，显然也过点（2p,0）2pyiy(x2p),双曲线的渐近线为y- x，两渐近线的夹角为60a（2）、由（1 ）及y22px消去x可得by22 pay2 pab 0(2)的坐标yi, y2为（2）的两个根。故y1y22 pa,Y1y22pa.1所以一y1y2%

4、 yy1y22 pa匸12 pa b（3 ）、设直线OM、 ON的斜率分别为 佥山,则 k1上，k2Xiy2X2当a 2p时，由（2)知，y22pa4p2,由 2px1,y；2px2,相乘得（yy）24p2x1x2, x.,x2（y2）22)24p24p2,因此k1k2里览x1x24p24p21所以OMON, 即卩MON=90。说明：本题主要考查直线、题的能力。抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问2x例 3、（2005 年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为 a2yb21（ a b 0），双曲线2 2xy 牙1的两条渐近线为h,l2，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线l，a

5、b使丨11，又I与12交于 P 点，设I与椭圆 C 的两个交点由上而下依次为 A、B。（图见教材P135 页例 2）(1)当h 与 12夹角为60，双曲线的焦距为 4 时，求椭圆 C 的方程(2)当FAAP时，求的最大值。(3)解：（1），又-1,a2POx 30 ,即-tan 30a32a23, b21故椭圆C的方程为3a 3b.又a2y21.a2ab由已知l:y：（xc）,与fx 解得 P（初,）b24,由FAcAP得A(a2ab)，将 A 点坐标代入椭圆方程得(c2(12 2 2 2 2(e ) e (1)4e e22的最大值为、21。说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比

6、分点公式、重要不等式的应 用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。(2e2)22 e23 3 2 2.2 2例 4、A，F 分别是椭圆 0 3 an1 的一个上顶点与上焦点，位于x 轴的正半轴16 12上的动点 T(1)(2)(3)(t,0)与 F 的连线交射线 OA 于 Q，求：点 A，F 的坐标及直线 TQ 的方程；三角形 OTQ 的面积 S 与 t 的函数关系式及该函数的最小值 写出该函数的单调递增区间，并证明解：(1)由题意得 A(1,3),F(1,1)直线 TQ 得方程为 x+(t-1)y-t=0射线OA的方程 y=3x(x0),代入TQ的方程，得XQ由XQ0,得t11 22(1令)t 3t|,则yQ_313、294()-t 443S(t)12yQOT23,S(t)t3t 23t22(3t 2)44-(当t4时取等号)33所以 S(t)的最小值为-3(3)S(t)在上是增函数t1t2,那么 S(ti) S(t2)224訓2-)73392 2(t13)(t23ti) (tit2t14223(t132,t22,饥)S(tJ3所以该函数在4上是增函数3，2三、课堂小结：1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几 何特征转化为数量关系，再结合代数等