第三章 测试装置的基本特性

1、第三章第三章 测试装置的基本特性测试装置的基本特性测试系统测试系统: 根据被测信号是静态还是动态分别表现为根据被测信号是静态还是动态分别表现为静态特性或动态特性。静态特性或动态特性。 测试系统特性分析，就是研究测试系统本身及其测试系统特性分析，就是研究测试系统本身及其作用与它的输入信号、输出信号三者之间的关系。作用与它的输入信号、输出信号三者之间的关系。第一节第一节 测试装置与线性系统测试装置与线性系统 测试的目的和要求不同，其测试系统的复杂程度测试的目的和要求不同，其测试系统的复杂程度也不同。也不同。简单的有温度计，复杂的有绪论里已介绍的简单的有温度计，复杂的有绪论里已介绍的测试系统框图。测

2、试系统框图。简单测试系统简单测试系统V光电池光电池复杂测试系统复杂测试系统( (轴承缺陷检测轴承缺陷检测) )加速度计加速度计 带通滤波器带通滤波器 包络检波器包络检波器 工程测试问题是处理工程测试问题是处理 输入量输入量 x(t )， 装置（系统）装置（系统）的特性的特性 h(t) ，和输出量，和输出量 y(t) 三者的关系。三者的关系。h(t) H(s)x(t ) X(s)y(t)Y(s)输入输入系统系统输出输出2. 输入、系统的传输特性已知，则可以推断输出量。输入、系统的传输特性已知，则可以推断输出量。3. 系统的传输特性、输出量已知，则可以推断输入量。系统的传输特性、输出量已知，则可以

3、推断输入量。输入、输出量可以测得，通过输入、输出就能推断输入、输出量可以测得，通过输入、输出就能推断系统的传输特性。系统的传输特性。 理想的测试装置应该具有单值的、确定的输入输理想的测试装置应该具有单值的、确定的输入输出关系。出关系。即对于每一个输入量对应有单一的输出量与之对应。即对于每一个输入量对应有单一的输出量与之对应。 其中以输出与输入成线性关系为最佳。其中以输出与输入成线性关系为最佳。静态测量中，测试系统的线性关系虽然是希望的，静态测量中，测试系统的线性关系虽然是希望的，但不是必须的，因为用曲线校正或输出补偿技术作静态但不是必须的，因为用曲线校正或输出补偿技术作静态非线性校正并不是困难

4、的。非线性校正并不是困难的。但动态测试中，测试系统本身应该力求是线性系统。但动态测试中，测试系统本身应该力求是线性系统。因为目前对线性系统能够作比较完善的数学处理与因为目前对线性系统能够作比较完善的数学处理与分析，而且也因为动态测试中作非线性校正目前还相当分析，而且也因为动态测试中作非线性校正目前还相当困难，即使可以做，费用也高。困难，即使可以做，费用也高。 实际测试系统不可能在整个范围内完全保持线性，实际测试系统不可能在整个范围内完全保持线性，而只能在一定的范围内和一定的条件（误差）下作线性而只能在一定的范围内和一定的条件（误差）下作线性处理。这就是该测试系统的工作范围。处理。这就是该测试系

5、统的工作范围。 测试中把测试中把研究对象研究对象和和测试装置测试装置作为一个系统来考虑。作为一个系统来考虑。 只有确知测试装置的特性，才能从测试结果中正只有确知测试装置的特性，才能从测试结果中正确评价研究对象的特性。确评价研究对象的特性。根据研究对象不同根据研究对象不同 研究对象为某一物理量时；研究对象为某一物理量时； 研究对象为测试系统时；研究对象为测试系统时；反映的是测试装置的传输特性的问题，也就是它的反映的是测试装置的传输特性的问题，也就是它的定度（标定）问题。定度（标定）问题。 实际测试装置只能在较小工作范围内和在一定误差实际测试装置只能在较小工作范围内和在一定误差允许范围内满足线性要

6、求。允许范围内满足线性要求。二、二、 当系统的输入当系统的输入 x(t) 和输出和输出 y(t) 之间的关系可用常系之间的关系可用常系数微分方程数微分方程均为常数。和其中011011,bbbbaaaannnn )()()()(01111txbdttxdbdttxdbdttxdbmmmmmm)()()()(01111tyadttydadttydadttydannnnnn来描述时，则称该系统为线性时不变系统，也称为定常来描述时，则称该系统为线性时不变系统，也称为定常线性系统。线性系统。通常通常 ，表明系统是稳定的。，表明系统是稳定的。mn 线性时不变系统主要性质：线性时不变系统主要性质：1叠加性叠

7、加性2比例特性比例特性);()(11tytx若)(tax 叠加性表明，作用于线性系统的各个输入所产生的叠加性表明，作用于线性系统的各个输入所产生的输出是互相不影响的。输出是互相不影响的。 在分析复杂输入时，可以先分析单个输入作用时的在分析复杂输入时，可以先分析单个输入作用时的输出，然后将所有输出叠加即为总输出。输出，然后将所有输出叠加即为总输出。)()(22tytx)()(21txtx则)()(21tyty对于任意常数对于任意常数 ，必有，必有 a)(tay)()(tytx若3微分特性微分特性ttyttxd)(dd)(d则 系统对输入导数的响应等于原输入响应的导数，系统对输入导数的响应等于原输

8、入响应的导数，即即4积分特性积分特性dttydttxtt00)()( 系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响应等同于对输入响应的积分，即应等同于对输入响应的积分，即);()(tytx若)()(tytx若5 5频率保持特性频率保持特性 若输入为某一频率的简谐信号，则其稳态输出是若输入为某一频率的简谐信号，则其稳态输出是同一频率的简谐信号。同一频率的简谐信号。)()(tytx若)sin()(XiiitXtx则)sin()(YiiitYty也就是说信号经过测试装置后，幅值和相位可能也就是说信号经过测试装置后，幅值和相位可能发生变化，但频率不会发生变化。发

