概率作业集完整

1、第一节 随机事件一、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件A1.在平整的桌面上随机抛骰子，观察出现的点数，设事件A表示“骰子的点数是奇数”，则样本空间 ，A。2.观察某呼叫台一个昼夜接到的呼叫次数，设事件A表示“一个昼夜接到的呼叫次数小于2次”，则样本空间 ，A。3.对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数，事件A表示“射击次数不超过3次”，则样本空间，A。二、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A，B，C都发生：（2）A，B，C都不发生：（3）A发生，B与C不发生：（4）A，B，C中至少有一个事件发生：（5）A，B，C中至少有两个事件发生：（

2、6）A，B，C中恰有一个事件发生：三、若事件，满足等式，问是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明。第二节 随机事件的概率（1）一、选择题（1）设与是两个对立事件，且，则下列正确的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）（2）设A, B为两个互不相容的随机事件，则下列正确的是（ ）。（A）与互不相容 （B）（C） （D）（3）设、是任意两事件，则（ ）。（A）（B）（C） （D）二、已知，求，。三、设A，B为随机事件，且，求。第二节 随机事件的概率（2）1.一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。2. 某寝室住有6名学生，求至少有两个同学的生

3、日恰好在同一个月的概率。3. 将一枚骰子重复掷n次，求掷出的最大点数为5点的概率。4. 从0到9这10个数字中不重复的任取4个数排成一行，求能排成一个四位奇数的概率。5. 将8名乒乓球选手分为A,B两组，每组4人，求甲、乙两位选手不在同一组的概率。6将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，求3个空格相连的概率。7. 10人中有一对夫妇，他们随意的坐在一张圆桌旁，求该对夫妇正好坐在一起的概率。8两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1和2，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。第三节 条件概率一、已知，求。二、有人来

4、访，他坐火车、汽车和飞机的概率分别为0.4，0.5，0.1，若坐火车，迟到的概率是0.1，若坐汽车，迟到的概率是0.2，若坐飞机则不会迟到，求他迟到的概率。三、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？四、某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率。第四节 独立性一、选择题：（1）设，则下列结论正确的是（ ）。（A

5、）（B）（C）事件与事件相互独立（D）事件与事件B互逆（2）设，则（ ）。（A）事件与互不相容（B）事件与互逆（C）事件与不相互独立（D）事件与相互独立二、已知，（1）若事件与互不相容，求；（2）若事件与相互独立，求。三一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为，求此射手每次射击的命中率。四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量一、填空题（1） 设随机变量X只能取0，1，2，且X取这些值的概率依次为，则 。（2）一批

6、产品共100个，其中有10个次品，以表示任意取出的2个产品中的次品数，则的分布律为 。（用一个表达式表示）(3) 某射手对一目标射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为p（0P1） ，以表示射击的次数，则的分布律为 。（用一个表达式表示）二、解答题1. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。（列表格表示）2.某楼有供水龙头5个，调查表明每一龙头被打开的概率为，求恰有3个水龙头同时被打开的概率。3.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,求该市在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？4.

7、已知在5重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4。第三节 随机变量的分布函数一、单项选择题（1）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（）。 (A) (B) (C) (D) 二、解答题1.设随机变量X的分布函数为, 试求:（1）系数A；（2）。2.设随机变量的分布律为: 0 1 2 3 （1）求的分布函数；（2）求概率。第四节 连续型随机变量一、单项选择题1. 设和分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有（）。(A)单调不减 (B) （C） (D)2. 设是随机事件，则“”是“是不可能事件”的（ ）。(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条

8、件 (D)无关条件二、填空题1. 随机变量的概率密度为，若，则 。2. 已知，则 。3.设随机变量X的概率密度为 ，记Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则= 。三、解答题1. 设随机变量的概率密度为，求（1）常数；（2）的分布函数。2.设某河流每年的最高洪水水位(m)具有概率密度，现要修能够防御百年一遇的洪水（即遇到的概率不超过0.01）的河堤，问河堤至少要修多高？3. 设在(0，5)内服从均匀分布, 求方程有实根的概率。4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度 ， 现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时

9、的概率是多少？5.将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，液体的温度X（以记）是一个随机变量，,求液体的温度X保持在的概率。（，其中表示标准正态分布的分布函数）第五节 随机变量的函数的分布1.设离散型随机变量的分布律为求的分布律。2. 设随机变量，求的概率密度函数。3. 设随机变量，求的概率密度函数。4. 设随机变量，求的概率密度函数。第一节 二维随机变量1.设随机变量的联合分布律为求（1）常数a；（2）。2. 一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件.现从中随机抽取一件，记求随机变量的联合分布律.3. 设随机变量的联合分布函数为，（1）求常数A,B,C的值；

