对数概念和运算

1、对数概念及其运算知识点1对数1. 对数的定义如果a a 0,a1的b次幕等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作loga N b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。在对数函数log a N b中，a的取值围是a 0,且a 1，N的取值围是N 0, b的取值围是b R。【注意】根据对数的定义可知（1） 零和负数没有对数，真数为正数，即NO（2 ）在对数中必须强调底数 a 0且a 12. 常用对数（1 ）定义：以10为底的对数叫做常用对数，log10 N记做|g N 。（2 ）常用对数的性质10的整数指数幕的对数就是幕的指数，即|g10n n n是整数3. 自然对数（1 ）定义：以e 2.718

2、28 为底的对数叫做自然对数，loge N通常记为InN。（2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：InN 吐 卫丄，即InN 2.303lg N 。lg e 0.43434. 指数式与对数式的互化（1）符号loga N既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幕，求其 指数的算式。对数式loga N b的a、N、b在指数式ab N中分别是底数、指数和幕。（2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则：在logaN b中，必须N 0,这是由于在实数围，正数任何次幕都是正数， 因而ab N中的N总是正数，须强调零和负数没有对数。

3、因为a0 1，所以loga10。 因为a1a,所以log a a 1。 因为abN，所以loga N b，所以al0gaN N。【例1】下列说法错误的是（）（A）负数和零没有对数（C）以10为底的对数叫做常用对数【例2】（1）把下列指数式写成对数式（B）任何一个指数式都可以化为对数式（D）以e为底的对数叫做自然对数11 3x；64;274(2)把下列对数式写成指数式：两个正数的商的n次方的对数，等于这个正数的对数的n倍。 log392; |g 0.0013;如果a 0且a1，M0，N0，那么,（1） loga MNloga Mlog a N;（2）logaNloga Mlogb N;（3）lo

4、ga M nn lognM n R；（4）logaMnn i logaM m,nR,m 0知识点2对数的运算对数的运算性质m用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和;对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的（A）lgab lg cB lg a lg b lg c C lg a lg b lg cD lg ab lg c【例3】下列各式与lgab相等的是()c【例4】计算:1 lg 0.012;2 log4 42 3 4 ;3 log 2 3 log 2 5;354 log5 2 log5- log5 2.知识点3换底公式1. 换底公式log a NlogbN a a 0

5、,a1,b0,b1, N 0loga b2. 换底公式的推论1 log a b1logb a0,a1,b0,b12 logab logam bm a 0,a1,b03 logambnlogab a 0,a 1,b m0,m 0【例5】计算:1 log8 32;2 log 25 4 log 8 5;3 log 4 3 log8 3 log 3 2 logg 214 log 2 -251 1 log3 8 log5 9;5 g 2 log 7 9 log5-3 log 73 4【例6】(1)已知lg 2a,lg3 b,用 a,b表示 lg . 45 的值;(2)已知 log18 9 a,18b 5

6、,用 a,b表示 log 36 45 的值。反函数的概念知识点反函数1.定义对函数y f x x D，设它的值域为 A，如果对A中任意一个值 y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y f x，这样得到的x关于y的函数叫做y f x的反函数, 记作x f y，习惯上，自变量常用 x来表示，而函数用 y表示，所以把它改写为： y f x x A .2. 反函数存在的条件函数y f x存在反函数的充要条件是函数y f x是定义域到值域上的一一映射所确定的函数。注意：单调函数必有反函数。3. 反函数与原函数的关系(1)反函数和原函数互为反函数：如果函数y f x有反函数 y f 1 x，那么函数

7、y f 1 x的反函数是y fx，贝U y f x与y f1%互为反函数；(2 )反函数和原函数的定义域与值域互换函数y f x反函数y x定义域AC值域CA(3) 互为反函数的函数的图像间的关系函数y f x的图像和它的反函数 y f 1 x的图像关于直线 y x对称。函数y f x的图像与x f 1 y的图像是同一个函数图像。4. 求反函数的步骤(1)求函数y f x的值域(若值域显然，解题时常略去不写)(2)反解：由y f X写出x关于y的关系式;(3)改写：在x f 1 y中，将x , y互换得到y Lx ；(4) 标明反函数的定义域，即(1)中求出的值域。1x21x2 3(x 0)3

8、x x 0【例1】下列函数没有反函数的是: y 3 x2 5; y 3 2x 12;(A)(B)【例2】求下列函数的反函数：(1)2x1yc(X2)；x2(2)y2 x4x 15 x 2 ；(3)y、x2x x1；2 x1 0x 1(4)y21x 0x(C)(D)【例3】求函数yx2 1 x 1的反函数.对数概念及运算与反函数总结1、对数的运算法则(将高一级运算向低级运算转化)(1)lOg a MN log a M lOga N(3) log a M n n log a M2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的(2)loga - a Nloga M loga N.1(4) log a n M - log a Mnloga10log a a 1logaan nlogam an nlogamEnlogablog a b log b a 1mm4、换底公式：logablogc blg blogc alg a3、几个常用的对数结论5、常用对数与自然对数loga ba g6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数 7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发 8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得