9、生变化，但频率不会发生变化。判断一个系统是否线性系统，只要判断该系统是判断一个系统是否线性系统，只要判断该系统是否满足叠加性和比例性。若满足就是线性系统。否满足叠加性和比例性。若满足就是线性系统。在测试工作中线性系统的主要特性，特别是符合叠在测试工作中线性系统的主要特性，特别是符合叠加原理和频率保持性具有重要的作用。加原理和频率保持性具有重要的作用。 例如，知道了线性时不变系统的输入激励频率，可例如，知道了线性时不变系统的输入激励频率，可以判断所得的响应信号中只有与输入激励同频的分量才以判断所得的响应信号中只有与输入激励同频的分量才是输入所引起的，而其他成分都是噪声。是输入所引起的，而其他成分

10、都是噪声。 所以，即使很强的噪声背景下，以据频率保持特性，所以，即使很强的噪声背景下，以据频率保持特性，采用滤波技术，也可以把有用的信息提取。采用滤波技术，也可以把有用的信息提取。 非线性系统是指不具有线性系统的上述性质或者不非线性系统是指不具有线性系统的上述性质或者不能以线性微分方程描述的系统。能以线性微分方程描述的系统。 如下系统均为非线性系统如下系统均为非线性系统);()(d)(d2txtytty)(23d)(d)(d)(d22txttytytty由于非线性系统不具有线性性质，对它的分析和求由于非线性系统不具有线性性质，对它的分析和求解就十分困难。但许多情况下，该系统可以在一定范围解就十

11、分困难。但许多情况下，该系统可以在一定范围内近似为线性系统。这样就使得对线性系统的研究变得内近似为线性系统。这样就使得对线性系统的研究变得更为重要。更为重要。第二节第二节 测试装置的静态特性测试装置的静态特性 测试系统的静态特性是指被测信号为常量（或变测试系统的静态特性是指被测信号为常量（或变化极慢信号）时，测试装置的输出与输入之间的关系。化极慢信号）时，测试装置的输出与输入之间的关系。 描述测试装置输入输出之间的关系曲线称为定度描述测试装置输入输出之间的关系曲线称为定度曲线，它必须通过实验方法得到。曲线，它必须通过实验方法得到。理想情况下，线性微分方程式理想情况下，线性微分方程式)()()(

12、)(01111tyadttydadttydadttydannnnnn)()()()(01111txbdttxdbdttxdbdttxdbmmmmmm 即即斜率斜率 S 为常数，其输出将是输入的为常数，其输出将是输入的单调单调、线性线性比例比例函数。函数。Sxxaby00nnxSxSxSSy 2210输出量；y输入量；x零点输出；0S理论灵敏度；1S非线性项系数。 nSSS,32式中式中 但实际情况下但实际情况下 ，因此，因此线性微分方程式为线性微分方程式为011niimliba中中 ，其方程变为如下，其方程变为如下011nimlba 所以定度曲线不是直线，常采用拟合直线来确定其所以定度曲线不是

13、直线，常采用拟合直线来确定其线性关系。用实验的方法，确定出定度曲线，由定度曲线性关系。用实验的方法，确定出定度曲线，由定度曲线的特征指标，就可以描述测量系统的静态特性。线的特征指标，就可以描述测量系统的静态特性。 静态特性主要有线性度、灵敏度和回程误差三项。静态特性主要有线性度、灵敏度和回程误差三项。一、线性度一、线性度是定度曲线与理想曲线的接近程度。是定度曲线与理想曲线的接近程度。 线性度以定度曲线和拟合直线线性度以定度曲线和拟合直线的最大偏差的最大偏差 B（输出量单位计算）（输出量单位计算）同标称范围同标称范围A（如图（如图3-1所示）的百所示）的百分比表示。即分比表示。即图图3-1%10

14、0AB非线性度 设计测试系统时，为了达到线性要求，可以把装设计测试系统时，为了达到线性要求，可以把装置定度曲线中较为理想的直线段取为标称输出范围置定度曲线中较为理想的直线段取为标称输出范围（即工作范围）。（即工作范围）。 根据测试精度的要求，可以对定度曲线的非线性根据测试精度的要求，可以对定度曲线的非线性进行线性补偿（电路、软件），以扩大系统的标称输进行线性补偿（电路、软件），以扩大系统的标称输出范围。出范围。 当测试系统的当测试系统的 x ( t )、y ( t ) 为非线性关系时，在输为非线性关系时，在输入量范围很小的情况下，可以认为入量范围很小的情况下，可以认为 x ( t )、y (

15、t ) 满足线满足线性要求。性要求。拟合直线的确定方法拟合直线的确定方法 最小二乘法最小二乘法令拟合直线方程为令拟合直线方程为KXaY0 实际校准曲线上取实际校准曲线上取 n 个点，个点，在在 n 个校准数据中任一个校准数据个校准数据中任一个校准数据 Yi 与拟合直线上与拟合直线上对应的理想线对应的理想线 间差为间差为 。)(0iiiKXaYiKXa 00)( )(202iiiiXaKXYK 最小二乘法拟合直线的拟合原则是使最小二乘法拟合直线的拟合原则是使 为最小。为最小。即；即； nii120) 1( )(2020aKXYaiii联立求解得联立求解得niniiinininiiiiiXXnYX