10、（2）求的联合概率密度函数。4设随机变量的联合概率密度函数为（1）求常数；（2）求。5设随机变量的联合概率密度函数为（1）求常数；（2）求的联合分布函数；（3）。第二节 边缘分布1.完成下列表格：YX0.10.10.30.20.312设的联合分布函数为，求的边缘分布函数。3二维随机变量在以原点为圆心的单位圆上服从均匀分布，试求的联合概率密度函数和边缘概率密度函数。4.二维随机变量的概率密度为，求的边缘概率密度函数。5.设二维随机变量的联合概率密度函数为，求的边缘概率密度函数。第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性1二维随机变量的联合分布律为 0100.30.210.40.1试求在的条件下的

11、条件分布律。2.设和相互独立且有相同的分布(如右图所示)，则下列正确的是（ ）。（A） （B）（C） （D）3设和是两个相互独立的随机变量，在（0,1）内服从均匀分布，的概率密度为，（1）求的联合概率密度函数；（2）设关于的二次方程为，求此方程有实根的概率。4随机变量的联合概率密度函数为，（1）求条件概率密度；(2）说明与的独立性。5随机变量的联合概率密度函数为，（1）求条件概率密度函数；(2）求条件概率。第五节 两个随机变量的函数的分布1设的联合分布律为：X 01200.250.10.310.150.150.05求：（1）的分布律； （2）的分布律。2设随机变量的概率密度为，求的概率密度。3

12、. 设和相互独立，其概率密度分别为，求的概率密度。4. 设随机变量的概率密度为，求的概率密度。第一节 数学期望1设的分布律为：求（1）；（2）。2设的联合分布律为：已知，求常数a,b之值。3. 设的概率密度为 其中，又已知，求，的值。4. 设的分布函数为，其中，求。5.设服从在上的均匀分布，其中为轴，轴及直线所围成的区域，求。6. 国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量，它在2000,4000(单位：吨)上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元，问应组织多少货源，才能使期望收益最大。第二节 方差一、单项选择题（1）对于任意两个随机变量和

13、，若，则（ ）。(A) (B) (C) 和独立 (D) 和不独立（2）设X，且，则=（ ）。 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0（3）设相互独立且，则服从下列哪个分布（ ）。(A) (B) （C） (D) 二、填空题（1）已知，则 。（2）设，则 。（3）设，且与相互独立，则 。（4）设的概率密度为，则 。（5）设随机变量 相互独立，其中,服从参数为=3的泊松分布，记，则 = 。（6）设，且，则 。（7）设，且，则 , 。（8）设，则由切比雪夫不等式知 。三、解答题1. 在每次试验中，事件发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中，事件发生的次数在400600之

14、间的概率.2. 已知随机变量的密度函数为又已知，求。3. 设的概率密度为, 求，。第三节 协方差与相关系数一、单项选择题（1）设与的相关系数，则（ ）。 (A) 与相互独立 (B) 与不一定相关 (C) 与必不相关 (D) 与必相关（2）设与的期望和方差存在，且，则下列说法不正确的是（ ）。 (A) (B) (C) 与不相关 (D) 与独立（3）设是随机变量，则“与不相关”是“与相互独立”的（ ）。(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 （C）充要条件 (D) 无关条件二、解答题1. 已知随机变量与都服从二项分布(20，0.1)，并且与的相关系数=0.5，试求的方差及与的协方差。2.

15、设二维连续型随机变量的联合概率密度为：=，求： 常数； 及。第四节 矩 协方差矩阵 第五节 二维正态分布1.设随机变量在区间上服从均匀分布，求阶原点矩和三阶中心矩。2. 已知随机变量,且与的相关系数为.（1）求随机变量的数学期望和方差 ；（2）求随机变量与的相关系数。第一节 大数定律 第二节 中心极限定理1. 设供电网有盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在到之间的概率。2. 利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4到0.6之间的概率不小于90%。3. 一食品店有三种

16、蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元, 1.2元, 1.5元各值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，求收入至少为400元的概率。4. 由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ，为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率。第六章 样本及抽样分布一、填空题 （1）设为总体的一个样本，且服从分布，则 。（2）设为总体的一个样本，则 。（3）已知是取自的样本，则 。二、设，是来自正态总体 的样本,试求样本方差的数学期望及方差。第一节

17、点估计 第二节 估计量的评选标准一、设总体X具有分布律 ： X123其中为未知参数，已知取得了样本值 试求的矩估计值和极大似然估计值。二、设总体服从正态分布，是从此总体中抽取的一个样本试验证下面三个估计量： （1）， （2）， （3）都是的无偏估计，并指出哪一个估计量最有效。三、 设总体的概率密度为 ，是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。第三节 区间估计 第四节 正态总体参数的区间估计1.某批钢球的重量从中抽取了一个容量为的样本且测得（单位:），试在置信度下，求出的置信区间.2. 设有一组来自正态总体的样本观测值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.48

18、8，0.510，0.510，0.515，0.512， 已知，求的置信区间； 未知，求的置信区间。（设置信度为0.95）3. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：）：42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7求：抗弯强度标准差的置信度为0.90的置信区间.第六节 单侧置信区间1.从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得它们的行驶路程（）如下：41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400