微分方程数值解Word版

1、实验1题目：两点边值问题的差分求解目的与要求：掌握中心差分格式的程序实现掌握分析算法误差的方法实验内容：(i) 分别在步长h=1/20,1/40,1/80,1/160情形下用中心差分格式计算齐次两点边值问题-u''=f,u(0)=u(1)=0。其中f(x) = 100*exp(-10*x)，精确解为u(x) = 1 - (1-exp(-10)*x - exp(-10*x)(ii) 给出差分解近似精确解在无穷范数和离散L2范数下的误差阶。% 实验报告提交期限 2011.10.10 提示：关于（ii）必须给出类似下面的表格实验2题目：五点差分格式目的与要求：1 / 7掌握五点差分格

2、式的程序实现掌握分析算法误差的方法实验内容：(i) 分别在步长h=1/16,1/32,1/64,1/128情形下用五点差分格式计算二维椭圆问题-delta(u) = f,求解区域为0,1*0,1,边值条件为Dirichlet齐次边值条件。建议五点差分格式的求解使用Gauss-Seidel迭代法(ii) 给出系数矩阵的非零元图像，使用函数spy(A)(iii) 分析差分解近似精确解在无穷范数和L2范数下的误差阶。% 实验报告提交期限 2010.11.20提示：关于（i）要先写出2个排序函数并测试关于（iii）必须给出类似下面的表格实验3题目：最简差分格式目的与要求：掌握向前向后差分格式的程序实现

3、掌握分析算法误差的方法实验内容：(i) 分别用向前和向后差分格式计算一维抛物问题求解区域为0,1*0,T,其中T=1,精确解和右端项分别为定解条件为齐次边值条件及初值条件(ii) 在空间步长h=1/10, 1/20, 1/40，网比r固定为1/2情形下，分析差分解近似精确解在无穷范数和L2范数下关于空间步长和时间步长的误差阶。空间步长h倍数L2范数比值无穷范数比值1/100.0067473622454750.0017120655126601/2020.0023708403466132.8459791715263884.277077137977100e-0041/4020.00083692801

4、32642.8327888528510081.069079499972762e-004空间步长h时间步长t倍数L2范数比值无穷范数比值1/100.0053.373681122737710e-0040.0020734652484781/200.0012545.927100866531827e-0055.6919583430537775.147629020041095e-0044.0280005423962091/400.000312541.046160016579775e-0055.6655777057025921.284662929748076e-0044.006988059545356%实验

5、一clc;clear all;digits(32);f=inline('100*exp(-10*x)');u=inline('1-(1-exp(-10)*x-exp(-10*x)');W=20 40 80 160;iLabel='步长为1/20' '步长为1/40' '步长为1/80' '步长为1/160'%四种步长下的差值结果for l=1:4%N为该次分割区间数 n为插值节点个数N=W(l);h=1/N;n=N-1;a=-1*ones(1,n);b=2*ones(1,n);c=a;x=a;U=a

6、;for k=1:n F(k)=f(k*h)*h2; U(k)=u(k*h);end%求解插值节点的值for i=1:n-1 a(i+1)=a(i+1)/b(i); b(i+1)=b(i+1)-a(i+1)*c(i); F(i+1)=F(i+1)-a(i+1)*F(i);endx(n)=F(n)/b(n);for k=n-1:-1:1 x(k)=(F(k)-c(k)*x(k+1)/b(k);end%寻找最大误差max=abs(U(1)-x(1);for i=2:n if max<abs(U(i)-x(i); max= abs(U(i)-x(i); endendmaxL2=sqrt(U-x

7、)*(U-x)'*h)%绘制拟合曲线t=1/N:h:(1-1/N);subplot(2,2,l);plot(t,x,'r*',t,U,'g');title(iLabell);end %向后差分实验clc;clear all;format long;r=1/2;shuzu=10,20,40;for bu=1:3N=shuzu(bu)-1;h=1/(N+1);t=h2*r;M=1/t;V1=zeros(1,N+2);x=0:h:1;V=sin(pi*x);U=exp(-1)*sin(pi*x);%for k=1:M a=-r*ones(1,N-1);b=(1+2*r)*ones(1,N);f=(pi2-1)*exp(-k*t)*sin(pi*x);F=f*t+V;F=F(2:N+1);X=zeros(N,N);X=diag(b)+diag(a,1)+diag(a,-1);V1=inv(X)*F'V(2:N+1)=V1;ende=V(2:N+1)-U(2:N+1);%寻找最大误差mmax=abs(e(1);for i=1:N mmax= max(abs(e(i),mmax);endmmax;%L2误差L2=e*e'L2=sqrt(L2*h);%求误差的阶 Morder表示最大误差阶，Lorder 表示L2误差阶if