16、YXnK1212111)(niniiininiiiininiiiXXnYXXYXa1212111120)(非线性度非线性度%100)(04maxyy把把 和和 K 代入式代入式 ，可得直线方程。，可得直线方程。KXaY00a 端基法端基法0y1yy1xxxxyyyy1010非线性度非线性度%100)(01maxyy 端基直线是一条通过测量范围上下限点的直线，端基直线是一条通过测量范围上下限点的直线，其方程式为其方程式为 实际测量中，灵敏度为拟合直线的斜率。实际测量中，灵敏度为拟合直线的斜率。 即即二、灵敏度二、灵敏度)()(0101xxyyS00abxyS理想的定常线性系统中，灵敏度为理想的定

17、常线性系统中，灵敏度为 在稳态情况下，系统的输出信号变化量在稳态情况下，系统的输出信号变化量y和输入和输入信号变化量信号变化量 x之比称为灵敏度。之比称为灵敏度。 定义为定义为 xyS 例如，有一个传感器，每给以例如，有一个传感器，每给以1mm的位移量（输的位移量（输入信号的变化量），能得到入信号的变化量），能得到0.2mV的输出，则灵敏度为的输出，则灵敏度为mmmVS2 . 0 灵敏度的量纲取决于输入输出量的单位。当输入灵敏度的量纲取决于输入输出量的单位。当输入输出信号的量纲相同时，常用输出信号的量纲相同时，常用“放大倍数放大倍数”或或“增益增益”代替灵敏度。代替灵敏度。 灵敏度为常数是线性

18、系统的特征之一。灵敏度为常数是线性系统的特征之一。 描述测量装置对被测量变化的反应能力也常用描述测量装置对被测量变化的反应能力也常用“鉴别力阀鉴别力阀”或或“分辨力分辨力”表示。表示。鉴别力阀：鉴别力阀： 引起测量装置输出值产生一个可察觉变化引起测量装置输出值产生一个可察觉变化的最小被测量变化值。的最小被测量变化值。 用来描述装置对输入微小变化的响应能力。用来描述装置对输入微小变化的响应能力。分辨力：输出装置有效地辨别紧密相邻量值的能力。分辨力：输出装置有效地辨别紧密相邻量值的能力。 一般规定数字装置的分辨力是最后一位变化一个一般规定数字装置的分辨力是最后一位变化一个字的大小，模拟装置为指示标

19、尺分度值的一半。字的大小，模拟装置为指示标尺分度值的一半。三、回程误差三、回程误差 测试装置在输入量由小到大和由大到小变化时，对于测试装置在输入量由小到大和由大到小变化时，对于同一个输入所得输出量不一致的程度。如图所示。同一个输入所得输出量不一致的程度。如图所示。20y10y1y1x 回程误差（滞后）是描述测试装置的输出与输入回程误差（滞后）是描述测试装置的输出与输入变化方向有关的特性。变化方向有关的特性。 回程误差在数字上用同一输入回程误差在数字上用同一输入量下所得滞后偏差的最大值与测量量下所得滞后偏差的最大值与测量系统满量程输出值比值得百分比数系统满量程输出值比值得百分比数表示。即表示。即

20、%100)( %100)(1020maxAyyAh回程误差xoyA四、其他表征测试系统的指标四、其他表征测试系统的指标1. 精确度精确度正确度（反映系统误差大小）正确度（反映系统误差大小）精精度度精确度（综合影响大小）精确度（综合影响大小）精密度（反映随机误差大小）精密度（反映随机误差大小） 表示测量装置的测量结果与被测量真值的接近程度，表示测量装置的测量结果与被测量真值的接近程度，反应测量的总误差。作为技术指标，常用相对误差和引反应测量的总误差。作为技术指标，常用相对误差和引用误差来表示。用误差来表示。正确度高正确度高精密度高精密度高精确度高精确度高2. 漂移漂移漂移是指测量装置的测量特性随

21、时间的缓慢变化。漂移是指测量装置的测量特性随时间的缓慢变化。点漂：点漂： 在规定条件下，对恒定的输入在规定时间内的在规定条件下，对恒定的输入在规定时间内的输出变化。输出变化。零漂：零漂： 标称范围最低值处的点漂。标称范围最低值处的点漂。3. 信噪比信噪比SNR=20lgVsVn（dB） 或或 Vs- 信号电压信号电压 Vn- 噪声电压噪声电压式中式中NsNnSNR=10lg（dB）Ns-信号功率信号功率 Nn-噪声功率噪声功率式中式中 信号功率与干扰（噪声）功率之比，或信号电压信号功率与干扰（噪声）功率之比，或信号电压与噪声电压之比，单位是分贝。记为与噪声电压之比，单位是分贝。记为SNR5.

22、动态范围动态范围ymaxyminDR = 20lg(dB) 装置不受各种噪声影响而能获得不失真输出的测装置不受各种噪声影响而能获得不失真输出的测量上限值量上限值 ymax 和下值和下值 ymin 之比。常用分贝来表示。即之比。常用分贝来表示。即4. 测量范围测量范围 指测试系统能够进行正常测试的工作量值范围。若指测试系统能够进行正常测试的工作量值范围。若动态测试系统，必须标明其在允许误差内正常工作的频动态测试系统，必须标明其在允许误差内正常工作的频率范围。率范围。 信噪比是测试系统的重要特性参数。优化测试装置信噪比是测试系统的重要特性参数。优化测试装置本身特性，重要的一点就是必须注意提高系统的

