泛函分析期中复习题

1、2泛函分析期中复习题§第七章一度量空间的概念.1. 判断正误.(1) 度量空间中任意有界序列有收敛子列.()a,b上的多项式函数空间Pa,b在度量(，“)=maxtea?fc |©(上)一 "|下是。血切中的闭集.()2. 在实数 R2 ±,对无=(1,2), y = ("1,92),令 d(H,y)=(叼一列尸+ (切一如)2)匕当p为何值时,(R2,d)是度量空间.3. 若(X，d)是度量空间，证明di = min(d, 1), d2 = 也是X上的 度量.二. 可分性.1. 判断正误.(1) 连续函数空间Ca,b是可分的.()(2) a,

2、 6上的多项式函数空间Pa, b在度量d(x(f), ?/(i) = maxt日砧怡-讥t)|下可分.()2. 证明：卩(1 <p<oo)是可分空间.三. 连续性.1. 判断正误.(1) T是度量空间X到度量空间Y的连续映射，则T把开集映射为开34集.()(2) T是度量空间X到度量空间Y的连续映射，则T把闭集映射为闭 集.()U9完备性.1. 判断正误.(1) 完备度量空间的闭子空间完备.()(2) 任意度量空间可以完备化.()(3) 在实数展上定义度量d.如果从(R,d)到任意度量空间的任意函数都是连续的，则(DM)完备.()a,b上的多项式函数空间Pa, &在度量(忑

3、崩)=maxte(a?5怡- 火)|下完备.()2. 证明：有界数列集合组成的空间产是完备的.3. 记C(a,b)是闭区间a.b上连续函数全体构成的集合,在C(a,6) 上定义距离如下：必(人9)= 1/3)-93)|如WJ aC(a,b)按di是否完备？4设X盘0为线性赋范空间，试证X是Banach空间当II仅当单位 球面x E X : |rr| = 1是完备的.五.压缩映射原理.1. 填空.(1)设正数列xn对任意71 > 1满足听+1 = y/2 + Xn,则lim72Too无n =2. 在C0,6上定义算子T为£(/)(© = maxu(F(x) - y) +

4、 S /(“)： ?/ e 0, F(rr),其中ux和F(©)都是连续有界函数，0<6 <1.求证T有唯一不动 点.3. 设 |A| < 1,考虑 C0.1上的积分方程无(s) = Asinx(t)dt + t/(s)其中“ W C0,l,证明此方程存在唯一连续解.4. 考虑Ca, 6上的非线性积分方程=(s) = J： K(t、s卫(ty)dt + Q(s) 其中 0W Ca,b, K(t,sw(s)是a.b x a.b x R 的连续函数，满足|K(t,s,3i(s) K(t,s,32(s)| < fc|u；i -cj2|.证明当|A|足够小时,此方程存

5、在唯一解xo Ca,b.5. 设dij(i,j = 1,2, ,n)是一组实数，满足条件n0 鸥)2 V 1,彷=1其中如=(h "=人证明代数方程组J I 0, ijn。巧叼=九(2 = 1? 2, , ti)J=i对任何b =bjT e R都存在唯一解.6六.线性空间和范数的概念.1. 判断正误.(1)线性空间上任意两种范数相互等价.()2 填空.设M和N是线性空间X的两个子空间，且X = MN.则 MQN =3. 设Cka,b表示定义于a.b上k阶连续可微函数的全体：按通常函 数的加法与数乘，已知是线性空间.对© W Cka,b,定义iiii = E«=0m

6、axa<t<6其中表示xt求证Cka,b成为赋范空间.4设A;是非负整数，证明a.b上次数不超过k的多项式全体Pka,b 是Ca,b的闭子空间.5.对咱)e C0,l,令Iklli = (II创2 = (/ (1 十t)xi)dt.JoJo求证II- 111和II- |2是C0： 1中两个等价的范数.七.Holder不等式和Minkowski不等式.1. 判断正误.(1) 若 1 <P<q,则卩UH()(2) 设a.b是有界区间.若 1 <p<q,则 Lpa.b C La.b.()2. 设 fc(t, s) G L2(a, b x a, &),令 T

7、 : L2a, 6 T L2a, &为=L k(t, s)xs)ds.1证明阿5(化/仲)|2畑广§第八章一. 有界算子和连续算子.1. 设X, Y是线性赋范空间，T : X t Y是线性算子，则T不是连续 的，当且仅当日听 X：使得zn T 0,但Txn T oc.2. 设a(i)是a.b上的实函数，对 叹) Ca,b,令(Tx)(t) = a(i)rr(t),£ a川.证明T:Ca,b t Ca, b是有界算子等价于a(i) e Ca,b.二. 算子的范数.1.填空.设恥中有范数(：)=nmx|a|,|b|.矩阵4=(；：)作为从展2到自身的算子，其诙|/|=.

8、(2)对于每个有界序列(an),定义线性算子T : 1卩T IP为（忑1,忑2,）T （&1彷1，2©2厂）7W'J T= 空间C-l，1上的线性泛函1 x(tdt - Q x(t)dt的范数2设无穷矩阵(aij)满足ooatj < oc.J=1定义T :产I l°°为：对rr = (&) e Z°°, Tx =(讥其中/二 oooo£ (Vz > 1).证明：|T| = sup? £ aij j=i j=i3. 设 kt. s) e C(a,b x a,b)，定义 T : Ca, b T Ca,b为S)(t) =L k(t, s)x(<s)ds.证明：|T| = maxa<t<6 |/c(«,5)| dt.三. 共辄空间.1填空.(1)设c0是所有极限为0的序列组成的集合.对任意c0中元素x = &&,)，|k| = maxi |叭|则 =2.