23、信噪比。本身特性，重要的一点就是必须注意提高系统的信噪比。上述所述的各项描述测试系统静态特性参数，都是上述所述的各项描述测试系统静态特性参数，都是以理想的传输特性以理想的传输特性Sxxaby00为参考基准的性能指标，即对为参考基准的性能指标，即对 是否为常值来考虑。是否为常值来考虑。00abS 而而 b0、a0 这两个系数是分析静态系统所必需的，两这两个系数是分析静态系统所必需的，两者从根本上讲是由测试装置机械或电气结构参数决定的。者从根本上讲是由测试装置机械或电气结构参数决定的。 对于那些用于静态测量的装置，一般只需利用静态对于那些用于静态测量的装置，一般只需利用静态特性指标来描述装置的特性

24、，而动态测试过程中，不仅特性指标来描述装置的特性，而动态测试过程中，不仅需要用静态特征指标，而且必须采用动态特性指标来描需要用静态特征指标，而且必须采用动态特性指标来描述测量装置的测量性能。述测量装置的测量性能。 所以所以b0、a0连同其它参数必将参加到描述装置动态连同其它参数必将参加到描述装置动态特性的微分方程（特性的微分方程（3-1）中而影响动态特性。）中而影响动态特性。 所以良好的静态特性是实现不失真动态测试的前提。所以良好的静态特性是实现不失真动态测试的前提。 图图3-3就表明测试装置非线性度的存在对动态测试的就表明测试装置非线性度的存在对动态测试的影响。影响。第三节第三节 测试系统的

25、动态特性测试系统的动态特性当输入量随时间变化时，测试系统所表现的响应特当输入量随时间变化时，测试系统所表现的响应特性称为测试系统的动态特性。性称为测试系统的动态特性。测试系统的动态特性好坏主要取决于测试系统本身测试系统的动态特性好坏主要取决于测试系统本身的结构，而且与输入信号有关。的结构，而且与输入信号有关。描述测试系统的的特性实质上就是建立输入信号、描述测试系统的的特性实质上就是建立输入信号、输出信号和测试装置结构参数三者之间的关系。输出信号和测试装置结构参数三者之间的关系。即把测试系统这个物理系统抽象成数学模型，而不即把测试系统这个物理系统抽象成数学模型，而不管其输入量的物理特性（及不管是

26、机械量、电量或热学管其输入量的物理特性（及不管是机械量、电量或热学量等），分析输入信号与响应信号之间关系。量等），分析输入信号与响应信号之间关系。一、一、 测试装置动态特性的描述方法测试装置动态特性的描述方法当测试系统被视为线性时不变系统时，可用常系当测试系统被视为线性时不变系统时，可用常系数线性微分方程来描述。数线性微分方程来描述。1. 时域微分方程时域微分方程)()()(01txbdttxdbdttxdbmmm)()()(01tyadttydadttydannn均为常数。和其中011011,bbbbaaaannnn 若已知系统输入，通过求解微分方程，就可求得若已知系统输入，通过求解微分方程

27、，就可求得系统的响应，根据输入、输出之间的传输关系就可确系统的响应，根据输入、输出之间的传输关系就可确定系统的动态特性。但微分方程在实际使用中，有许定系统的动态特性。但微分方程在实际使用中，有许多不便。多不便。 因此通过拉普拉斯变换建立其相应的因此通过拉普拉斯变换建立其相应的“传递函数传递函数”，通过傅里叶变换建立相应的通过傅里叶变换建立相应的“频率响应函数频率响应函数”，以便更，以便更简便地描述系统或装置的动态特性。简便地描述系统或装置的动态特性。2. 传递函数传递函数 拉普拉斯变换，简称为拉氏变换。可以从傅立叶变拉普拉斯变换，简称为拉氏变换。可以从傅立叶变换出发，定义拉氏变换。换出发，定义

28、拉氏变换。 当函数当函数 f ( t ) 满足狄里赫利条件时，可得到傅立叶满足狄里赫利条件时，可得到傅立叶变换对：变换对：dtetfFtj)(21)(deFtftj)()(对于正变换，函数对于正变换，函数 f ( t ) 实用中为因果信号，即实用中为因果信号，即 t = 0时，时，f ( t ) 0，则傅立叶正变换表示为：，则傅立叶正变换表示为： dtetfFtj0)(21)( 狄里赫利条件要求函数狄里赫利条件要求函数 f ( t ) 绝对可积，为使更多绝对可积，为使更多的函数存在变换，引入一个衰减因子的函数存在变换，引入一个衰减因子 (为任意实为任意实数）与数）与 f ( t )相乘，使相乘

29、，使 收敛，绝对可积的条件收敛，绝对可积的条件相对容易满足。相对容易满足。te)(tfet则的傅立叶变换为（则的傅立叶变换为（ ）)()(1tfetft令tetfteetfFtttd)(d)()()j(0j01引入引入jsdtetfsFst0)()( 拉氏正变换拉氏正变换 tetfsFstd)()(01再由傅立叶反变换表示式有：再由傅立叶反变换表示式有：jj1( )( )e d2 jstf tF ss 拉氏变换在一般微积分方程中拉氏变换在一般微积分方程中)()(sYsdttydnnn)()(sYty)()(sXtxnnssYdtty)()()()(sXsdttxdnnnnnssXdttx)()

30、()()()(01txbdttxdbdttxdbmmm)()()(01tyadttydadttydannn01asasann01bsbsbmm上面的时域微分方程式两边取拉氏变换可上面的时域微分方程式两边取拉氏变换可设；设；X (s) 和和Y (s)分别为输入分别为输入 x(t) 、输出、输出 y(t) 的拉普拉的拉普拉斯变换。对斯变换。对时域微分方程氏时域微分方程氏取拉普拉斯变换得取拉普拉斯变换得)()()()(sGsXsHsYh01110111)(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm为初始条件，其中)(sGhjss为复变量式中式中 为传递函数，它只反映系统特性。为传递函数，它只反

31、映系统特性。)(sH 用代数方程表达装置动态特性比用微分方程式，描用代数方程表达装置动态特性比用微分方程式，描述简单、便于分析和计算。特别是不便于写出微分方程述简单、便于分析和计算。特别是不便于写出微分方程的装置。的装置。若初始条件全为零，则因若初始条件全为零，则因0)(sGh便有便有)()()(sXsYsH注意：注意：应用上式时，前提条件是系统初始条件均为零。应用上式时，前提条件是系统初始条件均为零。;)()()(01220122asasabsbsbsXsYsH;)()()(0101asabsbsXsYsH一阶系统的传递函数一阶系统的传递函数二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数高阶系统的传递

32、函数高阶系统的传递函数;)()()(01110111asasasabsbsbsbsXsYsHnnnnmmmm传递函数的特点：传递函数的特点： H ( s )与输入信号与输入信号x( t )及初始条件无关，只反映系统的及初始条件无关，只反映系统的传输特性。传输特性。H( s )所描述的系统对任一具体输入所描述的系统对任一具体输入 x( t ) 都都确定地给出相应的确定地给出相应的 y ( t )。 H ( s )把物理系统的微分方程变换而求得的，它只反映把物理系统的微分方程变换而求得的，它只反映系统的响应特性而和具体的物理结构无关。系统的响应特性而和具体的物理结构无关。 传递函数的描述了系统对输

33、入信号的传输、转换特性。传递函数的描述了系统对输入信号的传输、转换特性。系数系数 ana0 和和bmb0 反映输入、输出量纲的变换关系。反映输入、输出量纲的变换关系。 H ( s )中分母中分母X(s)取决于系统的结构，分子取决于系统的结构，分子Y(s)则表示系则表示系统同外界之间的联系。系统稳定条件：统同外界之间的联系。系统稳定条件：nm （n、m分分别为别为H(s)的分母和子中最高幂次，代表系统微分方程的的分母和子中最高幂次，代表系统微分方程的级数）。级数）。例：（例：（a）阻容电路：）阻容电路：)(11)(RCssH（b）弹性阻尼系统：）弹性阻尼系统：)(11)(KCssHxuyuRCx

34、yyuudtduRCkk)(ty)(tx)(力)(位移)()()(txdttdyCtyk传递函数传递函数: 直观的反映了测试系统对不同频率成分输入信号直观的反映了测试系统对不同频率成分输入信号的扭曲情况。的扭曲情况。A3. 频率响应函数频率响应函数 H () 传递函数是在复数域描述系统的特性，比时间域描述传递函数是在复数域描述系统的特性，比时间域描述有很多优点。但实际工程中许多系统很难建立其微分方程有很多优点。但实际工程中许多系统很难建立其微分方程和传递函数。和传递函数。 频率响应函数在频率域中描述系统的特性，在实验中频率响应函数在频率域中描述系统的特性，在实验中比较容易建立。比较容易建立。

35、利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。因此频率响应函数是实验研究的重要工具。因此频率响应函数是实验研究的重要工具。 )sin()(0tYtytXtxsin)(0定常数线性系统定常数线性系统输输 入入输输 出出根据定常线性系统的频率保持性根据定常线性系统的频率保持性 相频特性：相频特性： 幅频特性：幅频特性：输入和输出幅值比输入和输出幅值比 ，随频率，随频率 而变化。而变化。00)(XYA输入和输出的相位差为输入和输出的相位差为 也是也是 的函数。的函数。)( 由于复杂信号可以分解成正弦信号的叠加，所以由于复杂信号可以分解成正弦信号的叠加，所

36、以当输入为复杂信号时，系统的频率特性也是适应的。当输入为复杂信号时，系统的频率特性也是适应的。现将现将 、 构成一个复数构成一个复数 ，即，即)(A)()(H)()()(jeAH 显然，显然， 表示了系统的频率特性，称表示了系统的频率特性，称 为频率响应函数。为频率响应函数。)(H)(H频响函数的求法：频响函数的求法： 在系统的传递函数已知时；在系统的传递函数已知时；01110111)()()()()()()(ajajajabjbjbjbHnnnnmmmm01110111)()()()()()()(asasasabsbsbsbsHnnnnmmmm例：求阻容电路的频率响应函数。例：求阻容电路的频

37、率响应函数。xuyuRCxyyuudtduRC电路的微分方程为电路的微分方程为)(11)(RCssH传递函数为传递函数为将将 代入传递函数可得（令代入传递函数可得（令 ）js0把把 s=j 代入上式，得到频响函数为代入上式，得到频响函数为11)(jH2211j2222111j 在系统中初始条件均为零，输入和输出分别为在系统中初始条件均为零，输入和输出分别为 、 时，利用输入和输出的傅立叶变换求得。时，利用输入和输出的傅立叶变换求得。)(tx)(ty)()()(XYHdtetxXtj)(21)(dtetyYtj)(21)(频率响应函数为频率响应函数为（一）（一） 实验中用不同频率的简谐信号去激励

38、被测对象，实验中用不同频率的简谐信号去激励被测对象，同时测出激励和系统的稳态输出和相位差。同时测出激励和系统的稳态输出和相位差。对于某一个频率，有对应的一个幅值和一对于某一个频率，有对应的一个幅值和一个相位差。全部的个相位差。全部的 和和 ，i =1，2，便可以表达系统的频率响应函数。便可以表达系统的频率响应函数。iiiiA（二）（二） 同时测出输入同时测出输入 和系统的稳态输出和系统的稳态输出 ，由傅，由傅里叶变换里叶变换 和和 求得频率响应函数。求得频率响应函数。)(X)(ty)(tx)(Y)()()(XYH 实验法实验法 频率响应函数是描述系统的简谐输入和其稳态输出频率响应函数是描述系统

39、的简谐输入和其稳态输出关系。因此在测量系统的频率响应函数时，应当在系统关系。因此在测量系统的频率响应函数时，应当在系统的相应达到稳态阶段时才测量。的相应达到稳态阶段时才测量。将频率响应函数将频率响应函数 的虚部和实部分开，则记作的虚部和实部分开，则记作)(H)()()(jQPH)()(arctan)(PQ)()()(22QPA在工程中，常用特性曲线来描述系统的传输特性，在工程中，常用特性曲线来描述系统的传输特性，将将 和和 分别作图，即为系统的幅频特分别作图，即为系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。性曲线和相频特性曲线。)(P)(Q幅频谱特性为幅频谱特性为相频谱特性为相频谱特性为式中；式中； 、

40、 是是 的实函数。的实函数。)(P)(Q实际作图时，为了方便常常采用如下作图方法。实际作图时，为了方便常常采用如下作图方法。)(A)(1） 的虚部的虚部 和实部和实部 分别作纵、横坐标画分别作纵、横坐标画出的曲线出的曲线 ，并在曲线的某些点上分别注，并在曲线的某些点上分别注明相应的频率，所得曲线叫奈奎斯特图。明相应的频率，所得曲线叫奈奎斯特图。)()(PQ)(H)(Q)(P 图中自原点画出的矢量向径，其长度和与横图中自原点画出的矢量向径，其长度和与横轴的夹角分别是该频率轴的夹角分别是该频率 点的点的 和和 。)(A)(2）将自变量）将自变量 或或 f 的坐标取对数，幅值比取分贝数，的坐标取对数

41、，幅值比取分贝数，相角取实数作图，分别称为对数幅频特性特性曲线相角取实数作图，分别称为对数幅频特性特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德（和对数相频特性曲线，总称为伯德（Bode）图。）图。3 3） 的虚部的虚部 和实部和实部 分别作纵、横坐标分别作纵、横坐标画出的画出的 和和 曲线，可得到系统的虚曲线，可得到系统的虚频特性曲线和实频特性曲线。频特性曲线和实频特性曲线。)(Q)(H)(Q)(P)(P4. 脉冲响应函数脉冲响应函数)()(ttx即若输入为单位脉冲若输入为单位脉冲,)()()()(11thsHLsYLty其时域描述通过对其时域描述通过对 的拉普拉斯反变换得到的拉普拉斯反变换得到)(

42、sH1)()(tLsX则)1)()(00edtetsXst系统的传递函数为系统的传递函数为 ，系统的初始条件为零，则，系统的初始条件为零，则)(sH)(sY相应的输出为相应的输出为)()(sXsH)(sH h ( t ) 称为系统的脉冲响应函数或权函数，可作为称为系统的脉冲响应函数或权函数，可作为系统特性的时域描述。系统特性的时域描述。系统特性的描述：系统特性的描述：时域：时域：频域：频域：复数域：复数域：傅立叶傅立叶 变换对变换对拉氏拉氏变换对变换对传递函数传递函数H(s)频率响应函数频率响应函数H()脉冲响应函数脉冲响应函数h(t)它们之间关系为；它们之间关系为；根据拉氏变换的性质，根据拉

43、氏变换的性质，h(t)、x(t)、y(t)三者之间的关系为三者之间的关系为)()()(txthty 上述的传递函数脉冲响应函数和频率响应函数关系上述的传递函数脉冲响应函数和频率响应函数关系为如下：为如下：H()h(t)H(s)二、测试系统的动态特性二、测试系统的动态特性 测试系统的阶数越高，即描述其特性的微分方程阶测试系统的阶数越高，即描述其特性的微分方程阶次越高，系统地传输特性越复杂，其输出输入之间的关次越高，系统地传输特性越复杂，其输出输入之间的关系越南描述。系越南描述。首先分析简单系统的动态特性。首先分析简单系统的动态特性。1. 一阶系统的动态特性一阶系统的动态特性xuyuRCkc)(t

44、y)(tx)(力)(位移 左图所示的电学、力学、热学左图所示的电学、力学、热学系统是典型的一阶测量系统。系统是典型的一阶测量系统。例：例：RC积分电路积分电路 RC 积分电路的输入和输出积分电路的输入和输出用一阶微分方程表示为用一阶微分方程表示为)()()(txtydttdyRC式中式中:改写成上式改写成上式)()()()(RCtxtydttdy一阶系统的一阶微分形式为一阶系统的一阶微分形式为)()()(001txbtyadttdya可改写为可改写为)()()(0txStydttdy时间常数；时间常数；000abS S0 是常数，在研究系统动态特性时，为分析方便是常数，在研究系统动态特性时，为

45、分析方便起见可令起见可令S0=1。01aa时间常数；时间常数；)()()(txtydttdy因此，一阶系统的微分方程简化为因此，一阶系统的微分方程简化为11)(ssH两边取拉氏变换（零初始条件下）得；两边取拉氏变换（零初始条件下）得；)()()(sXsYssY传递函数为传递函数为令令 ，可得一阶系统的频率响应函数，可得一阶系统的频率响应函数js 11)(jjH22)(1)(11j2)(11)(A幅频特性为幅频特性为相频特性为相频特性为)arctan()( 液柱式温度计中设液柱式温度计中设Ti（t）为被测环境温度，）为被测环境温度， T0（t）为温度计的指示温度，为温度计的指示温度，C 表示温度

46、计温包的热容量，表示温度计温包的热容量，R 表示温度从热源传给温包的液体之间传导介质的热阻。表示温度从热源传给温包的液体之间传导介质的热阻。根据热力平衡方程可得根据热力平衡方程可得ttTCRtTtTid)(d)()(即即)()(d)(dtTtTttTRCi设设;RC);()(tTtxi)()(tTty则上式变为则上式变为)()()(txtydttdy11)(ssH两边取拉氏变换（零初始条件下）得；两边取拉氏变换（零初始条件下）得；)()()(sXsYssY传递函数为传递函数为令令 ，可得一阶系统的频率响应函数，可得一阶系统的频率响应函数js 11)(jjH22)(1)(11j2)(11)(A幅

47、频特性为幅频特性为相频特性为相频特性为)arctan()(3-6 一阶系统的幅频和相频特性曲线一阶系统的幅频和相频特性曲线a）幅频特性曲线）幅频特性曲线b）相频特性曲线）相频特性曲线3-7 一阶系统的伯德图一阶系统的伯德图一阶系统特点：一阶系统特点：1） 当激励频率当激励频率=0时，时，A（0）=1；当；当=1/时，时， A（1/）=1/2，20lg（ 1/2 ）=-3dB，该处的频率称，该处的频率称为为“转折频率转折频率”。 该处该处A（1/）=0.707（-3dB），），（1/）=-45o。这两点常常成为伯德图上判断一阶系统的特征。这两点常常成为伯德图上判断一阶系统的特征。 因此因此决定了

48、系统的决定了系统的动态特性，当动态特性，当越小，转越小，转折频率越大，测试信号折频率越大，测试信号的动态范围就越宽。反的动态范围就越宽。反之越小。之越小。2） 当当 时，即时，即 时，时， ，与之相应的微分方程为与之相应的微分方程为 / ) 32( 1jH1)(dttxtyt0)(1)( 输出与输入的积分成正比，系统相当于一个积分输出与输入的积分成正比，系统相当于一个积分器。其中器。其中 几乎与激励频率成反比，相位滞后几乎与激励频率成反比，相位滞后9090o o。)(A 一阶测量装置适用于测量缓变或低频率的被测量。一阶测量装置适用于测量缓变或低频率的被测量。 1/1/是系统工作频率的上限。是系

49、统工作频率的上限。3）一阶系统的伯德图可以用一条折线来描述。）一阶系统的伯德图可以用一条折线来描述。 在在 段为段为 。 11)(A在在 段为段为 倍频斜率的直线。倍频斜率的直线。 110/20dB 点称为转折频率，其误差最大（点称为转折频率，其误差最大（-3dB）。）。1系统对具体输入信号的响应系统对具体输入信号的响应 （1）一阶系统的单位脉冲响应）一阶系统的单位脉冲响应1)()()()(ssXsXsHsY当当 ，其拉氏变换为，其拉氏变换为)()(ttx1)()(stL所以所以11)(ssY进行拉氏变换，得进行拉氏变换，得tety1)(左图表示一阶系统的单位脉冲响应。左图表示一阶系统的单位脉

50、冲响应。 输入输入 后，系统的输出从突变值后，系统的输出从突变值 迅速衰减。迅速衰减。)(t1越小，系统的输出越接近于越小，系统的输出越接近于 。)(t4衰减的快慢与衰减的快慢与 大小有关。大小有关。经过经过 时间后衰减为零。时间后衰减为零。（2）一阶系统的单位阶跃响应）一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入信号的函数表达式为单位阶跃输入信号的函数表达式为0100)()(tttUtxssUsX1)()(上式取拉氏变换上式取拉氏变换代入一阶系统的传递函数式，得代入一阶系统的传递函数式，得) 1(1)()()(sssXsHsYtesYLty1)()(1拉氏反变换得拉氏反变换得一阶系统的单位阶跃响应一阶

51、系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 响应特性只有延迟没有振荡，时响应特性只有延迟没有振荡，时间常数间常数越小，响应越快。越小，响应越快。一阶系统一阶系统单位阶跃响应单位阶跃响应特点；特点； 不存在稳态误差。当不存在稳态误差。当 时时, , t)(1)(txty 一阶装置的稳态输出时间为一阶装置的稳态输出时间为 。5t通过实验，同样可测得系统对其它信号的响应。一通过实验，同样可测得系统对其它信号的响应。一般系统的输出信号与输入信号存在常值稳态误差。因此般系统的输出信号与输入信号存在常值稳态误差。因此在输出上这一稳定误差作修正值，才能得到正确的响应。在输出上这一稳定误差

52、作修正值，才能得到正确的响应。值得注意的是，同样的系统对阶跃信号、脉冲信号值得注意的是，同样的系统对阶跃信号、脉冲信号等的响应不存在稳态误差。所以稳态误差的存在与否，等的响应不存在稳态误差。所以稳态误差的存在与否，不仅取决于系统，也取决于信号。不仅取决于系统，也取决于信号。2二阶系统的动态特性二阶系统的动态特性下图所示为典型的二阶系统。下图所示为典型的二阶系统。其微分方程分别为其微分方程分别为下面以动圈电表为例，讨论二阶系统的基本特性。下面以动圈电表为例，讨论二阶系统的基本特性。)(22tudtduRCdtudLuyyyx)()(22txtkydtdycdtydm)()(22txktGydtd

53、ycdtydJi)()(22txktGydtdycdtydJi式中：式中：)(tx输入动圈的电流信号；输入动圈的电流信号；)(ty动圈的角位移输出信号；动圈的角位移输出信号；J 动转部分的转动惯量；动转部分的转动惯量；G 游丝的扭转刚度；游丝的扭转刚度；动圈电表的微分方程为动圈电表的微分方程为c 阻尼系数，包括空气、电磁、油阻尼；阻尼系数，包括空气、电磁、油阻尼；Ki 动圈转矩系数。动圈转矩系数。与动圈绕组的有效面积、匝数、磁感应强度有关。与动圈绕组的有效面积、匝数、磁感应强度有关。令令JGn。系统的灵敏度系数 )(；系统的固有频率 )(GJc；（阻尼比 )GkSi)()()(2)(2222t

54、xStydttdydttydnnn代入动圈电表的微分方程，可得代入动圈电表的微分方程，可得进行拉氏变换，得进行拉氏变换，得)()()(2)(222sXsYssYssYnnn式中：式中：S 为静态灵敏度是常数。令为静态灵敏度是常数。令 S=1 。系统的传递函数为系统的传递函数为)(sH)()(sXsY2222nnnss相应的频率响应函数为相应的频率响应函数为222)(2)()(nnnjjH)(2)(1 12nnj相应的幅频特性和相频特性分别为相应的幅频特性和相频特性分别为2222)(4)(1 1)(nnA2)(1)(2arctan)(nn相应的幅频特性和相频特性图为相应的幅频特性和相频特性图为相

55、应的伯德图和奈魁斯特图为相应的伯德图和奈魁斯特图为二阶系统的频率特性受二阶系统的频率特性受n和和的共同影响。的共同影响。1. 当系统的阻尼很大（当系统的阻尼很大（ 1）时，二阶系统近似为一阶）时，二阶系统近似为一阶系统的频率特性。系统的频率特性。2. 当当很小（很小（ 03。iiniiiiqp和、 3. 负载效应负载效应 前面曾假定，如果相联环节之间没有能量交换，那么在环前面曾假定，如果相联环节之间没有能量交换，那么在环节相联后各环节仍保持原有的传递函数，从而导出了环节串、节相联后各环节仍保持原有的传递函数，从而导出了环节串、并联后所形成的系统的传递函数表达式。并联后所形成的系统的传递函数表达

56、式。 而在实际上这种情况很少见。一般情况下，环节相联接，而在实际上这种情况很少见。一般情况下，环节相联接，后环节后环节总是成为总是成为前环节前环节的负载，环节间总是存在能量交换和的负载，环节间总是存在能量交换和相互影响，以至系统的传递函数不再是各组成环节传递函数相互影响，以至系统的传递函数不再是各组成环节传递函数的叠加或连乘。的叠加或连乘。 某装置由于后接另一装置而产生的种种现象，称为某装置由于后接另一装置而产生的种种现象，称为负载效负载效应应。在环节相联时应考虑负载效应的影响。在环节相联时应考虑负载效应的影响。减轻负载效应的措施：减轻负载效应的措施： 提高后续环节（负载）的输入阻抗。提高后续

57、环节（负载）的输入阻抗。 在原来两个相连接的环节之中，插入高输入阻抗、低输出阻在原来两个相连接的环节之中，插入高输入阻抗、低输出阻抗的放大器，以便一方面减少从前环节吸取能量，另一方面抗的放大器，以便一方面减少从前环节吸取能量，另一方面在承受后一环节（负载）后又能减少电压输出的变化，从而在承受后一环节（负载）后又能减少电压输出的变化，从而减轻负载效应。减轻负载效应。1. 使用反馈或零点检测原理，使后环节几乎不从前环节吸取能使用反馈或零点检测原理，使后环节几乎不从前环节吸取能量。如用电位差计测量电压等。量。如用电位差计测量电压等。第四节第四节 实现不失真测试的条件实现不失真测试的条件 所谓测试系统

58、实现不失真测试，就是被测信号通过测试系所谓测试系统实现不失真测试，就是被测信号通过测试系统后，其波形形状不发生改变。统后，其波形形状不发生改变。tAx(t)y(t)=A0 x(t)y(t)=A0 x(t- t0)()(00ttxAty其中其中 和和 都是常数。都是常数。0A0t有一个系统，其输出有一个系统，其输出 和输入和输入 关系为关系为)(ty)(tx该系统的输出波形与输该系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了只是幅值放大了A0倍，在时倍，在时间上延迟了间上延迟了t0而已。这种情况而已。这种情况下，认为测试系统具有不失下，认为测试系统具有不失真的特

59、性。真的特性。对实际测试系统，当对实际测试系统，当 t0 时，时，x(t)=0，y(t)=0，即初始条件为，即初始条件为零。依据傅里叶变换的时移性质，可得零。依据傅里叶变换的时移性质，可得0)()(0jteeXAY频率存响应函数为频率存响应函数为00)()()(jteAXYH)533()()(00tAA幅频特性和相频特性为幅频特性和相频特性为3-53式称为测试系统不失真测试的条件。因此，不失真测式称为测试系统不失真测试的条件。因此，不失真测试对测试系统的要求如下：试对测试系统的要求如下： 1）装置的幅频特性即灵敏度在量程范围内要求为常值，即）装置的幅频特性即灵敏度在量程范围内要求为常值，即A0

60、=常数。任何非线性度、回程误差、漂移的存在，都会引起常数。任何非线性度、回程误差、漂移的存在，都会引起测试波形的失真。有时需要进行误差补偿。测试波形的失真。有时需要进行误差补偿。2）系统的幅频特性保持常值，相频特性为输入信号频率的线性）系统的幅频特性保持常值，相频特性为输入信号频率的线性函数。也就是说信号的不失真测试有一定的频率范围。函数。也就是说信号的不失真测试有一定的频率范围。3）当对测试系统有实时要求（即）当对测试系统有实时要求（即 t0 =0）时，）时，0)()(0AA 实际的测试装置不可能在非常宽的频率范围内都满足不失实际的测试装置不可能在非常宽的频率范围内都满足不失真条件。真条件。